陳紹剛，王 楠

(電子科技大學 數(shù)學科學學院,四川 成都 611731)

1 引 言

拍賣是一種通過公開競價來決定拍賣物歸屬的買賣方式，拍賣作為一資源的有效分配方式，在相關機構和集體的組織監(jiān)督下，在規(guī)定的時間地點根據(jù)約定好的競價取得方式來交易拍賣物.

傳統(tǒng)拍賣理論根據(jù)對拍賣物實際價值的掌握程度以及私人價值的影響大小，將拍賣模型分成了3類：

1)獨立私有價值模型；競標者不知道拍賣物的實際價值，以對拍賣物的估值來最大化自己的收益為目的，根據(jù)其私人價值大小作為出價，而其他競標者的私人信息大小不改變該競標者對拍賣物的私人價值.私人價值拍賣在拍賣中是常見的，例如收藏的藝術品、唱片等帶有個人特色的拍賣物，競標者根據(jù)自己對該拍賣物的需求和喜好來進行出價.

2)共同價值模型；該拍賣物的實際價值對于每個競標者來說都是一樣的，但是競標者并不知道這個實際價值，競標者根據(jù)自己掌握的私人信號對其進行估價，且在出價階段，競標者之間的私人信號大小會影響到競標者的估價.共同價值拍賣常見于石油開采權、礦產(chǎn)權等情形的拍賣中，例如石油開采權的價值取決于地下石油儲量情況，以及競標者所擁有的儲量的信息，同時在拍賣中觀測到其他競標者的出價從而調(diào)整自己對石油儲量的估計，而動態(tài)調(diào)整自己的估價.

3)關聯(lián)價值模型；獨立私有價值模型和共同價值模型是關聯(lián)價值模型的特殊情況，在實際拍賣中，往往不是單一的獨立價值情況和共同價值拍賣情況，可能是兩者的結合，拍賣物的實際價值和競標者的私人價值共同影響競標者的出價.例如地產(chǎn)、國債等的拍賣，不僅包含了個人的喜好還有拍賣物的市場價值的共同因素來進行考量.

共同價值拍賣和私人價值拍賣都是根據(jù)競標者自身掌握的私人信號來對拍賣物的價值進行估計，其不同點在于其他競標者的私人信號是否影響到自己的私人信號，共同價值拍賣在拍賣過程中會考慮其他競標者的私人信號大小，從而動態(tài)調(diào)整自己的出價，而私人價值拍賣只考慮自己的私人信號.

現(xiàn)代拍賣發(fā)展從線下延展到了線上，依托互聯(lián)網(wǎng)所搭建的平臺，使得傳統(tǒng)拍賣不再受制于時間、空間的限制，使得拍賣的覆蓋面和開放程度得到進一步的提升.網(wǎng)上拍賣為不同地域的競標者提供了一個虛擬的拍賣場景，網(wǎng)站作為第三方監(jiān)管者，在此場景中遵循傳統(tǒng)拍賣的流程，競標者之間可能互不相識，甚至競標者對招標商也不夠了解，拍賣物作為雙方唯一的交易和交流要件.除了網(wǎng)上拍賣的積極性以外，由于交易不是發(fā)生在同一空間中，競標者的身份很難去確定，而互聯(lián)網(wǎng)的隱蔽性和匿名性容易為不法分子所利用，使得拍賣中的欺詐行為更容易發(fā)生.網(wǎng)上拍賣存在的欺詐行為主要有托投標、投標屏蔽、多重投標、共謀等行為.托投標是招標商為了抬高商品的價格將自己偽裝成一個合法的競標者，從而引誘誠實競標者做出更高的報價.招標商的托投標行為的發(fā)生時間點不定，可能發(fā)生于拍賣剛開始，起到推廣的作用來吸引更多的投標商參與，或是拍賣過程中觀測到投標商的競價達不到最優(yōu)保留價格水平，招標商就可能提交與最優(yōu)保留價水平相一致的“托”出價[1-4].Nikitkov A等指出，競標者和網(wǎng)站第三方監(jiān)測者都很難意識到有托投標的發(fā)生，從而如何去保障網(wǎng)上拍賣的公平性也是值得商榷的[5].

網(wǎng)上拍賣依托互聯(lián)網(wǎng)的構建，在傳統(tǒng)拍賣的基礎上對其經(jīng)濟實用性進行了延伸.杜黎等證明了在個人價值獨立環(huán)境下，競標者以真實估價作為自己的報價，且一到達就報價是最優(yōu)投標策略，于是可以假定參與拍賣的均是誠實的競標者[6]；陳紹剛等基于網(wǎng)上拍賣的競標者隨機到達，投標間隔不均勻等特點，利用非齊次泊松過程近似投標者的到達[7]；陳勝利認為采取英式拍賣方式，能夠使得招標商和競標者的期望收益達到一個合理的平衡[8]；王宏認為在多單位網(wǎng)上拍賣中，招標商的最優(yōu)策略是在開始時設定低的托投標價格，之后再動態(tài)調(diào)整托投標至最優(yōu)水平[9].

誠實的競標者報價所透露出的價值信息，使得招標商能夠估計拍賣形式，偽裝成競標者參與拍賣.在共同價值拍賣中，個人所掌握的有關拍賣物的信息是至關重要的，它直接影響到了其他競標者的報價.金忻指出由于競標者掌握的信息不完全，所以在拍賣中會出現(xiàn)贏者詛咒的現(xiàn)象[10].贏者詛咒是指競標者根據(jù)已有的信息錯誤估計了拍賣物的實際價值，使得最終支付價格高于拍賣物的實際價值，得到了負收益，這也是共同價值拍賣不同于獨立私人價值拍賣的最重要的一點，競標者的信息會隨著其他競標者的信息發(fā)生改變[11].Kosmopoulou等基于托出價的基礎上證明了投標者在意識到可能存在托投標行為時，拍賣的平均利潤會減少[12].Porter等得到了關于第一價格密封拍賣和第二價格密封拍賣時針對托出價存在時的投標策略[13].在實際共同價值拍賣中，競標者所獲得的信息一般是不對稱的，而正是因為信息不對稱，競標者在進行報價時很容易受到其他競標者報價的影響，而重新估計自己所獲得的關于拍賣物的信息.賀孟利用博弈論和擾動理論分析方法，量化了競標者的信息不對稱對共同價值拍賣的影響[14].Bergemann等利用信息不對稱在第一價格拍賣中的貝葉斯均衡，得出競標者的期望收益收到其他競標者的信息和估值影響，當其他競標者出價減少時，競標者的期望收益降低，當其他競標者的估值增加時，期望收益增加[15].

本文主要討論共同價值拍賣模型下可能存在的招標欺詐行為.在現(xiàn)有文獻的基礎上，建立信息不對稱條件下的共同價值拍賣模型.競標者對于拍賣物的共同價值擁有的信息大小差異，在觀測到其他競標者的報價時可能會調(diào)整自己的私人信號，從而導致贏者詛咒的發(fā)生，而競標者的人數(shù)可能會影響贏者詛咒的發(fā)生概率.此外，建立共同價值拍賣模型的期望收益數(shù)學模型，在招標商可能存在的托投標欺詐行為情況時，為競標者的報價提供理論指導，調(diào)整競標者的均衡競價策略.

2 模型假定

假定有一個招標商通過網(wǎng)上拍賣銷售一個單位的不可分割的物品，考慮共同價值下的拍賣模型.有n位誠實的投標商參與此次拍賣，招標商有P概率以托投標的方式參與到此次拍賣中.

(1)

3 贏者詛咒

故對任意v，即E(v+ei)=v+E(ei)>v，則在此條件下，無論噪音信號的取值為多少，競標者對于拍賣物實際價值v的估計都會高于實際價值，即存在贏者詛咒的可能性很大.

競標者的報價bi(Si)=αSi，其中α為競標者的報價為私人信號的部分，若存在贏者詛咒：

解得：

贏者詛咒常發(fā)生于市場不完全、信息不對稱的情形，競標者所掌握的信息不同，掌握信息的競標者往往能利用其所擁有的信息優(yōu)勢來得到拍賣物，而對于掌握信息不足的競標者來說，只能根據(jù)其他主體的行為對拍賣物的共同價值進行判斷.例如在原油拍賣中，原油的含量是一定的，所以該拍賣對于所有競標者的共同價值是相同的，而在拍賣結束后的調(diào)查，達到77%的拍賣案例中，中標價格高于次高價格至少兩倍，超過半數(shù)的拍賣是不盈利的，甚至達到了虧損.這就是共同價值拍賣中，競標者不是完全理性的，競標者常常過高估計其余競標者的私人信號，出價過高.

4 共同價值下的均衡競價策略

定理1競標者其私人信號Si的分布函數(shù)為

(2)

(3)

由分布函數(shù)與密度函數(shù)的性質(zhì)，解得：

定理2競標者獲勝時得到最大期望收益的報價為

(4)

證明競標者1獲勝時的期望收益為

由一階最優(yōu)性條件：

由一階最優(yōu)性條件：

由一階最優(yōu)性條件：

綜上，競標者獲勝的均衡競價策略為

在共同價值拍賣中，由于競標者對于拍賣物的信息獲得是不對稱的，同時競標者之間的出價也會影響自己的私人信號，從而影響到自己的均衡報價和贏標者的最終收益，于是通過期望收益最大理論建立競標者出價及其收益的數(shù)學模型.根據(jù)參與競標的人數(shù)，以及自己的私人信號大小和拍賣物的實際價值大小，考慮估價的范圍，從而得到最優(yōu)均衡策略.

5 存在托投標情況下的均衡競價策略

對于誠實的競標者來說，在拍賣中獲勝的條件是滿足Si>S-i，所有競標者的私人信號都是根據(jù)其確定的私人價值以及隨機擾動項來決定的.而對于托投標行為的發(fā)生來說，存在兩種情況：①托投標的私人信號獲勝，從而拍賣結束，無誠實競標者獲得拍賣物，招標商的收益為負；②誠實競標者獲勝，托投標的私人信號在其中作為干擾信號，但不影響最高的私人信號的出現(xiàn)，拍賣結束，招標商獲得一定的收益.本文不考慮第一種情況，認為托投標的發(fā)生推動了拍賣的產(chǎn)生，但是最終拍賣物由誠實的競標者獲得.

定理3在以P概率的可能出現(xiàn)托投標的情況下，競標者的均衡競價策略為：當有P概率出現(xiàn)托投標的情形時，參與拍賣人數(shù)由n人變?yōu)閚+1人，假定誠實競標者1獲勝，贏得拍賣物.

證明競標者1獲勝時的期望收益為

由一階最優(yōu)性條件：

由一階最優(yōu)性條件：

特例當P=1時，競標者有充分的理由相信招標者存在托投標的行為，且招標商的托投標行為發(fā)生在后期的競標中，解得競標者的均衡競價策略為

在存在托投標的情況下，考慮招標者的參與增加了競標者的人數(shù)，而招標者的報價也是在合理范圍內(nèi)，只是為了促進更高的出價，競標者的私人信號大小和拍賣物的實際價值大小共同影響競標者的出價，考慮贏標者的估價范圍而得到最優(yōu)均衡策略.

6 結 論

現(xiàn)有文獻大多討論發(fā)生在私人價值拍賣模型下的托投標行為對競標者、招標商的期望價值影響，私人價值拍賣模型中競標者之間的報價函數(shù)是服從同一分布且相互獨立的.本文著眼于共同價值拍賣模型下的托投標研究，雖然實際價值對于每一個競標者都是相同的，但是由于私人信息的不同會造成競標者對于拍賣物的估價發(fā)生變化，于是通過求解私人信號在不同的取值范圍內(nèi)的競標者的報價函數(shù)，從而得到競標者的最優(yōu)競價策略.

贏者詛咒常發(fā)生于共同價值拍賣中，贏者詛咒的發(fā)生于參與投標的人數(shù)有關，參與競標的人數(shù)越多，贏者詛咒發(fā)生的概率也越大；而競標者的估價與其私人信號的報價部分有關，私人信號的部分報價比例越高，發(fā)生贏者詛咒的概率也就越大.

托投標是招標商通過偽裝成合法的競標者參與拍賣，而托投標發(fā)生的時間可能在拍賣前期、中期、后期，于是在不同的時間點上，招標商抬高報價，這個報價會影響競標者的出價.利用博弈理論和期望最大化理論，建立共同價值拍賣模型，從而求解在不同情況下的競標者獲勝的最優(yōu)競價策略.