李 波,何啟志

(安徽財經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

1 引 言

一般而言，市場結(jié)構(gòu)可分為寡占、多寡頭以及完全競爭三種形式.目前常見的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)存在方式多為多寡頭形式，尤其是雙寡頭市場結(jié)構(gòu)，比如飲料產(chǎn)業(yè)中的百事和可口、航空制造業(yè)的波音和空客等.大量的研究表明簡單預(yù)期假設(shè)下的企業(yè)競爭演化路徑具有相當(dāng)高的復(fù)雜性，為了在公司管理層面進(jìn)行競爭策略的優(yōu)化，經(jīng)濟(jì)學(xué)家在簡單預(yù)期假設(shè)基礎(chǔ)上提出了適應(yīng)性預(yù)期，即通過對歷史產(chǎn)量進(jìn)行加權(quán)平均得出當(dāng)期的產(chǎn)量預(yù)期.進(jìn)一步，假設(shè)處于競爭狀態(tài)的兩家企業(yè)總成本變化對彼此影響程度不對稱可以構(gòu)造更符合人類決策行為特點的雙寡頭模型，這一模型更符合認(rèn)知心理學(xué)相關(guān)領(lǐng)域?qū)?jīng)濟(jì)實踐中企業(yè)競爭現(xiàn)象的研究成果.研究者借助于非線性動力系統(tǒng)理論考察均衡狀態(tài)下企業(yè)競爭行為的可能性，比如均衡點的周期性及其彼此之間的演化路徑等問題.比如Zhang和Gao(2019)[1]基于外推預(yù)測技術(shù)構(gòu)造了非線性Cournot寡頭模型并發(fā)現(xiàn)弱預(yù)測技術(shù)下富有理性的調(diào)整機(jī)制意味著更傾向于收斂非對稱平衡點.常建偉等(2017)[2]研究了在企業(yè)環(huán)境行為監(jiān)管中，利用演化博弈理論建立了一個帶有不同訴求的主體的動態(tài)模型，結(jié)果發(fā)現(xiàn)動態(tài)懲罰控制方法將有利于排污企業(yè)做出污染物處理的最優(yōu)策略選擇.

當(dāng)前利用非線性動力學(xué)理論和動態(tài)博弈研究寡頭競爭的模型主要集中在管理授權(quán)、預(yù)期假設(shè)和市場信息獲取及分析能力等方面.隨著職業(yè)經(jīng)理人的出現(xiàn)，公司的所有權(quán)和管理權(quán)出現(xiàn)分離，此時公司發(fā)展的動力將不完全是利潤最大化.Wu和Ma(2015)[3]研究了部分私有化與交叉持股狀態(tài)下混合雙寡頭博弈情形下的復(fù)雜動力學(xué)行為，尤其是涉及管理授權(quán)中的委托代理理論.Gori等(2017)[4]構(gòu)造了一類基于市場收益獎勵機(jī)制下產(chǎn)品差異化對于競爭狀態(tài)影響的Cournot寡頭競爭模型，研究表明一般均衡點可能會不存在，需要引入更復(fù)雜的均衡結(jié)構(gòu).通常假設(shè)公司可以獲知完全信息從而做出合理預(yù)期，顯然這在真實的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中是不可能存在的.即使公司能獲知完全信息，而要做出最優(yōu)預(yù)期也需要有強(qiáng)大的分析和計算能力以及巨大的成本耗費.基于可變成本的信息，Ma和Ren(2018)[5]研究了兩階段決策的雙寡頭博弈的動力學(xué)性質(zhì)，尤其是可變成本對寡頭競爭中主從關(guān)系這一競爭模式的影響.在理性預(yù)期選擇方面，Wei和Yu(2014)[6]研究了有界理性條件下雙寡頭模型的動力學(xué)行為，討論了均衡的存在性和穩(wěn)定性問題，由此得到了周期倍增演化軌道和多均衡狀態(tài).相關(guān)研究結(jié)果說明競爭者對產(chǎn)品總量的調(diào)整速度會影響均衡的穩(wěn)定性，并且證明雙寡頭競爭者各自的預(yù)期對寡頭模型的動力學(xué)行為有重要影響.更多關(guān)于企業(yè)競爭策略選擇中預(yù)期管理方面的研究結(jié)果表明理性預(yù)期選擇并無簡單的好壞之分，具體情況與處于競爭狀態(tài)的其他企業(yè)預(yù)期選擇密切相關(guān)，兩者之間的策略互動情況將決定企業(yè)競爭行為的具體演化過程.Andaluz 和Jame(2016)[7]考慮了有界理性下Cournot-Bertrand類模型的動力學(xué)行為，尤其是研究了倍周期誘導(dǎo)出混沌這一現(xiàn)象.

離散Kopel雙寡頭模型是一類比較重要的寡頭壟斷模型.Canovas和Munoz(2018)[8]重點探究了系統(tǒng)在一維不變子集上的拓?fù)浠煦缧袨?，并通過拓?fù)潇睾妥畲罄钛牌罩Z夫指數(shù)的計算進(jìn)行了驗證.

這里將重點探究模型平衡點失穩(wěn)情形下的動態(tài)性質(zhì)，從而討論對稱Kopel雙寡頭模型的復(fù)雜動力學(xué)及其演化現(xiàn)象.首先借助穩(wěn)定性理論給出穩(wěn)定性分析的結(jié)果，其次通過構(gòu)造(廣義)特征向量和伴隨特征向量計算臨界規(guī)范型及其對應(yīng)的系數(shù)并在此基礎(chǔ)上討論1∶4共振的存在性與相關(guān)結(jié)果，最后借助數(shù)值模擬手段演示理論分析結(jié)果所蘊(yùn)含的復(fù)雜的動力學(xué)性質(zhì).

2 Kopel雙寡頭模型及其穩(wěn)定性

考慮式(1)所示的離散Kopel雙寡頭模型.

(1)

其中x,y分別為市場中兩個寡頭企業(yè)的產(chǎn)量，ρ,μ均為正常數(shù)，分別用來衡量市場上產(chǎn)量變化的權(quán)重和競爭對手產(chǎn)量變化對生產(chǎn)成本函數(shù)影響的程度.

注：模型(1)中所有變量均已做無量綱化處理.

具體而言，模型(1)中的兩個寡頭企業(yè)是基于有限信息做出產(chǎn)量調(diào)整的決策，其中產(chǎn)量調(diào)整是對自身產(chǎn)量和競爭對手產(chǎn)量的函數(shù)加權(quán)后求和的.這里采用非線性logistic函數(shù)估計競爭對手產(chǎn)量對自身的影響，更進(jìn)一步的推導(dǎo)和解釋見Canovas和Munoz(2018)[8].

對于模型(1)，當(dāng)參數(shù)(ρ,μ)變化時映射(1)的不動點的個數(shù)和穩(wěn)定性都會發(fā)生變化.顯然平凡不動點(0,0)會一直存在，但該點因沒有經(jīng)濟(jì)學(xué)意義而不被分析.

當(dāng)μ≥3,映射(1)存在一組對稱不動點E1(x1,y1)和E2(x2,y2)，其中

關(guān)于以上不動點的穩(wěn)定性分析可見文獻(xiàn)(Puu,2018).當(dāng)映射(1)的不動點處的Jacobian矩陣特征值的模等于1時，映射(1)在不動點處可能出現(xiàn)叉式分支、flip分支、Neimark-Sacker分支這三類單參數(shù)分支.與此對應(yīng)的將出現(xiàn)不動點的湮滅、倍周期、擬周期和混沌現(xiàn)象.在已有叉式分支、flip分支和Neimark-Sacker分支定性分析的基礎(chǔ)上研究雙參數(shù)分支中的1∶4共振分支.針對Neimark-Sacker分支退化情形進(jìn)行分析，可以得到1∶1,1∶2,1∶3和1∶4共振四類情形.而1∶1,1∶2,1∶3共振三類情形過于平凡不予分析，1∶4共振發(fā)生時滿足的條件和其共振點鄰域內(nèi)的復(fù)雜動力學(xué)性質(zhì)成為重點分析的對象.

3 Neimark-Sacker分支分析及其廣義情形1∶4共振

第一步特征值分析給出分支存在的可能性

映射(1)在不動點E1(x1,y1)處的Jacobian矩陣為

映射(1)可以通過如下方式平移不動點到原點，(x,y)=(u+x1,v+y1)，此時映射(1)轉(zhuǎn)變?yōu)橛成?2).

(u,v)T→Δ(x1,y1,ρ,μ)(u,v)T+H(u,v)，

(2)

其中H(u,v)=-ρμ(v2,u2)T.

第二步構(gòu)造特征向量及其伴隨特征向量并在此基礎(chǔ)上求解其規(guī)范型

選取p,q∈2作為Δ(x1,y1,ρ,μ)的(廣義)特征向量和(廣義)伴隨特征向量.此時，可以對整個狀態(tài)空間進(jìn)行特征子空間分解并計算一定條件下的臨界特征子空間及其臨界分支參數(shù).在2空間，選取

其中

并且有

此時存在ω∈2,使得映射(2)在新坐標(biāo)下可以表示為映射(3).

(3)

其中

第三步計算其臨界系數(shù)并論證1:4共振分支存在的條件

此時可以構(gòu)造坐標(biāo)變換零子化映射(3)中的部分二次項和三次項，最終系統(tǒng)可變?yōu)槿缦滦问?這里仍用ω作為坐標(biāo)變量)，

其中

以上分析說明映射(1)在不動點E1(x1,y1)處可能出現(xiàn)1∶4共振現(xiàn)象.

(1)對映射(1)的一組非平凡四周期不動點而言，存在一條fold分支曲線.當(dāng)參數(shù)在分支曲線鄰域內(nèi)變化時，不動點將消失或出現(xiàn)倍增的情形；

(2)映射(1)在情形(1)中的不動點處出現(xiàn)Neimark-Sacker分支.

4 數(shù)值模擬

基于有限信息下相似競爭行為假說的理論，使用MATLAB軟件對雙寡頭企業(yè)競爭行為進(jìn)行仿真模擬，分別考慮三種競爭情形下的博弈結(jié)果及其相關(guān)演化性質(zhì).

圖1 固定時的分支圖

由圖2可知競爭對手企業(yè)的影響因素越大，雙方企業(yè)的動力學(xué)行為越傾向于復(fù)雜，其動力學(xué)由嚴(yán)格收斂于平衡點到收斂于固定軌道，直至最后處于混沌狀態(tài).

圖2 映射(1)在ρ=1，μ∈[3.4,4]情形數(shù)組合下的相圖

圖3 固定時的分支圖

圖4 映射(1)在情形數(shù)組合下的相圖

圖6表明在一定參數(shù)條件下映射(1)存在一個內(nèi)發(fā)散外收斂的不變閉軌道，并且隨著ρ的變化閉軌道破裂稱為11個具有類似性質(zhì)的閉軌道，最后閉軌道全部破裂生成一個“靴子”形狀的混沌吸引子.

在討論以上三類動力學(xué)性質(zhì)時都涉及了混沌現(xiàn)象.通過計算最大李雅普諾夫指數(shù)的方法進(jìn)行驗證.圖7的三個指數(shù)圖分別為對應(yīng)圖1、圖3和圖5的最大李雅普諾夫指數(shù)圖.

對比圖7和圖1、圖3和圖5可以發(fā)現(xiàn)三類動力學(xué)行為都存在穩(wěn)定區(qū)域、準(zhǔn)周期區(qū)域以及混沌區(qū)域.

圖5 固定時的分支圖

圖6 映射(1)在情形數(shù)組合下的相圖

圖7 最大李雅普諾夫指數(shù)圖

5 結(jié) 論

在已有Kopel模型的分支結(jié)果的基礎(chǔ)上對Neimark-Sacker分支的廣義情形1∶4共振問題開展了研究.研究結(jié)果表明，當(dāng)(ρ,μ)滿足定理1所給條件時，Kopel模型將在一類非平凡不動點處出現(xiàn)1∶4共振現(xiàn)象.該現(xiàn)象的出現(xiàn)意味著fold分支、Neimark-Sacker分支及同宿軌道的出現(xiàn).

數(shù)值分析說明一定程度上映射(1)的相圖可以做90°旋轉(zhuǎn)而不變，即出現(xiàn)4對稱，這也是1∶4共振所蘊(yùn)含的特有性質(zhì)之一.當(dāng)ρ=0.95(<1)時，企業(yè)綜合考慮歷史產(chǎn)量對當(dāng)期產(chǎn)量的預(yù)期并賦予自身歷史產(chǎn)量更大比重.當(dāng)ρ=1時，即企業(yè)完全不考慮自身歷史產(chǎn)量所產(chǎn)生的影響，僅僅調(diào)整競爭對手對自身未來預(yù)期產(chǎn)生的影響程度.在這兩種情形下對于處于競爭中的兩個企業(yè)而言存在產(chǎn)量上的多重均衡點，但始終在一個可預(yù)測的軌道之中.甚至在一定參數(shù)區(qū)間內(nèi)當(dāng)任何一方企圖打破平衡時，均衡點也始終處于一個可預(yù)測的軌道之中.當(dāng)ρ>1時，映射(1)出現(xiàn)了不同于此前的現(xiàn)象，即產(chǎn)量的不同調(diào)整方向趨向于同一類均衡狀態(tài)，出現(xiàn)同宿現(xiàn)象.此時意味著同時存在多個均衡狀態(tài)，企業(yè)競爭策略的調(diào)整僅僅在不同狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移，競爭雙方極有可能呈現(xiàn)出事實上的共謀情形.此外，與初始狀態(tài)無關(guān)，映射(1)始終存在參數(shù)區(qū)間使雙方的競爭處于混沌狀態(tài)，這是一種不利于雙方企業(yè)獲取可能的最優(yōu)利潤情形.