王 倩，王沛祺，榮喜民

(天津大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300350)

1 引 言

隨著全球人口老齡化進(jìn)程的加快, 人的壽命越來(lái)越長(zhǎng), 退休人員占比持續(xù)攀升, 預(yù)期壽命的提高和金融環(huán)境的改變給養(yǎng)老金制度的持續(xù)發(fā)展帶來(lái)了巨大的沖擊, 養(yǎng)老金的投資管理引起了很多學(xué)者的關(guān)注.目前常見(jiàn)的養(yǎng)老金主要有確定收益型(Defined Benefit, 簡(jiǎn)稱DB)養(yǎng)老金和確定繳費(fèi)型(Defined Contribution, 簡(jiǎn)稱DC)養(yǎng)老金.然而DB型養(yǎng)老金會(huì)給基金管理者帶來(lái)一定風(fēng)險(xiǎn), DC型養(yǎng)老金會(huì)造成參與者可能得不到足夠的給付.伴隨著人口結(jié)構(gòu)的演變和資本市場(chǎng)的發(fā)展, 混合型養(yǎng)老金的研究受到越來(lái)越多的重視.

混合型養(yǎng)老金計(jì)劃是一種集體養(yǎng)老金, 最突出的特點(diǎn)是計(jì)劃成員承擔(dān)所有的風(fēng)險(xiǎn), 風(fēng)險(xiǎn)不再由個(gè)人承擔(dān), 而是由不同代際的計(jì)劃參與成員(包括在職人員、退休人員以及尚未進(jìn)入養(yǎng)老金計(jì)劃的成員)共同承擔(dān), 該計(jì)劃使得成員之間可以進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移與分擔(dān), 以便代際之間的補(bǔ)貼可以維持穩(wěn)定的福利給付水平, 維持養(yǎng)老金計(jì)劃的可持續(xù)性.

目前的混合養(yǎng)老金研究主要是探討全球性的混合養(yǎng)老金計(jì)劃的構(gòu)成和發(fā)展趨勢(shì).Pugh和Yermo(2008)[1]介紹了經(jīng)濟(jì)合作和發(fā)展組織(OECD)國(guó)家中養(yǎng)老金制度的特征, 將混合型養(yǎng)老金計(jì)劃分為四類：現(xiàn)金余額養(yǎng)老金計(jì)劃、養(yǎng)老金平衡計(jì)劃、目標(biāo)收益計(jì)劃和基金補(bǔ)償計(jì)劃.過(guò)去幾年里混合養(yǎng)老金計(jì)劃的研究受到廣泛關(guān)注, Bovenberg等(2014)[2]提出了依賴償付能力的DA(Defined Ambition)計(jì)劃，Thurley(2014)[3]則研究集體養(yǎng)老金框架下的DA計(jì)劃, DWP(2014)[4]引入在雇主和計(jì)劃成員之間進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)計(jì)劃, CIA(2015)[5]進(jìn)一步研究確定給付水平的目標(biāo)收益計(jì)劃(Target Benefit Pension Plan, 簡(jiǎn)稱TBP), 以上研究逐漸提出了新型風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)功能, 用于改善養(yǎng)老金體系的可持續(xù)性.

在混合養(yǎng)老金計(jì)劃與風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)的背景下, 有充分證據(jù)表明, 與傳統(tǒng)的DB養(yǎng)老金計(jì)劃或個(gè)人賬戶下的DC養(yǎng)老金計(jì)劃相比, 有效的代際之間風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)可以提高退休收益水平.Teulings和Dries(2006)[6]認(rèn)為, 年輕一代在進(jìn)入勞動(dòng)力市場(chǎng)之前就已經(jīng)暴露在股市的不確定性之下, 他們的收益將會(huì)通過(guò)代際風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)得到改善, 投資虧損將在終生消費(fèi)中平穩(wěn)分配, 同時(shí)可在代際賬戶之間調(diào)整繳費(fèi)和未來(lái)的退休收益.

在尋找最優(yōu)繳費(fèi)和退休福利調(diào)整政策方面, Chen(2017)[7]應(yīng)用期權(quán)定價(jià)方法研究集體混合養(yǎng)老金計(jì)劃的動(dòng)態(tài)流入和流出, 通過(guò)最小化參保人退出養(yǎng)老金計(jì)劃的可能性來(lái)維持養(yǎng)老金計(jì)劃的可持續(xù)性.Wang等(2018)[8]針對(duì)目標(biāo)收益養(yǎng)老金計(jì)劃, 考慮了三個(gè)方面的目標(biāo)：提供足夠的退休收益(達(dá)到或超過(guò)目標(biāo)), 維持穩(wěn)定的收益給付水平(在目標(biāo)上下小幅度波動(dòng)), 尊重代際之間的公平性(限制代際之間的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移).在優(yōu)化目標(biāo)中對(duì)累積退休收益加以控制, 最小化養(yǎng)老金計(jì)劃的不連續(xù)風(fēng)險(xiǎn)和退休收益風(fēng)險(xiǎn).Wang等(2019)[9]考慮了基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的TBP模型, 采用S型效用函數(shù)描述參保人的風(fēng)險(xiǎn)偏好.在Wang等(2018)[8]的研究基礎(chǔ)上, 進(jìn)一步考慮模型不確定的TBP養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問(wèn)題.

在養(yǎng)老金投資優(yōu)化的傳統(tǒng)研究中, 一般假定決策者完全了解市場(chǎng)的真實(shí)概率度量.然而, 在許多情況下, 決策者對(duì)真實(shí)模型是模糊不確定的.公平地說(shuō), 任何描述模型的參考概率測(cè)度都會(huì)受到相當(dāng)程度的錯(cuò)誤設(shè)定的影響, 這種由于缺乏關(guān)于概率度量的信息而導(dǎo)致的不確定性也被稱為模糊不確定性.有大量的理論和實(shí)證研究探討了模糊不確定性在影響投資者行為中的重要性.例如Bossaerts 等(2010)[10]在模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡模型下研究投資組合和資產(chǎn)定價(jià),Cao等(2005)[11]研究模型不確定性下的股票溢價(jià)和投資策略, Dimmock 等(2016)[12]研究模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者在有限市場(chǎng)參與下的資產(chǎn)定價(jià).Huang和Yang(2017)[13]基于Heston模型以及模型參數(shù)的不確定性,最大化保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程加權(quán)和的最小期望指數(shù)效用, 求解魯棒最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)問(wèn)題.Zhang 和Meng(2019)[15]基于跳擴(kuò)散模型, 將魯棒最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為投資者與市場(chǎng)之間的二人零和隨機(jī)微分博弈.Gu和Viens(2018)[15]通過(guò)均值回歸模型和股票的錯(cuò)誤定價(jià)方法, 考慮保險(xiǎn)人對(duì)金融市場(chǎng)的不確定和被保險(xiǎn)人索賠的不確定具有模糊性的再保險(xiǎn)和投資問(wèn)題.Wang和Li(2018)[16]還研究了隨機(jī)利率和隨機(jī)波動(dòng)率的養(yǎng)老金計(jì)劃的魯棒最優(yōu)投資策略.Zeng等(2018)[17]研究了含有衍生品的模糊不確定性條件下的養(yǎng)老金投資問(wèn)題.Chang等(2011)[18]研究基于二次效用最大化的帶有隨機(jī)參數(shù)和隨機(jī)資金流的動(dòng)態(tài)投資組合選擇問(wèn)題.

在日趨動(dòng)蕩的金融市場(chǎng)中, 相關(guān)內(nèi)部參數(shù)和外部環(huán)境的擾動(dòng)都會(huì)加大決策模型的不確定性, 管理者其實(shí)是模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡的, 因此考慮模型不確定相關(guān)的問(wèn)題在實(shí)踐中意義重大, 可以為中國(guó)養(yǎng)老金制度的完善提供決策支持.參考Wang等(2018)[8]對(duì)目標(biāo)收益和終端財(cái)富的偏差約束, 考慮模型不確定性下在代際之間進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)的最優(yōu)投資策略和收益調(diào)整策略研究應(yīng)該是有價(jià)值的.

2 模型的建立

考慮模型不確定的目標(biāo)收益型養(yǎng)老金計(jì)劃(TBP)的魯棒最優(yōu)投資問(wèn)題, 其中TBP養(yǎng)老金是一種集體養(yǎng)老金計(jì)劃, 在任一時(shí)刻都有參與者進(jìn)入和退出, 目標(biāo)福利由發(fā)起人在初始時(shí)刻設(shè)定, 并隨著時(shí)間推移以預(yù)先設(shè)定的速率增長(zhǎng).每一時(shí)刻向退休成員群體支付的實(shí)際福利由外生薪酬過(guò)程控制.假設(shè)其隨機(jī)性來(lái)源與金融市場(chǎng)相關(guān).養(yǎng)老基金投資于兩種具有代表性的資產(chǎn), 一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn), 一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).計(jì)劃受托人管理養(yǎng)老金的資產(chǎn)組合, 并調(diào)整向退休人員支付的養(yǎng)老金, 使它們充分接近目標(biāo), 且不會(huì)向未來(lái)的群體借太多的錢(或留下太多的錢).在下面的前兩個(gè)小節(jié)中, 將描述金融市場(chǎng)模型和采用指數(shù)函數(shù)的形式描述目標(biāo)的過(guò)程以及TBP的魯棒最優(yōu)投資策略.

假設(shè)金融市場(chǎng)中的交易是連續(xù)的, 沒(méi)有交易成本或稅收, 是允許賣空的.設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)為完全概率空間, 其中P為F上的概率測(cè)度,F={Ft}t∈[0,T]是由二維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)生成的完整的、右連續(xù)濾波, Ft為截止到t時(shí)刻的金融市場(chǎng)信息流和計(jì)劃參與成員退休時(shí)的工資信息流, 該信息可用于養(yǎng)老金計(jì)劃的啟動(dòng)中.此外, 假設(shè)以下定義的所有隨機(jī)過(guò)程在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上都是定義良好的, 并且都是F={Ft}t∈[0,T]適應(yīng)的.

2.1 金融市場(chǎng)

假設(shè)養(yǎng)老金管理者將養(yǎng)老金投資于兩種流動(dòng)資產(chǎn): 一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(國(guó)債等), 另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票).無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的演化過(guò)程滿足

(1)

其中,r0是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.

設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)在t時(shí)刻的價(jià)格為S1(t), 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)值由式(2)所示的隨機(jī)微分方程(SDE)描述.

(2)

其中WS(t)是定義在完備過(guò)濾概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),μ是股票的期望收益率,σ為瞬時(shí)波動(dòng)率.μ和σ均為正常數(shù), 為了避免存在套利機(jī)會(huì), 假設(shè)μ>σ.

模型中, 資產(chǎn)賬戶由計(jì)劃參與成員共同匯集和擁有.

2.2 目標(biāo)收益型養(yǎng)老金模型

考慮一個(gè)養(yǎng)老金計(jì)劃, 其中包括未退休參保人和已經(jīng)退休的參保人.在職人員向養(yǎng)老金賬戶繳納保費(fèi), 而退休人員從養(yǎng)老金賬戶中以年金的形式獲得退休收益.假設(shè)所有的養(yǎng)老金參保人員在年齡為a時(shí)進(jìn)入到養(yǎng)老金計(jì)劃, 在年齡為b的時(shí)候退休.其中人口數(shù)量的變化由生存函數(shù)s(x)描述, 滿足s(a)=1,a≤x≤ω, 其中ω為人可存活的最大年齡.當(dāng)ab時(shí)死亡是人口減少的唯一因素.

類似于Bowers等(1987)[19]使用的符號(hào), 假設(shè)在t時(shí)刻年齡為a的新進(jìn)人口的密度為n(t).在t時(shí)刻年齡達(dá)到x的參保人的數(shù)量為

n(t-(x-a))s(x),x>a,

(3)

其中t-(x-a)是該年齡群的參保人加入養(yǎng)老金計(jì)劃的時(shí)間.值得注意的是t-(x-a)可以為負(fù)數(shù), 僅表示t時(shí)刻年齡達(dá)到x的參保人在x-a年前加入了養(yǎng)老金計(jì)劃.與Wang等(2018)[8]的描述相似,t時(shí)刻在職的參保人總數(shù)為

而在t時(shí)刻已經(jīng)退休的參保人總數(shù)為

由于退休后的養(yǎng)老金給付額與退休前的工資水平有關(guān), 在t時(shí)刻到達(dá)退休年齡的參保人的當(dāng)期工資為L(zhǎng)(t).L(t)滿足式(4)的隨機(jī)微分方程.

(4)

其中α∈R+是工資的增長(zhǎng)率, 反映了通貨膨脹和生產(chǎn)力提高帶來(lái)的影響.η∈R是波動(dòng)率, WL(t)與WS(t)相關(guān), 相關(guān)系數(shù)為ρ, 即Cov(WS,WL)=ρt.

TBP為參保人提供從退休年齡b開(kāi)始連續(xù)支付的終身年金.假設(shè)退休初始年度的養(yǎng)老金給付額為退休時(shí)當(dāng)期工資的一定比例, 體現(xiàn)養(yǎng)老金作為退休后參保人的主要收入來(lái)源對(duì)工資的替代程度以及對(duì)購(gòu)買力的保持程度.具體而言, 對(duì)于在時(shí)間t退休并且當(dāng)期工資為L(zhǎng)(t)的參保人, 初始養(yǎng)老金收益給付額為f(t)L(t), 其中f(t)為養(yǎng)老金計(jì)劃管理者根據(jù)養(yǎng)老金狀況所決定的一個(gè)控制變量.函數(shù)f(t)可以被認(rèn)為是在t時(shí)刻適用于新退休人員的工資替代率.

(5)

用t時(shí)刻退休的參保人的工資作為出發(fā)點(diǎn), 以確定的指數(shù)增長(zhǎng)率α進(jìn)行貼現(xiàn).顯然這不同于參保人退休時(shí)的實(shí)際工資.隨著年齡的增長(zhǎng), 退休人員數(shù)量不斷減少.當(dāng)η合理取值時(shí), 這個(gè)假設(shè)對(duì)結(jié)果的總體影響是可以忽略不計(jì)的.

(6)

此外, 假設(shè)該計(jì)劃在0時(shí)刻預(yù)先設(shè)定的退休福利總額的目標(biāo)為B*, 這是養(yǎng)老金計(jì)劃旨在向當(dāng)時(shí)退休的群體提供的初始養(yǎng)老金給付額.考慮到物價(jià)上漲等市場(chǎng)因素, 該總體目標(biāo)收益以固定比率β呈指數(shù)增長(zhǎng).值得注意的是,β不一定等于生活成本的增長(zhǎng)率ζ.因此在時(shí)間t>0時(shí)目標(biāo)給付額是B*eβ t.

所有退休人員在t時(shí)刻的實(shí)際總收益B(t)可以通過(guò)對(duì)所有退休人員(年齡b和年齡ω之間)調(diào)整后的退休金進(jìn)行積分來(lái)計(jì)算,即

(7)

其中I(t)是t的函數(shù), 定義為

同時(shí), 在TBP養(yǎng)老金中, 在職人員持續(xù)向養(yǎng)老金賬戶繳納費(fèi)用.假設(shè)c0是每個(gè)在職人員在0時(shí)刻的瞬時(shí)繳費(fèi)率, 為了考慮金融市場(chǎng)的波動(dòng), 用動(dòng)態(tài)保費(fèi)率來(lái)描述, 也更具有實(shí)際意義.所有在職人員在t時(shí)刻的總繳費(fèi)率為

(8)

當(dāng)養(yǎng)老金計(jì)劃的人數(shù)穩(wěn)定的時(shí)候, 即n(t-x+a)為常數(shù)時(shí),C1(t)是一個(gè)正常數(shù), 此時(shí)所有參保人員總繳費(fèi)的增長(zhǎng)率與每個(gè)成員繳費(fèi)的增長(zhǎng)率相同, 具體情況可參見(jiàn)Wang等(2018)[8].

3 考慮魯棒性的TBP養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問(wèn)題

3.1 魯棒最優(yōu)控制問(wèn)題

在傳統(tǒng)的養(yǎng)老金框架下, 假定養(yǎng)老金參與者和管理者是完全相信上述提到的在概率測(cè)度P下的模型.然而, 在真實(shí)情況下, 養(yǎng)老金參與者和管理者無(wú)法得到準(zhǔn)確的模型參數(shù), 不能確切地知道真正的模型.因此，用于描述模型的任何特定的概率測(cè)度都將導(dǎo)致潛在的模型錯(cuò)誤.為研究模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡成員的魯棒最優(yōu)投資問(wèn)題, 首先尋求一系列與概率測(cè)度P等價(jià)的測(cè)度Q, 這個(gè)參考測(cè)度P只是真實(shí)測(cè)度的近似, 通過(guò)考慮其他概率測(cè)度來(lái)尋求穩(wěn)健的最優(yōu)策略.與 Anderson等(2003)[20]類似, 測(cè)度Q假定關(guān)于測(cè)度P是絕對(duì)連續(xù)的, 并且測(cè)度Q是測(cè)度P的等價(jià)測(cè)度, 即:={Q|Q～P}.

利用Girsanov定理進(jìn)行概率測(cè)度變換, 使得由替代參考測(cè)度的模型僅在漂移函數(shù)方面有所不同.在Girsanov定理中, 對(duì)任意Q∈都存在循序可測(cè)過(guò)程φ：=(φS(t)，φL(t))t∈[0,T], 即概率失真過(guò)程表示為其中

(9)

此外,φ：=(φS(t)，φL(t))t∈[0,T]滿足Novikov條件

可知, Radon-Nikodym衍生過(guò)程Λφ(t)是一個(gè)Q鞅, Φ是所有失真過(guò)程φ的集合, 測(cè)度Q和P在域流Ft上是絕對(duì)連續(xù)的.

進(jìn)一步, 在調(diào)整測(cè)度Q下股票和工資如式(10)和(11)所示.

(10)

(11)

下面考慮TBP養(yǎng)老金的投資管理和退休收益的調(diào)整問(wèn)題.

假設(shè)養(yǎng)老金管理者可將養(yǎng)老金投資于一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).其中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程分別滿足式(1)和(2).令x0表示賬戶的初始資金,π(t)為t時(shí)刻投資在股票上的資金額,X(t)表示在t時(shí)刻養(yǎng)老金的財(cái)富過(guò)程, 則X(t)在Q測(cè)度下滿足式(12)所示的隨機(jī)微分方程.

(12)

將式(1)、式(7)、式(8)和式(10)代入方程(12)可以得到式(13).

(二)對(duì)事業(yè)實(shí)施全額的財(cái)政撥款具有一定的優(yōu)勢(shì)，它可以幫助這些事業(yè)單位發(fā)展，給他們提供穩(wěn)定的收入和穩(wěn)定的發(fā)展環(huán)境。在全額財(cái)政支持的情況下，諸如學(xué)校和防疫單位不會(huì)因?yàn)楦?jìng)爭(zhēng)而出現(xiàn)一些不良的商業(yè)手段，保障了其安全和健康的發(fā)展環(huán)境。但是也存在一定的劣勢(shì)，對(duì)于財(cái)政給出了一定的壓力，在國(guó)有資產(chǎn)中占據(jù)的比例越來(lái)越大，如果不能得到嚴(yán)格的控制和管理，嚴(yán)重情況下甚至?xí)斐蓢?guó)有資產(chǎn)流失的情況。所以，重要的就是要加強(qiáng)全額撥款事業(yè)單位的資產(chǎn)管理力度。

(13)

定義π={(π(u),f(u))}u∈[t,T]為養(yǎng)老金管理者在[t,T]時(shí)間內(nèi)采取的策略.這一策略包括u時(shí)刻投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的金額π(u)和u時(shí)刻對(duì)退休收益給付額的調(diào)整因子f(u),u∈[0,T].

定義1(可行策略)對(duì)任意固定的t∈[0,T],稱策略π={(π(u),f(u))}u∈[t,T]為可行策略, 若其滿足以下條件：

(1)?t∈[0,T],π是Ft可料過(guò)程,

(3)?(t,x,l)∈[0,T]×R×R+, 式(13)有唯一解(Xπ,π),

從初始資金和持續(xù)繳費(fèi)水平的角度來(lái)確定該計(jì)劃的總成本, 在考慮模型不確定性的條件下運(yùn)用隨機(jī)控制理論求解養(yǎng)老金的魯棒最優(yōu)策略.

模型中的養(yǎng)老金計(jì)劃包括在職人員和退休人員, 因此養(yǎng)老金管理者必須選擇合適的資產(chǎn)配置和退休收益的調(diào)整政策, 使二者在利益之間達(dá)到平衡.理想狀態(tài)是養(yǎng)老金賬戶以穩(wěn)定且可持續(xù)的方式向每一位退休人員發(fā)放福利, 使得他們?cè)谕诵萜陂g的收益盡可能地接近目標(biāo), 同時(shí)在終端時(shí)刻既不“掠奪銀行”, 也不為后代留下過(guò)多的資金.假定養(yǎng)老基金在時(shí)間T的保守目標(biāo)是初始基金按照無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率指數(shù)增長(zhǎng)后的價(jià)值, 即x0er0T.TBP主要是控制養(yǎng)老金計(jì)劃的代際風(fēng)險(xiǎn)和收益風(fēng)險(xiǎn), 用于規(guī)避代際風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移過(guò)多或者過(guò)少, 其中代際風(fēng)險(xiǎn)可以用賬戶的實(shí)際終值X(t)與目標(biāo)之間的偏差來(lái)表示.同樣, 退休收益風(fēng)險(xiǎn)指的是在t時(shí)刻的實(shí)際總收益B(t)與目標(biāo)收益B*eβ t之間的偏差.養(yǎng)老金計(jì)劃的管理者的目標(biāo)就是最小化代際風(fēng)險(xiǎn)和收益風(fēng)險(xiǎn).

(14)

另外, 由于考慮了模型的不確定性, 根據(jù)Maenhout(2004)[22]和 Escobar(2015)[23]的啟發(fā), 在最壞的調(diào)整概率測(cè)度下尋求一個(gè)穩(wěn)健的投資策略來(lái)達(dá)到最小化代際風(fēng)險(xiǎn)和收益風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo), 則魯棒最優(yōu)控制問(wèn)題為

(15)

其中ΨS,ΨL分別表示對(duì)模型有偏差的模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度.雖然參考概率測(cè)度Q存在一定誤差, 但從統(tǒng)計(jì)意義上說(shuō), 它是對(duì)現(xiàn)有信息的最佳描述.用期望中的積分項(xiàng)對(duì)偏離參考測(cè)度進(jìn)行懲罰, 于是Q測(cè)度處在一個(gè)不完全依賴參考測(cè)度和不過(guò)分偏離它之間的平衡中.計(jì)劃成員越厭惡模糊風(fēng)險(xiǎn), ΨS,ΨL越大, 對(duì)偏離參考測(cè)度的懲罰越大, 則說(shuō)明成員對(duì)參考測(cè)度越不信任.當(dāng)ΨS=ΨL=0時(shí), 模型退化為模糊風(fēng)險(xiǎn)中性情況, 成員對(duì)參考測(cè)度P是充分信任的.當(dāng)ΨS=ΨL=時(shí), 懲罰項(xiàng)消失了, 這意味著成員極度模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡.

為了解決問(wèn)題(15), 定義價(jià)值函數(shù)如式(16)所示.

(16)

其中,βS,βL表示的是模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù).

3.2 最優(yōu)投資策略

首先給出一般情況下投資者模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡的一個(gè)封閉解, 推導(dǎo)出最優(yōu)投資策略, 然后分析沒(méi)有模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡(模糊風(fēng)險(xiǎn)中性)的特殊情況.記C1,2,2([0,T]×R×R+)={ψ(t,x,l)}, 其中ψ(t,·,·)在[0,T]上是一階連續(xù)可微的,ψ(·,x,l)關(guān)于x∈R,l∈R+是二階連續(xù)可微的.

(17)

其中,ψt,ψx,ψl,ψxx,ψll,ψxl分別是ψ(t,x,l)關(guān)于變量t,x,l的一階和二階偏導(dǎo)數(shù).

根據(jù)隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理, 可以得到HJB方程(參見(jiàn)文獻(xiàn)Maenhout(2006)[24]和Escobar(2015)[23])，見(jiàn)式(18).

(18)

定理1將對(duì)于魯棒最優(yōu)控制問(wèn)題(15),根據(jù)求解HJB方程(18)最優(yōu)資產(chǎn)配置和退休收益調(diào)整策略分別為:

(19)

(20)

決定最壞情況測(cè)度的失真過(guò)程

(21)

相應(yīng)的最優(yōu)價(jià)值函數(shù)為

(22)

其中：

(23)

(24)

(25)

證明首先, 很容易得出HJB方程形式

(26)

對(duì)φS,φL分別求偏導(dǎo)得到式(27).

(27)

將式(27)代入式(26)可得到式(28).

(28)

對(duì)π,f求偏導(dǎo), 并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，得到式(29).

(29)

根據(jù)邊界條件, 猜測(cè)V(t,x,l)可以表示為式(30).

(30)

其中g(shù)(t,l),P(t)是關(guān)于t的待定函數(shù), 邊界條件表明g(T,l)=-x0er0T,P(T)=1.

由式(30)可得

(31)

將式(31)代入式(29), 最優(yōu)策略(控制變量)可以寫(xiě)成關(guān)于P(t),g(t,l)的方程,

(32)

將式(32)代入HJB方程(28), 得到

(33)

令g(t,l)=M(t)+N(t)l,其中M(T)=-x0er0T,N(T)=0,則有

gl=N(t),gt=Mt+Ntl,gll=0.

將上述表達(dá)式代入式(33)有

(34)

對(duì)式(34)分離變量, 令x,l,l2,1的系數(shù)為0, 則有以下微分方程

(35)

由此可求得

(36)

將參數(shù)P(t),M(t),Q(t)的表達(dá)式代入式(27)可以求出最壞情況測(cè)度下的失真過(guò)程

同時(shí)將式(36)代入式(29)即可得到最優(yōu)資產(chǎn)配置策略和最優(yōu)收益調(diào)整策略的具體表達(dá)式

注: 式(20)給出的最優(yōu)資產(chǎn)配置策略π*(t,x,l)與t時(shí)刻的工資水平l無(wú)關(guān).根據(jù)式(21)的最優(yōu)收益調(diào)整策略f*(t,x,l), 在t時(shí)刻退休人員的最優(yōu)收益給付額B*(t)(調(diào)整后), 表示為

也獨(dú)立于t時(shí)刻的工資水平l.此外, 式(23)給出的t時(shí)刻的價(jià)值函數(shù)也與l無(wú)關(guān).這表明了最優(yōu)收益調(diào)整因子f*(t,x,l)能有效對(duì)沖工資水平的波動(dòng), 這與Wang 等(2018)[8]論文研究的結(jié)果相同.因此, 工資模型(11)對(duì)π*(t,x,l),B*(t)和價(jià)值函數(shù)沒(méi)有影響.

4 數(shù)值分析

利用 MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，分別研究模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)、風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)、資本市場(chǎng)回報(bào)率、工資和目標(biāo)收益增長(zhǎng)率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、收益偏差的懲罰權(quán)重以及各參數(shù)之間的聯(lián)合效應(yīng)對(duì)最優(yōu)資產(chǎn)配置策略和收益調(diào)整策略的影響.

有關(guān)參數(shù)的假設(shè)參照Wang等(2018)[8]的工作，假設(shè)死亡力服從Makeham's定律, 即年齡為x的個(gè)體的死亡力μ(x)為μ(x)=A+Bdx,對(duì)年齡為x(a≤x≤ω)的個(gè)體生存函數(shù)有

(37)

且滿足s(a)=1,s(x)=0(x>ω).

參考Dickson(2009)[25], 令A(yù)=0.00022,B=2.7×10-6,d=1.124.

其他參數(shù)設(shè)定見(jiàn)表1.

表1 參數(shù)假設(shè)

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn), 用π*(t)和f*(t)代替π*(t,x,l)和f*(t,x,l).首先將時(shí)間間隔[0,T]劃分為若干個(gè)子區(qū)間, 對(duì)每個(gè)子區(qū)間根據(jù)式(10)和式(11)分別生成無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格, 根據(jù)式(12)計(jì)算本期的賬戶積累額, 并確定當(dāng)期的工資水平.在此基礎(chǔ)上確定出最優(yōu)策略π*和f*,作為下一期的最優(yōu)資產(chǎn)配置和退休收益調(diào)整因子.以此迭代生成并計(jì)算時(shí)間段內(nèi)各個(gè)時(shí)點(diǎn)的最優(yōu)策略π*和f*.將上述過(guò)程重復(fù), 得到了每個(gè)子區(qū)間上π*和f*的經(jīng)驗(yàn)分布.

4.1 模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)等對(duì)最優(yōu)策略的影響

在保持其他參數(shù)不變的情況下, 來(lái)研究賬戶財(cái)富X(t)在這20年的積累過(guò)程.圖1顯示隨著時(shí)間慢慢地推移, 賬戶財(cái)富逐年積累增加, 但越接近終端時(shí)刻增加越緩慢, 可以發(fā)現(xiàn)新積累的財(cái)富不如初始階段明顯.

圖1 X(t)-財(cái)富過(guò)程隨t-時(shí)間的變化趨勢(shì)

因?yàn)閰⒓羽B(yǎng)老金計(jì)劃的成員是模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡的, 所以需要考慮模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)βS對(duì)最優(yōu)資產(chǎn)配置策略和退休收益調(diào)整因子π*和f*的影響.因?yàn)樽顑?yōu)資產(chǎn)配置策略π*獨(dú)立于工資水平,退休收益調(diào)整因子f*也可以對(duì)沖工資波動(dòng),所以βL并不產(chǎn)生影響.即對(duì)工資模型的厭惡水平在TBP養(yǎng)老金中對(duì)穩(wěn)健最優(yōu)投資策略的影響可以忽略不計(jì).

從圖2中可以看出, 養(yǎng)老金管理者相對(duì)于模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)βS和風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)r來(lái)說(shuō), 會(huì)更加關(guān)注模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡的程度.

圖2(a)顯示, 最優(yōu)投資額隨著模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增大而減小.模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越大, 養(yǎng)老金計(jì)劃的管理者越不相信金融模型的準(zhǔn)確性, 從而減少在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資.

圖2(b)顯示, 隨著時(shí)間的增長(zhǎng), 養(yǎng)老金計(jì)劃管理者根據(jù)養(yǎng)老金狀況所決定的退休收益調(diào)整因子逐步增加, 風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)r越大時(shí), 管理者對(duì)退休收益的調(diào)整越小, 并最終保持在0.33左右.

圖2 模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)βS和風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)r對(duì)最優(yōu)策略(π*(t),f*(t))的影響

4.2 資本市場(chǎng)回報(bào)率、工資和目標(biāo)收益增長(zhǎng)率對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

為了了解模型中參數(shù)收益率μ和波動(dòng)率σ的變化對(duì)最優(yōu)策略的影響, 首先給出參數(shù)對(duì)最優(yōu)控制策略的敏感性分析，結(jié)果如圖3所示.

圖3 回報(bào)率μ和波動(dòng)率σ對(duì)策略π*(0)的影響

圖4顯示：

圖4 工資增長(zhǎng)率α和目標(biāo)收益增長(zhǎng)率β對(duì)策略f*(0)的影響

當(dāng)α增大時(shí),f*(0)的值增大，計(jì)劃管理者增加初始工資替代率f*(0)而不需要任何額外的資產(chǎn)；

當(dāng)β增大時(shí),f*(0)的值會(huì)減少，必須限制支出以使得更多的初始資金能夠用于投資.

4.3 模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響

假定r0是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,λ是收益偏差的懲罰權(quán)重.

從圖5可以看出，隨著無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r0的增加, 投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的數(shù)量減少.

圖5 參數(shù)r0對(duì)π*(t)的影響

從圖6 可以看出，f*(t)對(duì)λ的變化并不敏感.

圖6 參數(shù)λ對(duì)f*(t)的影響

5 結(jié) 論

在模型具有不確定性的研究框架下, 研究了TBP養(yǎng)老金計(jì)劃成員的魯棒最優(yōu)投資組合問(wèn)題.

假設(shè)管理者將養(yǎng)老金投資于一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn), 以此來(lái)規(guī)避市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn).考慮在連續(xù)時(shí)間下, 養(yǎng)老金計(jì)劃參保人的繳費(fèi)是確定的, 而養(yǎng)老金的收益給付是目標(biāo)收益給付, 資金賬戶收益風(fēng)險(xiǎn)由不同代際的參保人共同承擔(dān).模型考慮了隨機(jī)工資以及工資變動(dòng)與市場(chǎng)波動(dòng)之間的相關(guān)性, 建立集體賬戶的動(dòng)態(tài)模型, 其中養(yǎng)老金計(jì)劃成員的隨機(jī)工資具有幾何布朗運(yùn)動(dòng)特征.計(jì)劃成員對(duì)金融市場(chǎng)的概率測(cè)度和隨機(jī)薪酬缺乏完全的信心.應(yīng)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法, 在一定的技術(shù)條件下, 得到了魯棒投資策略的顯式表達(dá)式和相應(yīng)的定義良好的價(jià)值函數(shù).在模型不確定性框架中, 優(yōu)化目標(biāo)是退休收益風(fēng)險(xiǎn)(偏離目標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn))和代際之間風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)的組合最小化, 在指數(shù)目標(biāo)形式下通過(guò)隨機(jī)最優(yōu)控制方法導(dǎo)出相應(yīng)的HJB方程, 進(jìn)而得到最優(yōu)投資策略和最優(yōu)退休收益調(diào)整策略的解析解.

數(shù)值分析的結(jié)果顯示:

1)參保成員的模糊風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高, 其采取的投資策略越保守;

2)對(duì)工資隨機(jī)波動(dòng)的厭惡水平在TBP養(yǎng)老金中對(duì)穩(wěn)健最優(yōu)投資策略的影響較小，而對(duì)股價(jià)隨機(jī)波動(dòng)的厭惡水平對(duì)策略的影響較大;

3)隨著時(shí)間推移, TBP養(yǎng)老金財(cái)富前期穩(wěn)定增長(zhǎng), 隨之增長(zhǎng)速度越來(lái)越緩慢.

在未來(lái)的研究中, 可以考慮更復(fù)雜的情況.例如, 考慮隨機(jī)波動(dòng)率模型如CEV 模型、Heston模型下的TBP問(wèn)題.