李雪巖，祝 歆，李 靜

(1.北京聯(lián)合大學(xué)管理學(xué)院，北京100101；2.北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京100044)

0 引 言

城市公共交通系統(tǒng)多模式網(wǎng)絡(luò)化進(jìn)程不斷加速，差異化票價(jià)改革方案不斷被提出，但目前公共交通系統(tǒng)既有價(jià)格機(jī)制與差異化策略仍缺乏靈活性，造成運(yùn)力配置缺乏科學(xué)性等問題[1].

城市公共交通系統(tǒng)票價(jià)的差異化研究多針對(duì)運(yùn)輸方式之間的競(jìng)爭(zhēng)策略、時(shí)段差異[2]、優(yōu)惠措施[3]、排放補(bǔ)貼[4]或一票制[1].差異化票價(jià)的理論基礎(chǔ)來源于網(wǎng)絡(luò)擁擠收費(fèi)思想[2]，既有研究表明，相對(duì)于一票制，分段票制更加具有優(yōu)勢(shì)[5]，故引入差異化計(jì)程票制更加符合公共交通服務(wù)多元化發(fā)展的實(shí)際需求.公共交通具有公共資源屬性，社會(huì)成員具有有限理性與利己性，并不能總是保持理性合作，容易造成資源使用的社會(huì)困境.當(dāng)個(gè)體偏好與獲得效用受到?jīng)Q策環(huán)境影響，會(huì)對(duì)宏觀政策產(chǎn)生阻礙或放大作用，使整體均衡發(fā)生轉(zhuǎn)移，這一現(xiàn)象已被社會(huì)學(xué)領(lǐng)域相關(guān)研究所驗(yàn)證[6].此外，公交系統(tǒng)票價(jià)優(yōu)化要考慮多個(gè)決策目標(biāo)，如票價(jià)收入、出行成本，現(xiàn)實(shí)中很難精準(zhǔn)測(cè)定不同目標(biāo)的先驗(yàn)權(quán)重，故票價(jià)結(jié)構(gòu)應(yīng)該是一組供決策者進(jìn)行多角度權(quán)衡的帕累托最優(yōu)解.

本文基于差異化計(jì)程票制，引入后悔理論與社會(huì)交互機(jī)制刻畫出行行為，建立更加符合實(shí)際需求特征的多目標(biāo)公交票價(jià)優(yōu)化模型，采用集群智能優(yōu)化算法求解，通過優(yōu)化票價(jià)方案提升運(yùn)營(yíng)收入，降低出行成本，有效誘導(dǎo)交通流.

1 問題描述

定義路網(wǎng)G=(V,E)，V為起訖站點(diǎn)集合，E為路段集合；R為公交線路集合，每條線路由站點(diǎn)和路段組成；D表示路網(wǎng)G的OD 固定需求矩陣，其中，di,j為站點(diǎn)i,j間需求，i,j∈V，N為站點(diǎn)數(shù)量.在起訖點(diǎn)i,j之間，出行者在不同公交線路(無換乘)與私家車之間選擇，i,j間公交線路r上承擔(dān)的客流為1,2,…,R)，由于公交與私家車之間、不同公交線路間存在競(jìng)爭(zhēng)，客流會(huì)在私家車及不同公交線路間轉(zhuǎn)移.不同公交線路具有不同的單位里程基準(zhǔn)票價(jià)Pr，乘客依據(jù)行程長(zhǎng)短支付費(fèi)用；若選擇私家車，則需要支付停車費(fèi).公交單位里程基準(zhǔn)票價(jià)、發(fā)車頻率及停車費(fèi)為優(yōu)化變量.

2 乘客出行選擇行為

2.1 廣義出行費(fèi)用

(1)候車時(shí)間成本.

對(duì)于公交出行，乘客以泊松過程到達(dá)車站，強(qiáng)度為λ，出行者x到達(dá)車站的時(shí)刻為tx，線路r發(fā)車頻率為fr，fmin≤fr≤fmax，fmin，fmax分別為最小、最大發(fā)車頻率.乘客的到達(dá)視為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從上的均勻分布，即，總體等待時(shí)間期望值為表示t時(shí)刻到達(dá)的乘客數(shù)量，候車時(shí)乘客的心理感受符合對(duì)效用的感知過程[7]，故將物理時(shí)間轉(zhuǎn)換為心理時(shí)間則候車心理時(shí)間期望Ep為

式中：α，β分別表示出行目的影響系數(shù)、注意力系數(shù)[7].

求解式(1)可得，乘客平均候車心理時(shí)間τr=對(duì)于私家車，候車心理時(shí)間為0.

(2)行程時(shí)間成本.

OD 對(duì)i,j間選擇線路r的行程時(shí)間用表示；私家車的行程時(shí)間為即該OD對(duì)間的最短公交行程時(shí)間.

(3)舒適度成本.

假設(shè)公交線路r由N個(gè)站點(diǎn)構(gòu)成，令與分別表示公交線路r上行方向(“+”)與下行方向(“-”)站點(diǎn)i到i+1之間的流量，則有

線路r在站點(diǎn)i與j間舒適度成本為

式中：Ψr表示線路r上公交車的定員；η為舒適度系數(shù)；s為站點(diǎn)序號(hào)，s=i,…,j-1.私家車不產(chǎn)生舒適度成本.

(4)經(jīng)濟(jì)成本.

對(duì)于公交車，經(jīng)濟(jì)成本為票價(jià)，令公交線路r的單位里程票價(jià)為Pr，Pr,min≤Pr≤Pr,max，Pr,max，Pr,min分別為公交票價(jià)的上、下限，站點(diǎn)i與j間在公交線路r上的距離為為公交時(shí)速，則乘客需支付對(duì)于私家車，經(jīng)濟(jì)成本為路網(wǎng)內(nèi)的停車費(fèi)Pp，Pp,min≤Pp≤Pp,max，Pp,max、Pp,min分別為停車費(fèi)的上、下限.

(5)社會(huì)互動(dòng)乘數(shù)效應(yīng).

出行者之間存在社會(huì)互動(dòng)作用，表示為I，令εx=1表示選擇公交，εx=-1表示選擇私家車，μx，μy分別為出行者x，y對(duì)路網(wǎng)內(nèi)選擇其他出行方式人數(shù)的主觀期望，為站點(diǎn)間平均需求，依據(jù)乘數(shù)互動(dòng)作用原理[6]有

式中：S表示社會(huì)互動(dòng)強(qiáng)度.

綜上，OD 對(duì)i,j間出行方式m的廣義出行費(fèi)用為

式中：ζw，ζm，ζC，ζP為單位成本轉(zhuǎn)化系數(shù)；分別為候車時(shí)間、行程時(shí)間、舒適度成本、經(jīng)濟(jì)成本.

2.2 出行選擇模型

后悔理論模型構(gòu)造經(jīng)歷了由經(jīng)典的RRM1 到RRM2再到兼顧阻抗與“后悔感覺”的改進(jìn)[8]過程，本文結(jié)合第3種模型構(gòu)造思想與上述出行場(chǎng)景，建立模型.

后悔成本為

式中：為式(5)中去除社會(huì)互動(dòng)作用的廣義出行費(fèi)用；R′(x)表示為

式中：δ為后悔厭惡水平，δ越大，出行者越厭惡后悔.令θ表示出行者對(duì)效用的感知準(zhǔn)確度，OD對(duì)i,j間選擇出行方式m的客流表示為

3 群體出行偏好均衡描述

3.1 線路客流OD矩陣均衡算法

在給定由不同線路票價(jià)Pr、停車費(fèi)Pp及發(fā)車頻率fr構(gòu)成的決策向量(P1,…,PR,Pp,f1,…,fR)基礎(chǔ)上，考慮出行者舒適度成本與社會(huì)互動(dòng)乘數(shù)效應(yīng)的不斷更新，可通過迭代算法得到與(P1,…,PR,Pp,f1,…,fR)對(duì)應(yīng)的OD客流矩陣，設(shè)計(jì)迭代算法如下.

Step 1對(duì)任意(P1,…,PR,Pp,f1,…,fR)，令初始舒適度成本與社會(huì)互動(dòng)乘數(shù)效應(yīng)I0為0，迭代次數(shù)k=0，利用式(8)計(jì)算各出行方式的客流OD矩陣

Step 2將帶入式(2)，計(jì)算各條線路的路段流量與，通過式(3)得到不同出行方式的舒適度成本；由可得出，選擇不同出行方式的人數(shù)和，帶入式(4)，得到Ik+1.

Step 3依據(jù)式(5)計(jì)算廣義出行費(fèi)用矩陣.

Step 4利用式(8)更新客流OD 矩陣，得到

Step 5對(duì)于所有m∈{r,p} ,r=1,…,R，設(shè)定為停止條件.若收斂，則為當(dāng)前(P1,…,PR,Pp,f1,…,fR)所對(duì)應(yīng)的客流OD矩陣；否則，令k=k+1，轉(zhuǎn)Step 2.

3.2 基于社會(huì)交互的群體出行偏好均衡分析

在公交車與私家車選擇中，出行者會(huì)對(duì)其他人的行為產(chǎn)生預(yù)期，這種主觀判斷可用期望值μx=E(εy)表示，由文獻(xiàn)[6]的分析可知，基于Logit模型的自我一致均衡可以表示為

全體出行者的社會(huì)均衡表示為

式中：μ*為出行者行為處于均衡狀態(tài)時(shí)，路網(wǎng)對(duì)公交或私家車的平均選擇水平.可見，價(jià)格與有限理性因素均會(huì)使均衡發(fā)生轉(zhuǎn)移.

4 多目標(biāo)票價(jià)優(yōu)化模型建立

4.1 目標(biāo)函數(shù)與約束條件

交通管理部門一方面要使交通系統(tǒng)產(chǎn)生的利潤(rùn)最大化，另一方面要使出行者的出行效用最大化，即廣義費(fèi)用的相反數(shù).現(xiàn)實(shí)中很難精準(zhǔn)確定兩目標(biāo)的先驗(yàn)權(quán)重，故引入帕累托最優(yōu)思想，即

式中：Λ表示解空間.

交通管理部門的目標(biāo)函數(shù)為

式中：為平均運(yùn)營(yíng)成本；由通過線路客流OD 矩陣均衡算法得到.

出行者效用的目標(biāo)函數(shù)為

約束條件為 ：Pr,min≤Pr≤Pr,max，Pp,min≤Pp≤Pp,max，fmin≤fr≤fmax.

4.2 模型求解算法

基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的集群智能多目標(biāo)優(yōu)化算法求解本文模型，流程如下.

則第Num(k)組解的擁擠距離為.

Step 6選擇.對(duì)于個(gè)體(i′,j′,k′)，首先，按照Step 5 的方法計(jì)算Bi′,j′,k′中每組解的擁擠距離；其次，依據(jù)輪盤賭法，在Bg與Bi′,j′,k′內(nèi)各選擇一個(gè)優(yōu)秀個(gè)體.以Bg為例，Bg中擁擠距離之和表示為則第Num(k)組解被選中的概率為記Bi′,j′,k′中選出的個(gè)體為(i″,j″,k″)，Bg中選出的個(gè)體為(i?,j?,k?).

Step 7交叉.令X=(P1,…,PR,Pp,f1,…,fR)，利用正態(tài)分布算子生成局部最優(yōu)(i″,j″,k″)與全局最優(yōu)(i?,j?,k?)交叉后的新個(gè)體Xi′,j′,k′為

Step 8變異.設(shè)置變異概率pm，每個(gè)個(gè)體依概率pm發(fā)生變異，對(duì)于個(gè)體(i′,j′,k′)所代表的解(P1,…,PR,Pp,f1,…,fR)i′,j′,k′，利用cat 映射生成混沌序列為

Step 9判斷算法是否滿足終止條件(全局非支配解集不再發(fā)生變化).若滿足，算法停止；否則，返回Step 3.

模型優(yōu)化算法流程如圖1所示.

圖1 算法流程Fig.1 Algorithm flow

5 票價(jià)優(yōu)化結(jié)果

5.1 算例路網(wǎng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)

以Mandl 基準(zhǔn)路網(wǎng)(1980)為例，對(duì)本文提出的模型與算法進(jìn)行驗(yàn)證，如圖2 所示，每條邊上的數(shù)字表示站點(diǎn)間運(yùn)行時(shí)間(min).

Mandl 基準(zhǔn)路網(wǎng)站點(diǎn)間的OD 需求詳見文獻(xiàn)[1]，為保證路網(wǎng)中每個(gè)OD 對(duì)間都有公交線路連通，設(shè)計(jì)公交線路如表1 所示.若后文無特別說明，模型參數(shù)按照表2取值.其中，參數(shù)S的取值數(shù)量級(jí)依據(jù)文獻(xiàn)[6]的回歸結(jié)果得到，參數(shù)的取值數(shù)量級(jí)依據(jù)文獻(xiàn)[1]得到，參數(shù)Pr,max，Pr,min，Pp,max，Pp,min依據(jù)目前市場(chǎng)價(jià)格平均水平取值.

圖2 Mandl 路網(wǎng)Fig.2 Mandl network

表1 公交線路設(shè)計(jì)Table 1 Bus line design

表2 模型參數(shù)Table 2 Parameters of model

5.2 OD矩陣均衡算法收斂性

首先通過數(shù)值模擬驗(yàn)證OD 矩陣均衡算法收斂性.如圖3 所示，縱軸為的取值.可見，迭代7次后，OD間客流量收斂，說明本文提出的OD矩陣均衡算法具有收斂性.

5.3 模型優(yōu)化結(jié)果

將表2 參數(shù)帶入本文算法對(duì)公交票價(jià)進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)與一票制的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.一票制票價(jià)為表2 中的單位里程票價(jià)區(qū)間中值(0.1 元)與5條線路的平均里程的乘積.兩種計(jì)價(jià)模式得出的帕累托前沿(一票制方案中僅對(duì)公交發(fā)車頻率與停車費(fèi)進(jìn)行優(yōu)化)如圖4所示.

圖3 OD 矩陣均衡算法收斂性Fig.3 Convergence of OD matrix equalization algorithm

圖4 票價(jià)優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Fare optimization results

由圖4 可知，相比于差異化計(jì)程票制，一票制使交通管理部門獲取了更高收入，但也提高了出行成本.對(duì)差異化計(jì)程票制形成的帕累托前沿進(jìn)行四等分，選取代表性票價(jià)方案1～方案5(S1～S5)，給出各方案優(yōu)化結(jié)果，如表3和表4所示.表5為不同票制下全路網(wǎng)所有OD 間平均候車時(shí)間對(duì)比結(jié)果，相比于總發(fā)車頻率最高的一票制方案，差異化計(jì)程票方案S1可進(jìn)一步減少候車時(shí)間.

5.4 有限理性對(duì)帕累托最優(yōu)解的影響

圖5 為有限理性對(duì)帕累托最優(yōu)解的影響.由圖5(a)可知，社會(huì)交互強(qiáng)度S增大時(shí)，出行者效用增加，交通管理部門總利潤(rùn)減??；由式(4)和式(5)及OD 矩陣均衡算法的Step 2 可知，社會(huì)交互為出行者提供了對(duì)不同出行方式效用的預(yù)判，而當(dāng)交互強(qiáng)度增加到一定程度時(shí)(大于2.5)，帕累托前沿趨于穩(wěn)定，說明此時(shí)出行者對(duì)效用的感知精度已經(jīng)無法通過社會(huì)交互獲得改進(jìn).由圖5(b)可知，出行者后悔厭惡水平的提升使其整體出行效用升高，出行者越厭惡后悔，對(duì)出行效用的判斷越接近客觀可觀測(cè)的出行效用.可見，出行者準(zhǔn)確掌握效用信息有助于降低出行成本.

5.5均衡轉(zhuǎn)移票價(jià)政策影響機(jī)制分析

當(dāng)出行者的社會(huì)交互行為滿足式(9)時(shí)，社會(huì)均衡滿足

表3 票價(jià)優(yōu)化結(jié)果Table 3 Fare optimization results

表4 發(fā)車頻率優(yōu)化結(jié)果Table 4 Optimization results of departure frequency

表5 全路網(wǎng)平均候車時(shí)間Table 5 Average waiting time of whole network

圖5 有限理性對(duì)帕累托最優(yōu)解的影響Fig.5 Influence of bounded rationality on Pareto optimal solution

基于本文模型優(yōu)化結(jié)果，對(duì)路網(wǎng)均衡狀態(tài)下 的出行方式選擇比例進(jìn)行數(shù)值分析，考察不同票價(jià)方案對(duì)出行選擇均衡的影響.

圖6(a)為社會(huì)交互強(qiáng)度S=1.5 對(duì)應(yīng)的方案1與方案5的模擬結(jié)果，此時(shí)基于帕累托最優(yōu)解的票價(jià)方案并不能使出行者達(dá)到均衡，但相對(duì)于方案5，具有效用提升特點(diǎn)的方案1 使主觀期望曲線向有著利于均衡的方向移動(dòng).令S=3 得到圖6(b)，將社會(huì)交互強(qiáng)度提升至一定程度后會(huì)產(chǎn)生均衡，與圖5(a)的結(jié)果一致，即社會(huì)交互強(qiáng)度的增加使帕累托前沿趨于穩(wěn)定.定義選擇公交人數(shù)比例大于0.5的均衡點(diǎn)為優(yōu)勢(shì)均衡，由圖6(b)可知，當(dāng)票價(jià)降低時(shí)，出行者群體選擇會(huì)從非均衡狀態(tài)轉(zhuǎn)移至“穩(wěn)定優(yōu)勢(shì)均衡”(接近方案5)，再轉(zhuǎn)移至“優(yōu)勢(shì)均衡”(方案1)狀態(tài).可見，對(duì)于交通管理部門，增加準(zhǔn)確的出行信息在系統(tǒng)中的傳播力度可以促進(jìn)均衡生成；在帕累托最優(yōu)解的基礎(chǔ)上進(jìn)一步調(diào)節(jié)票價(jià)，可使均衡向著鼓勵(lì)公交出行的穩(wěn)定優(yōu)勢(shì)均衡轉(zhuǎn)移.

圖6 出行者群體選擇均衡Fig.6 Group selection equilibrium

6 結(jié) 論

本文基于差異化定價(jià)思想，設(shè)計(jì)了考慮出行者行為因素的多目標(biāo)公交線網(wǎng)計(jì)程票價(jià)優(yōu)化模型.基于標(biāo)準(zhǔn)線網(wǎng)的優(yōu)化結(jié)果表明：差異化計(jì)程票制有助于降低出行成本，減少候車時(shí)間，同時(shí)也要配合增加準(zhǔn)確出行信息的社會(huì)傳播力度，帕累托最優(yōu)票價(jià)體系豐富了票價(jià)的調(diào)節(jié)機(jī)制且具有可操作性，可為交通管理部門鼓勵(lì)公交出行提供更加精細(xì)化的決策支持.