馮宜偉 任方杰

（蘭州理工大學電氣工程與信息工程學院 蘭州 730050）

1 引言

在網(wǎng)絡控制系統(tǒng)（Networked Control Systems，NCSs）中傳感器、控制器和執(zhí)行器等系統(tǒng)組件通過實時網(wǎng)絡進行信息交換。與傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)相比，NCSs具有成本低，可靠性高，簡便安裝和維護以及易于實現(xiàn)遠程控制等優(yōu)點，因此被廣泛應用于工業(yè)控制、智能交通、航空航天［1～3］等領域。然而由于數(shù)據(jù)在網(wǎng)絡傳輸過程中的不確定性，可能會導致數(shù)據(jù)傳輸時間延遲和失包等問題，并且時間延遲的存在將導致動態(tài)系統(tǒng)的性能降低和不穩(wěn)定，同時也給控制系統(tǒng)的分析和設計帶來了更大的復雜性。因此，如何對NCSs 進行穩(wěn)定性分析與控制器綜合，是當前研究的重點。

在網(wǎng)絡環(huán)境中，時間延遲是隨機的且不斷變化，這種變化可以用Markov 跳變模型來描述。近年來，關于網(wǎng)絡Markov 跳變系統(tǒng)得到了廣泛的研究［4～8］。文獻［4］研究不確定時變時滯廣義連續(xù)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，通過采用凸不等式和Jensen不等式降低了系統(tǒng)穩(wěn)定的保守性。文獻［5］針對具有時延和丟包的不確定NCSs提出了一種新的穩(wěn)定性判據(jù)，利用自由加權矩陣和Newton Leibniz公式，引入Jensen 積分不等式，構造了具有兩個Markov鏈的時變時滯系統(tǒng)，使其具有更好的穩(wěn)定性。文獻［6］建立了離散切換系統(tǒng)，進而采用Markov 隨機過程理論和切換系統(tǒng)理論，結合線性矩陣不等式（LMI）給出了系統(tǒng)滿足相應隨機均方指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。文獻［7］采用Markov 隨機過程對含有時延的NCSs 進行建模，利用凸組合方法和改進的Wirtinger 積分不等式得到系統(tǒng)較弱的保守性。文獻［8］研究了含有雙邊隨機時延的NCSs 穩(wěn)定性的問題，通過將雙邊時延的跳變特性描述為一個有限狀態(tài)的Markov 隨機過程，并將NCSs 建模為參數(shù)不確定的離散時間跳變模型，給出了時變控制器的設計方法，但它考未慮NCSs 中量化作用的影響?；谝陨戏治?，學者們都取得了豐碩的研究成果，但時滯NCSs 的穩(wěn)定依賴性仍有待提高。此外，外界擾動對NCSs 性能的影響也不可忽視。因此在NC?Ss 中，魯棒H∞控制器的設計也一直是學者們研究的熱門課題。文獻［9］研究了具有時變時延和分組的NCSs 的穩(wěn)定性，其被建模為兩個獨立的Markov跳躍模型，并且針對外界擾動給出了H∞控制性的充分條件。文獻［10］研究了離散時間奇異Markov跳變系統(tǒng)在轉移概率部分未知時的靜態(tài)輸出反饋魯棒H∞控制問題，給出了滿足系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性條件。文獻［11］研究了具有輸入輸出量化的不確定離散線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，針對具有范數(shù)有界不確定性和雙重量化的閉環(huán)系統(tǒng)，提出了LMI的充要條件，但文獻尚未考慮時延作用的影響。文獻［12］研究了具有丟包和輸入和輸出量化的不確定線性NCSs 的魯棒穩(wěn)定性問題，利用LMI 給出了具有范數(shù)有界不確定性的雙量化閉環(huán)系統(tǒng)二次穩(wěn)定性的充要條件，求得最粗對數(shù)量化密度，在該密度下，不確定被控對象可以通過量化狀態(tài)反饋進行二次穩(wěn)定。文獻［13］研究了基于滑模觀測器下含有時變時延的不確定網(wǎng)絡系統(tǒng)的量化反饋控制問題，通過構造一個新的Lyapunov-Krasovskii 泛函使動態(tài)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，但關于控制器的輸入輸出量化問題文獻尚未考慮。

基于以上分析，本文針對一類具有時變時延的不確定網(wǎng)絡量化反饋控制系統(tǒng)問題進行研究?？紤]被控對象受不確定性和外部擾動輸入的影響，為了提高控制系統(tǒng)性能，采用雙量化模型，將存在于傳感器到控制器和控制器到執(zhí)行器的網(wǎng)絡時延建模為連續(xù)時間狀態(tài)的Markov 鏈，通過構造依賴于網(wǎng)絡時延的量化反饋控制器，將NCSs建模為一個有限狀態(tài)集合上的連續(xù)時間齊次Markov 跳變模型。然后采用改進Lyapunov-Krasovskii 泛函和矩陣不等式技術方法對不確定網(wǎng)絡量化反饋控制系統(tǒng)進行H∞性能分析，并設計量化反饋控制器使系統(tǒng)具有隨機穩(wěn)定性且滿足H∞性能指標γ。

2 問題描述

考慮如下不確定線性時不變連續(xù)系統(tǒng)：

式中，x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)；u(t)∈Rm是控制輸入；z(t)∈Rl是控制輸出；w(t)∈Rp是外界擾動；Φ(t)是系統(tǒng)初始狀態(tài)；A，B，D，D1是具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣，?A，?B是反應系統(tǒng)參數(shù)不確定性的時變矩陣，假設參數(shù)不確定性具有以下形式：

式 中，H ∈Rn×α；F(k)∈Rα×β是 一 個 滿 足FT(t)F(t)≤I的時變矩陣；E1∈Rβ×n和E2∈Rβ×m分別是已知的適維常數(shù)矩陣。在如圖1所示的NC?Ss中，被控對象、智能傳感器、控制器與執(zhí)行器通過公共網(wǎng)絡進行連接。

圖1 具有時延和量化的不確定網(wǎng)絡控制系統(tǒng)

由于數(shù)據(jù)在網(wǎng)絡傳輸中會產(chǎn)生時延，在圖1中，τsa(t)表示傳感器到控制器之間的網(wǎng)絡時延，τca(t)表示控制器到執(zhí)行器之間的網(wǎng)絡時延。假設這些網(wǎng)絡時延是隨機時間變化的且具有Markov 特性，并分別將τsa(t)，τca(t)記為τsa(η(t) )，τca(γ(t) )。其中，η(t)和γ(t)是連續(xù)時間離散狀態(tài)Markov 隨機過程，相應地有限狀態(tài)集合分別為S1={1 ，2，…，N1} 和S2={1 ，2，…，N2} ，η(t)的轉移概率矩陣表示為Π=(π1ij)∈RN1×N1，其定義為

式中，表示量化測量間隔，0 ＜ρj＜1 是量化密度，量化密度越低，則量化越粗糙，量化密度越大，則量化結果越準確。量化器qj( ·) 將每個間隔映射為一個量化級數(shù)，其量化器qj( · )的函數(shù)表達式為

式中，v對應對數(shù)量化器的輸入，qj(v)對應對數(shù)量化器的輸出，σj為參數(shù)，且滿足

根據(jù)Fu 和Xie［14］中提出的扇區(qū)界面表達式可以表示為

式中，不確定矩陣?=diag{?1， …， ?m} 滿足?j∈[-σj，σj]，j=1，2，…，m。

在NCSs中，狀態(tài)反饋控制器表示為

式中，K表示反饋控制增益。

如圖1 所示NCSs 中，采用兩個式（3）的對數(shù)量化器f( · )和g( · )分別對狀態(tài)信號和控制信號進行量化。傳感器將采樣信號x(tkh)傳輸給量化器f( · )后得到量化信號x?(tkh)，量化信號x?(tkh)經(jīng)過網(wǎng)絡傳輸給控制器得到控制器輸出信號u?(t)，控制器輸出信號經(jīng)過量化器g( · )和網(wǎng)絡后得到控制輸入信號u(t)，結合式（5）得到如下表達式

圖2 對數(shù)量化器

然后，結合式（5）和（6）得到

根據(jù)網(wǎng)絡時延的描述，結合系統(tǒng)式（1）得到新的閉環(huán)控制系統(tǒng)，表示為

式中，?(K)=?gKi+?fKi+?gKi?f。本文研究目的是針對具有Markov 特性的閉環(huán)控制系統(tǒng)（8），設計量化反饋控制增益Ki，從而使系統(tǒng)（8）是隨機穩(wěn)定的，并且滿足H∞性能指標γ。

為了后面理論推導，做如下合理假設：

1）傳感器采用周期為h的時間驅動，控制器和執(zhí)行器采用事件驅動；

2）數(shù)據(jù)在經(jīng)過網(wǎng)絡傳輸過程中不發(fā)生數(shù)據(jù)丟包，僅考慮從傳感器到控制器和控制器到執(zhí)行器傳輸時延τsa(t)、τca(t)；

3）被控對象的所有狀態(tài)向量都是可測的。

3 主要結果

為證明本文的主要結論，首先給出以下引理。

引理1［15］：（Schur 補引理）假如存在矩陣S1、S2和S3，其 中＞0 ，，則3＜0 成立等價于

引理2［16］：給定對稱矩陣Y，適當維數(shù)的矩陣H、V，對所有滿足FT(t)F(t)≤I的時變矩陣F(t)，如果Y+HF(t)V+VFT(t)HT＜0，當且僅當存在β＞0，使得Y+βHHT+β-1VTV＜0 成立。

引 理3［17］：給 定 正 對 稱 矩 陣M1∈Rn1×n1和M2∈Rn1×n1，對任意的標量γ＞0，U＞0，有如下不等式成立：

其中，α是n1維的列向量，β是n2維的列向量。

引 理4［18］：對 任 意 常 對 稱 矩 陣M∈Rn×n，M＞0，標量α＞0，向量函數(shù)ξ:[0 ，α] →Rn，可以定義如下積分：

引理5［19］：給定對稱矩陣Z0，Z1，半正定矩陣Z2≥0 和 向 量ξt，存 在 任 意α∈[α1，α2] ，有f(α1) ＜0 ，f(α2)＜0 時 ， 則 有 下 式f(α)=＜0 成立。

引理6［20］：已知矩陣R＞0，XT=X和任何標量ρ，有以下不等式成立：

3.1 H∞性能分析

定理1：對于給定常數(shù)0 ＜τm＜τM、γ＞0、ρ1、ρ2和反饋控制增益Ki，如果存在對稱正定矩陣P(i)＞0，R1(i)＞0，R2(i)＞0，Wi＞0(i∈S)，Ql＞0，Zl＞0(l=1，2，3) ，Rn＞0(n=1，2)，適當維數(shù)的矩陣U，U1，U2，S，S1，S2適當維數(shù)的對角矩陣Λ ＞0，Π ＞0 和標量0 ＜σi＜1使得以下LMI成立：

則閉環(huán)控制系統(tǒng)（8）是隨機穩(wěn)定的且滿足H∞性能指標γ。

證明：對于閉環(huán)控制系統(tǒng)（8），構造如下的Ly?apunov-Krasovskii泛函為

沿著系統(tǒng)（8）的狀態(tài)軌跡分別求取V1(t，i)，V2(t，i)，V3(t，i)，V4(t，i)和V5(t，i)的弱無窮小算子，并記作?V1(t，i)，?V2(t，i)，?V3(t，i)，?V4(t，i)和?V5(t，i)。

然后利用引理3、4和6，可以得到如下

當w(t)=0 時，根據(jù)Schur 補引理和引理2，對于任意滿足FT(t)F(t)≤I的不確定性項F(t)，可以得到

綜合上述引理3 和引理5，當同時滿足條件{Y(τi(t))}τi(t)=τm＜0 和{Y(τi(t))}τi(t)=τM＜0 時，可以得到該結果保證了在零初始狀態(tài)下的H∞性能指標‖z(t)‖2≤γ‖w(t)‖2成立。則當滿足條件式（9）～（11）時，閉環(huán)控制系統(tǒng)（8）是隨機穩(wěn)定的，且滿足H∞性能指標γ。

3.2 量化控制器設計

定理2：對于給定常數(shù)0 ＜τm＜τM、γ＞0 、ρ1、ρ2和反饋控制增益Ki，如果存在對稱正定矩陣0 ，＞0 ，(i)＞0 ，0 ，＞0(l=1，2，3) ，0(n=1，2) ，0 ，適當維數(shù)的矩陣，Yi(i∈s)，適當維數(shù)的對角矩陣Λ?＞0，Π ＞0 和標量0 ＜σi＜1 使得以下LMI成立：

則閉環(huán)控制系統(tǒng)（8）是隨機穩(wěn)定的，且滿足H∞性能指標γ，狀態(tài)反饋控制增益為Ki=。

證 明：令-2M1ΛM2+2Λ=2MΛM，-2N1ΠN2+2Π=2NΠN對式（9）～（11）進行合同變換。定義?=diag，然 后 在(i，t))的兩邊同時分別乘以矩陣?及其轉置，同時令Yi=，通過結合引理1 和引理6，即可得到式（13）-（15）。 其 中，，是以一種非線性形式存在于式（13）中，通過定理1無法直接進行求解，應用常見的處理不確定項的方法，可以進行如下處理。由于Λ-1=通過結合引理6，可以得到不等式-Λ-1≤和-Π-1≤-2q2I。然后將不等式代入式（13）中，隨后在方程（10）的兩邊同時左乘和右乘，即可得到?，則當滿足條件式（13）～（14）時，閉環(huán)控制系統(tǒng)（8）是隨機穩(wěn)定的，且滿足H∞性能指標γ。證明完成。

4 仿真算例

為了驗證文中所給出方法的有效性，下面給出相應的仿真算例。傳感器是時間驅動的，以h=0.1s為周期對被控對象進行采樣。考慮閉環(huán)控制系統(tǒng)（8），其參數(shù)矩陣如下：

Markov狀態(tài)轉移概率矩陣為

系統(tǒng)的Markov 模態(tài)個數(shù)為2，網(wǎng)絡時延下界τm=0.01，上界τM=0.06，系統(tǒng)狀態(tài)的初始值為，考慮不同量化密度ρ1、ρ2對系統(tǒng)H∞性能指標γ的影響，取不同的量化密度ρ1=ρ2，得到系統(tǒng)H∞性能指標γ如表1 所示。因此，可以得到隨著量化密度ρ1=ρ2的不斷遞減，H∞性能指標γ不斷遞增，量化越來越密集，量化反饋控制器的抗干擾性能越好。

表1 H∞性能指標γ 與量化密度ρ1、ρ2 的關系

圖3表示系統(tǒng)的Markov跳變，且系統(tǒng)的轉移概率是已知的。圖4 表示具有Markov 跳變系統(tǒng)的狀態(tài)響應，從圖可知，系統(tǒng)狀態(tài)逐漸趨近于零，且具有隨機穩(wěn)定性。假設取量化器fj( · )和gj( · )的量化密度ρ1=ρ2=0.5，σ1=σ2=0.333，γ=0.624 ，在零初始條件下，即x0=[2 -2]T，外界干擾w(t)為高斯白噪聲，根據(jù)定理2 可得相應的量化反饋控制器增益如下：

圖3 模態(tài)r（t）

此時的狀態(tài)曲線如同5 所示，說明系統(tǒng)隨機穩(wěn)定且具有很好的魯棒性。

圖4 系統(tǒng)的狀態(tài)響應

圖5 系統(tǒng)的狀態(tài)響應（w( )t ≠0）

從以上結論可知，本文設計提出的量化反饋控制器是有效的，能夠使系統(tǒng)（8）是隨機穩(wěn)定，并且滿足H∞性能指標γ。

5 結語

本文主要研究了含有時變時延的不確定網(wǎng)絡量化反饋系統(tǒng)的H∞控制問題，通過構造依賴于網(wǎng)絡時延的量化反饋控制器，將NCSs 建模為一個基于有限狀態(tài)Markov 鏈的連續(xù)時間跳變模型，通過構造一種新型包含二次項和積分項的Lyapu?nov-Krasovskii 泛函，利用Jensen 不等式消除了積分項，不需要求解Wirtinger不等式和自由加權矩陣來得到系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性且滿足H∞性能指標γ的充分條件。隨后利用二次凸技術、增廣狀態(tài)向量和隨機切換系統(tǒng)理論來得到量化反饋控制器的設計方法。最后，給出了一個數(shù)值仿真來證明該方法的有效性。