馬海飛，肖鴻民,趙弘宇

(西北師范大學 數學與統計學院,甘肅 蘭州 730070)

1 引 言

死亡率、出生率和移民是決定人口規(guī)模、結構和分布變化的主要因素.近幾十年來, 隨著社會經濟的不斷發(fā)展和醫(yī)療水平的進一步提升, 人口死亡率逐漸降低, 致使老齡化問題越來越嚴重.人均壽命的不斷提高, 可能會使壽險公司和養(yǎng)老金機構在終身年金業(yè)務上面臨巨大的損失, 進而影響整個社會經濟的發(fā)展.因此, 在未來長期以及中短期規(guī)劃中, 人口預測是至關重要的.

死亡率預測作為一個重要的人口因素, 被廣泛應用于各個領域.尤其是對于壽險企業(yè)而言, 為了最大化利潤, 同時成功避免可能的風險, 養(yǎng)老金計劃和人壽保險產品的定價需要準確預測未來死亡率，這促使研究人員不斷地調查人口數據、建立預測模型、擬合模型和預測未來死亡率.近幾十年來, 死亡率預測技術有了很大的發(fā)展和提高.在國外, Lee等(1992)[1]提出的Lee-Carter模型, 是一種將人口統計模型和時間序列聯系起來的對數雙線性模型.Renshaw等(2006)[2]在Lee-Carter模型的基礎上加入了出生年效應, 首次提出了RH模型并將其應用到英格蘭和威爾士男性死亡率預測中.Cairns等(2011)[3]通過對6個隨機死亡率模型的分析, 發(fā)現要從擬合和預測兩個方面來判定一個模型的合理性.Li等(2013)[4]運用擴展的Lee-Carter方法對美國和日本死亡率數據進行擬合與預測.Enchev等(2017)[5]利用6個國家的死亡率數據對共同年齡效應(CAE)等隨機死亡率模型的擬合效果進行比較, 通過模型預測發(fā)現CAE模型最優(yōu).Li等(2019)[6]運用一個新的雙人口死亡率預測模型對比利時、瑞典、瑞士和英國4個國家的高齡死亡率數據進行了擬合與預測.在國內研究中, 李志生等(2010)[7]運用Lee-Carter模型對中國人口死亡率數據進行擬合和預測, 之后黃順林等(2010)[8]運用RH模型對中國男性人口死亡率進行了預測,并將其應用到預期壽命和年金系數的估計中.韓猛等(2010)[9]對Lee-Carter模型進行了改進,通過一個雙隨機過程對Lee-Carter模型中的時間項進行建模.曾燕等(2016)[10]采用Bootstrap方法與Lee-Carter模型擬合死亡率數據,運用帶漂移項的隨機游走模型進行預測.曹園(2018)[11]用Lee-Carter模型對中國人口死亡率進行預測后,根據預測的死亡率數據對中國人口平均預期壽命進行計算.樊毅和張寧等(2018)[12]基于中國人口死亡率數據, 對8個死亡率經典模型進行了比較分析, 發(fā)現APC模型對中國人口死亡率的擬合效果最優(yōu).王曉軍等(2019)[13]運用臺灣高齡人口死亡率數據對貝葉斯分層模型等8種死亡率模型進行了比較分析, 最后通過擬合中國大陸人口數據, 發(fā)現CBD模型對我國大陸地區(qū)高齡死亡率的擬合和預測較好.

到目前為止, 關于中國人口數據的死亡率模型研究, 都依賴于LC和APC等幾個常見的隨機死亡率模型, 模型可選擇性受到約束.本文的主要工作是對APC模型進行擴展, 提出一個新的死亡率模型——EPAC(Extended Age-Period-Cohort), 通過比較模型的擬合效果和預測效果, 并對其穩(wěn)定性進行檢驗, 發(fā)現EAPC模型更適合于擬合和預測中國的人口死亡率.在論文第二部分將介紹EPAC模型, 第三部分對新模型的擬合效果的與LC和APC進行比較分析, 第四部分是預測效果的比較分析.

2 隨機死亡率模型

2.1 模型簡介

在理論研究上比較成熟且出現最早的隨機死亡率模型是Lee and Carter(1992)提出的Lee-Carter模型, 將死亡率的變動跟年齡因子和年份因子結合在一起, 簡記為LC模型.具體形式如下:

lnmx,t=αx+βxkt+εx,t.

(1)

其中,mx,t表示時間為t年齡為x歲人群的中心死亡率;αx為依賴年齡因子的參數,表示x歲人口對數死亡率的平均數;βx表示年齡因子對時間的敏感度;kt反映死亡率隨時間t的變化程度,通常稱為死亡指數,可以看成一個ARIMA過程或隨機游走過程;εx,t為隨機誤差項.

Currie(2006)提出了一個帶出生年效應的死亡率模型,即Age-Period-Cohort模型(APC模型),其具體形式如下：

lnmx,t=αx+kt+γt-x.

(2)

其中,γt-x是一個出生年效應, 表示出生年(t-x)對死亡率的影響, 其他符號與參數意義同前文相同.

(3)

2.2 參數估計

對上述隨機死亡率模型進行參數估計時, 都假定死亡人數Dx,t服從參數為λx,t的泊松分布,λx,t=mx,tEx,t,即

Dx,t～Possion(mx,tEx,t).

(4)

其中,Dx,t表示年齡為x時間為t的死亡人數,Ex,t表示年齡為x時間為t的平均暴露人數.對于一個給定的模型, 用θ來代表待估計的參數向量, 符號mx,t擴展成mx,t,θ來代表參數之間的依賴性.對于所有的模型都可以通過極大似然估計方法進行參數估計,其對數似然函數形式如下：

L(θ,D,E)=∑x,t[Dx,tln(Ex,tmx,t,θ)-Ex,tmx,t,θ]+constant.

(5)

最后運用牛頓迭代法得到各參數的估計值, 牛頓迭代公式如下：

(6)

(7)

(8)

(9)

3 死亡率模型擬合效果的比較分析

3.1 經驗死亡率數據

本文采用的原始數據來源于1996-2018年的《中國人口統計年鑒》.對于選取的連續(xù)23年的中國人口0～90歲死亡率數據, 由于大部分日歷年數據的末組都為90+(90歲及以上用90+表示),所以本文的年齡上限設為90,其中1996年數據的最高年齡是85歲以上,對于數據不足90+的部分,用均值插值法進行補充處理,對1995，2000，2005和2010年數據中100歲以上(包括100歲)的部分進行合并處理.根據這些數據繪制了分年齡死亡率圖, 見圖1.

圖1 1995-2017年中國人口死亡率圖

從圖1可以看出, 死亡率隨著年齡的增長呈現出先降低再逐漸上升的趨勢.同時, 隨著時間的推移, 每個年齡的死亡率表現出降低的趨勢, 這說明死亡率在逐漸改善, 不過改善程度在不同年齡存在較大的差異, 接下來將利用隨機死亡率模型對上述死亡率數據進行擬合與預測.

3.2 參數估計

在上述數據中選取1995-2014年的死亡率數據, 結合式(6)分別對LC模型、APC模型和EAPC模型的參數進行估計, 結果如圖2所示.

圖2 LC模型、APC模型和EAPC模型參數估計圖

3.3 死亡率模型擬合效果的比較

圖3是LC模型、APC模型和EAPC模型擬合的殘差圖.總的來看, 3個模型都較好地捕捉到了年齡效應和時間效應, APC模型和EAPC模型捕捉到了出生年效應, LC模型中出生年效應的殘差有輕微的波動, 說明該模型未能較好地捕捉出生年效應.所以從模型擬合的殘差圖可以看出, APC模型和EAPC模型的擬合效果相對較好.

圖3 LC模型、APC模型和EAPC模型的殘差圖

為了更直觀地比較模型擬合的效果, 定義絕對擬合誤差(Absolute Fitting Error, AFE)為死亡率擬合值與實際死亡率差的絕對值之和, AFE的定義式如下:

(10)

表1給出了3個死亡率模型的絕對擬合誤差及其AIC和BIC值, 其中APC模型的絕對擬合誤差為3.7863, LC模型的擬合誤差比APC模型的絕對擬合誤差大, EAPC模型的絕對擬合誤差為3.7817, 略低于APC模型的擬合誤差值.從另一方面來看, LC模型的AIC和BIC信息值分別為17469.39和18570.71, 而APC模型和EAPC模型的信息值均低于LC模型的信息值.由此可見, APC模型和EAPC模型的擬合效果較好.

表1 死亡率模型的AFE、AIC和BIC值

4 死亡率模型預測效果的比較分析

4.1 死亡率預測

APC模型和EAPC模型中死亡率的動態(tài)變化受時間指數和出生年指數的影響, 因此預測未來死亡率需要使用時間序列的處理方法進行建模.對于上述兩種模型的時間因素kt, 使用帶漂移項的隨機游走過程進行擬合, 而對于出生年效應γt-x, 假設它獨立于kt，服從一個ARIMA過程.圖4是APC模型和EAPC模型參數kt和γt-x未來3年的預測值.

圖4 APC模型和EAPC模型參數kt和γt-x的預測值

將上述序列kt和γt-x的預測值分別代入式(2)和(3)中, 可以得到2015-2024年中國人口死亡率預測值.選取2016年和2017年的死亡率預測值與真實值做對比, 結果如圖5所示.從圖中可以看出, APC模型與EAPC模型在65歲以下的死亡率預測值與真實值非常接近, 預測效果較好.但在65歲以上的高年齡組中, 兩個模型的死亡率預測值均略高于真實值, 這是由于本文所用數據截至90+,對原始數據中更高年齡組,用合并的方式重新計算了死亡率數據,故存在少量偏差.

圖5 2016和2017年死亡率預測值與真實值對比

4.2 死亡率模型預測效果的比較

為了更直觀地比較上述兩種死亡率模型在高年齡組的預測效果, 根據2015-2017年APC模型和EAPC模型的死亡率預測值, 作出年齡分別為65歲、75歲和85歲時, 死亡率預測值與真實值的對比圖, 如圖6所示.從圖中可以看出, 在高年齡組中, EAPC模型的曲線介于真實值與APC模型的曲線之間, 也就是說EAPC模型的預測值更接近真實值, 所以 EAPC模型的預測效果較好.

圖6 65，75和85歲死亡率預測值與真實值對比

4.3 預測結果的穩(wěn)定性檢驗

從上述各方面來看, EAPC模型表現較好, 不過還需對其進行穩(wěn)定性檢驗, 需要比較用1995-2014年的數據擬合得到的預測結果和用1999-2014年的數據擬合得到的預測結果.如果模型是穩(wěn)定的, 那么減少4年的數據不會對預測結果產生太多影響.本文用這兩組數據估計了EAPC模型在x=0, 15, 65, 90歲情況下的死亡率預測值(見圖7).根據1995-2014年數據估計出來的預測值記為EAPC, 根據1999-2014年數據估計出來的預測值記為EAPC*.

從圖7可以看出, 死亡率預測值隨著時間的推移而逐漸下降, 說明死亡率隨著年份的變化逐漸改善, 符合人口死亡率數據變化的趨勢.而且，EAPC模型使用兩組不同的數據在4個年齡上得到的預測值非常相似, 沒有明顯變化, 這說明這個模型在預測上是穩(wěn)定的.

圖7 EAPC模型預測的穩(wěn)定性比較圖

5 結 論

本文在APC模型的基礎上進行優(yōu)化得到EAPC模型, 并結合中國人口死亡率數據, 比較該新模型與LC模型和APC模型的擬合與預測效果.

從擬合方面來看, APC模型和EAPC模型較好地捕捉到了出生年效應, 其殘差圖更穩(wěn)定.通過進一步計算模型的AIC和BIC值, 發(fā)現APC模型和EAPC模型優(yōu)于LC模型, 所以用EAPC模型來擬合中國人口死亡率是比較可靠的.

從預測方面來看, APC模型和EAPC模型的預測值與真實值均非常接近, 而且在高年齡組中, EAPC的預測效果優(yōu)于APC模型.通過進一步對EAPC模型的預測結果進行穩(wěn)定性檢驗, 發(fā)現EAPC模型在減少4年數據的情況下, 預測結果沒有太大變化, 說明EAPC模型在一定程度上是穩(wěn)定的.

所以, 從EAPC模型的擬合效果和預測效果可以看出, EAPC模型更適合于中國人口死亡率的擬合與預測, 也就是說作為由APC模型擴展而來的一種新模型, EAPC模型可以廣泛應用于中國人口死亡率的預測之中.