熊思淇，陳緒兵，張 聰，戴耀南

武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，武漢 430205

自焊接機(jī)器人問世以來，在制造業(yè)的多個領(lǐng)域當(dāng)中應(yīng)用越來越廣泛，包括汽車工業(yè)、航天航空以及船舶等行業(yè)。經(jīng)過50 多年的發(fā)展，焊接機(jī)器人的焊接質(zhì)量越來越穩(wěn)定，對于改善勞動條件和提高生產(chǎn)效率起到了重要的作用，尤其是在焊接領(lǐng)域，已經(jīng)逐漸取代了原始的人工焊接，從提高和優(yōu)化焊接質(zhì)量和效率的角度出發(fā)，提出多機(jī)器人協(xié)調(diào)焊接的方法［1-2］。在研究多機(jī)器人的協(xié)調(diào)焊接之前，首先需要對單個焊接機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動學(xué)問題研究。其中，機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)建模是通過機(jī)器人的正向運(yùn)動學(xué)分析來理解角度參數(shù)轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)的具體過程；通過機(jī)器人的逆向運(yùn)動學(xué)來理解位置坐標(biāo)是如何轉(zhuǎn)化成角度參數(shù)的，同時在這個過程中還需要對奇異解進(jìn)行分析判斷，選擇正確合理的解；按照作業(yè)要求明確機(jī)器人的軌跡規(guī)劃，掌握其末端運(yùn)動狀態(tài)（末端點(diǎn)運(yùn)動軌跡）。大部分專家學(xué)者在進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動仿真研究的時候都選擇應(yīng)用MATLAB 環(huán)境中的Robotics Toolbox［3-4］并借助于仿真參數(shù)進(jìn)行機(jī)器人研究，包括其正、逆運(yùn)動學(xué)和軌跡規(guī)劃等內(nèi)容。譬如，左富勇等［5］對四自由度的SCARA 機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動學(xué)仿真，得到了該機(jī)器人平滑的運(yùn)動軌跡，但是對六自由度的機(jī)器人適用性不足；王智興［6］、干敏耀［7］分別對Standford和Puma 機(jī)器人進(jìn)行仿真研究，但都只是針對特定型號的機(jī)器人進(jìn)行研究；陸家皓等［8］在研究當(dāng)中，以6R 關(guān)節(jié)型ER3A-C60 機(jī)器人為對象，對其相關(guān)參數(shù)的合理性進(jìn)行了仿真研究和驗證，不足之處在于沒有進(jìn)行正、逆運(yùn)動學(xué)仿真驗證，導(dǎo)致無法獲得完整的仿真結(jié)果；李瑾等［9］直接調(diào)用工具箱中的逆解函數(shù)來對Puma250 機(jī)器人求逆解，由于逆解函數(shù)是運(yùn)用迭代法來求解逆運(yùn)動，存在著局限性，導(dǎo)致出現(xiàn)了漏解的情況，因此不能對逆運(yùn)動學(xué)進(jìn)行逆解驗證。針對上述問題，本研究以應(yīng)用較為廣泛的ABBIRB1600 型號機(jī)器人為研究對象，針對其正逆運(yùn)動學(xué)進(jìn)行了研究和分析，借助于標(biāo)準(zhǔn)Denavit-Hartenberg（D-H）建模法，構(gòu)建機(jī)器人模型以及正逆運(yùn)動學(xué)方程，并通過調(diào)用工具箱正逆解函數(shù)的方式對正逆運(yùn)動學(xué)結(jié)果進(jìn)行求解，然后分別比對計算值和實際實驗值，對本研究構(gòu)建的運(yùn)動學(xué)模型和正逆運(yùn)算結(jié)果的正確性進(jìn)行科學(xué)的驗證，為今后研究焊接機(jī)器人軌跡提供了必不可少的理論基礎(chǔ)和運(yùn)動學(xué)模型。

1 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析

機(jī)器人運(yùn)動學(xué)指的是，對機(jī)器人的每個關(guān)節(jié)點(diǎn)和大地坐標(biāo)系之間的相對位姿進(jìn)行全面的分析，最終獲取其末端執(zhí)行器與大地坐標(biāo)系相對應(yīng)的位姿、速度和加速度情況。其整體分析過程可以分成兩個不同的類型，分別是正、逆運(yùn)動學(xué)，具體分析過程如圖1 所示。

圖1 運(yùn)動學(xué)分析流程圖Fig.1 Flowchart of kinematics analysis

1.1 機(jī)器人基本結(jié)構(gòu)

ABBIRB1600 型工業(yè)機(jī)器人是一款6R 關(guān)節(jié)串聯(lián)機(jī)器人，其仿真模型如圖2 所示，它的主體組成包括基座、腰部、大小臂以及手腕等部分，各相鄰關(guān)節(jié)之間都是通過轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)來聯(lián)接，在焊接、碼垛等領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用。

根據(jù)圖3 中機(jī)器人的結(jié)構(gòu)構(gòu)型以及相關(guān)尺寸參數(shù)，通過標(biāo)準(zhǔn)D-H 參數(shù)建模方法，建立機(jī)器人坐標(biāo)系，其建模步驟如下：

1）繞zi-1軸旋轉(zhuǎn)θi，使得xi-1與xi互相平行，記為旋轉(zhuǎn)矩陣R；

圖2 Robotstudio 中ABBIRB1600 仿真模型圖Fig.2 Diagram of ABBIRB1600 simulation model in Robotstudio

圖3 ABBIRB1600 結(jié)構(gòu)構(gòu)型和尺寸參數(shù)（單位：mm）Fig.3 Structural configuration and dimension parameters of ABBIRB1600（Unit：mm）

2）沿zi-1軸 平移di距離，使得xi-1與xi共線；

3）沿xi軸平移ai距離，使得xi-1與xi的原點(diǎn)重合，記為平移矩陣T；

4）將zi-1軸繞xi軸旋轉(zhuǎn)αi，使得zi-1軸與zi對準(zhǔn)。

構(gòu)建的機(jī)器人坐標(biāo)系如圖4 所示，獲得的連桿參數(shù)以及關(guān)節(jié)變量如表1 所示，其中ai和di分別表示相鄰關(guān)節(jié)間的連桿長度和連桿偏移量，αi代表相連坐標(biāo)系間的扭轉(zhuǎn)角度，θi代表關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度制。在各參數(shù)之中，只有θi為可變參數(shù)，其余參數(shù)均為定值。

圖4 ABBIRB1600 機(jī)器人坐標(biāo)系Fig.4 ABBIRB1600 robot coordinate system

表1 ABBIRB1600-10/1.45 機(jī)器人D-H 參數(shù)Tab.1 ABBIRB1600-10/1.45 Robot D-H parameter

1.2 機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)

已知機(jī)械臂每個關(guān)節(jié)的角度參數(shù)之后，可以根據(jù)關(guān)節(jié)和末端執(zhí)行器間的坐標(biāo)變化關(guān)系，對末端執(zhí)行器的位置以及姿態(tài)進(jìn)行正確的求解。相鄰坐標(biāo)系與能夠通過齊次變換矩陣進(jìn)行表述［10］：

對應(yīng)于機(jī)器人連桿坐標(biāo)系的描述，可以得到機(jī)器人相鄰兩個關(guān)節(jié)之間的齊次變換矩陣分別為［11-13］：

ABBIRB1600 機(jī)器人末端坐標(biāo)系{ }6 與基坐標(biāo)系{ }0 之間的變換矩陣為且有：

將機(jī)器人的每個坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣帶入式（2），即可得到機(jī)器人正向運(yùn)動學(xué)方程：

為 簡 化 公 式，使 用si代 表 sinθi，ci代 表cosθi，s23代表代表故式（3）化簡得到：

1.3 機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)

機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)，就是通過機(jī)器人末端笛卡爾空間來求解機(jī)器人關(guān)節(jié)空間，即在知道末端位置和姿態(tài)的情況下，求出各個關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角度。求逆解具有多種不同的方法，然而在實際應(yīng)用當(dāng)中，一般使用兩種封閉解法來獲取有效封閉解：一是代數(shù)解法，另一種是幾何解法。幾何解法需要將D-H 參數(shù)表的空間幾何參數(shù)轉(zhuǎn)換到平面幾何參數(shù)上去，并求解；代數(shù)解法是運(yùn)用變換矩陣就得到求解的三角函數(shù)方程式。相比于幾何解法，雖然代數(shù)解法過程復(fù)雜，但能夠得到全部的解，且所求角度均處在適當(dāng)?shù)南笙蘩?，故使用代?shù)解法。在機(jī)器人運(yùn)動方程（3）的兩端分別乘上對應(yīng)的逆矩陣，分離變量，并根據(jù)各個關(guān)節(jié)變量的值來求解矩陣的相等元素［14］。

1）計算θ1

令式（4）兩端（3，3）和（3，4）相等，得：

由于機(jī)械臂的旋轉(zhuǎn)對應(yīng)的不同的姿態(tài)，則θ1會有兩組解：

2）計算θ3

令式（4）兩端（2，3）和（2，4）相等，得：

其中，

由于m中含有關(guān)于θ1的三角函數(shù)，因此θ3的大小與θ1的取值有關(guān)，并且θ3也會因為機(jī)械臂的旋轉(zhuǎn)對應(yīng)著不同的姿態(tài)，所以θ3存在著兩組解。

3）計算θ2

根據(jù)步驟2 可推出θ23，其中θ2的值與θ1、θ3的取值相關(guān)，θ1的值會產(chǎn)生兩個θ3的值，每一組θ1和θ3對應(yīng)產(chǎn)生一個θ2的值，所以可以通過式（9）得到四組θ2的解：

4）計算θ5

令式（9）兩端（3，3）相等，得：5）計算θ4

令式（9）兩端（1，3）和（2，3）相等，得：

6）計算θ6

令式（9）兩端（3，1）和（3，2）相等，得：

至此，關(guān)節(jié)角θ1～θ6已經(jīng)通過計算全部求出，完成了ABBIRB1600 焊接機(jī)器人的逆解求取過程。

通過圖5 逆運(yùn)動學(xué)求解過程可以看出θ1、θ2、θ3存在著多組逆解，并且相互組合可以產(chǎn)生八組逆解。多個逆解的存在讓機(jī)器人的末端位姿可以有多種姿態(tài)選擇，但在實際運(yùn)動過程中，需要考慮整個運(yùn)動過程以及機(jī)械參數(shù)的約束，因此部分逆解可能處于機(jī)械臂不可達(dá)空間內(nèi)，或者某些位姿不符合具體的任務(wù)要求，所以對得到的逆解必須進(jìn)行驗證。

圖5 逆運(yùn)動學(xué)求解過程Fig.5 Inverse kinematics solution

2 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型仿真

2.1 建立運(yùn)動學(xué)模型

在MATLAB 軟件當(dāng)中，有專門服務(wù)于工業(yè)機(jī)器人的工具箱Robotics Toolbox，它能夠提供多種機(jī)器人所需的運(yùn)動學(xué)函數(shù)。可以依據(jù)表2 的數(shù)據(jù)，利用Robotics Toolbox 工具箱完成機(jī)器人建模［15-16］，獲取到的初始位姿如圖6 所示。

圖6 MATLAB 中ABBIRB1600 的初始位姿Fig.6 Initial pose of ABBIRB1600 in MATLAB

2.2 正運(yùn)動學(xué)驗證

按照隨機(jī)的方式挑選一組關(guān)節(jié)變量，將其應(yīng)用于正運(yùn)動學(xué)方程求解正確性的驗證；使用公式（3）所示的正運(yùn)動學(xué)方程當(dāng)作計算值，選擇末端執(zhí)行器位姿當(dāng)作真值。 隨機(jī)選取關(guān)節(jié)變量q1=[0 0 0 0 0 0]，將計算值與真值進(jìn)行數(shù)據(jù)對比。

通過1.2 節(jié)機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)方程，帶入q1的值，求得末端位姿矩陣T1：

使用Robotics Toolbox 求解正運(yùn)動學(xué)，可以獲取末端位姿矩陣G：

對比計算值T1與真值G，驗證了機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)方程與運(yùn)動學(xué)模型的正確性。

2.3 逆運(yùn)動學(xué)驗證

根據(jù)Robotics Toolbox 工具箱可以對關(guān)節(jié)變量為q2=[45 30 60 90 15 22.5]的機(jī)器人進(jìn)行求解，可得其末端位姿矩陣T2：

將求解得到的T2代入（1.3）節(jié)中的逆運(yùn)動學(xué)公式可以計算出機(jī)器人多組運(yùn)動學(xué)逆解Q2=[θ1θ2θ3θ4θ5θ6]。通 過MATLAB 編 寫 計 算 程序?qū)δ娼膺M(jìn)行計算，如表2 所示。

根據(jù)表2 可知，每個位姿都能夠得到八組解，然而在實際的應(yīng)用中，在機(jī)械機(jī)構(gòu)約束和不同桿件運(yùn)動干涉的影響下，機(jī)器人能夠真正到達(dá)的關(guān)節(jié)角度只有其中的一部分。將數(shù)據(jù)進(jìn)行比對之后發(fā)現(xiàn)，表2 當(dāng)中第4 組的取值等同于q2，由此可以對逆運(yùn)動學(xué)的正確性進(jìn)行有效的驗證。

2.4 軌跡規(guī)劃與仿真

軌跡規(guī)劃方法是對機(jī)器人在運(yùn)動狀態(tài)下的位移、角速度及角加速度進(jìn)行規(guī)劃，得到其運(yùn)動曲線，并觀察機(jī)器人具體的運(yùn)動狀態(tài)［17-18］。本文選擇的是關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃法，在空間中選擇任意兩點(diǎn)，調(diào)用工具箱在關(guān)節(jié)空間內(nèi)對機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃。設(shè)關(guān)節(jié)空間中初始點(diǎn)對應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為末端點(diǎn)對應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為得到的運(yùn)動軌跡如圖7所示。

本研究需要同時針對6 個關(guān)節(jié)進(jìn)行研究，分別針對其角位移、角速度和角加速度進(jìn)行規(guī)劃。為了對所有關(guān)節(jié)的運(yùn)動曲線進(jìn)行清晰準(zhǔn)確的觀察，本文使用MATLAB 繪制了所有關(guān)節(jié)的仿真曲線，如圖8 所示。

表2 位姿T 的運(yùn)動學(xué)逆解Tab.2 Inverse kinematics of pose T （°）

圖7 ABBIRB1600 初始點(diǎn)到末端點(diǎn)的運(yùn)動過程：（a）運(yùn)動軌跡，（b）末端三維軌跡Fig.7 Motion process of ABBIRB1600 from initial point to end point：（a）motion trajectory，（b）three-dimensional trajectory map of end

通過觀察圖8 可以得知，機(jī)器人在整體運(yùn)動過程中，6 個關(guān)節(jié)都能夠保持平穩(wěn)的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行正常工作。所有關(guān)節(jié)的角位移曲線都呈現(xiàn)為光滑無突變，由此可知，每個桿件間都沒有出現(xiàn)錯位沖突；角速度和加速度的曲線都呈現(xiàn)為連續(xù)的狀態(tài)，且變化緩和，由此可知，機(jī)械臂在工作中能夠保持平穩(wěn)運(yùn)行，產(chǎn)生的振動幅度較小，對運(yùn)動學(xué)模型連桿參數(shù)設(shè)計的合理性以及運(yùn)動學(xué)方程的正確性進(jìn)行了有效的驗證，也說明了機(jī)器人能夠順利到達(dá)預(yù)設(shè)位置。

圖8 ABBIRB1600 各關(guān)節(jié)仿真曲線：（a）角位移，（b）角速度，（c）角加速度Fig.8 Simulation curves of each joint of ABBIRB1600：（a）angular displacement，（b）angular velocity，（c）angular acceleration

3 結(jié) 論

在本文的研究中，以ABBIRB1600 型號機(jī)器人作為研究對象，從運(yùn)動學(xué)的角度分析了6R 焊接機(jī)器人，并對其進(jìn)行了軌跡規(guī)劃的仿真，根據(jù)仿真結(jié)果得出結(jié)論如下：

1）基于標(biāo)準(zhǔn)D-H 法，建立了ABBIRB1600 機(jī)器人的D-H 坐標(biāo)系，在此基礎(chǔ)上分別求出相鄰連桿間的位姿變換矩陣以及機(jī)器人的正逆運(yùn)動學(xué)方程。借助于運(yùn)動學(xué)方程的求解過程，分別從正、逆運(yùn)動學(xué)方面對機(jī)器人進(jìn)行了科學(xué)的分析，然后在MATLAB 環(huán)境當(dāng)中完成程序編寫，并從理論的層面得出了8 組位姿逆解。將計算值和實際實驗值進(jìn)行了比對，完成了正逆運(yùn)動學(xué)方程正確性的驗證工作。

2）借助MATLAB 中的Robotics Toolbox 工具箱完成相關(guān)程序的編寫，然后在關(guān)節(jié)空間內(nèi)，進(jìn)行了機(jī)器人運(yùn)動軌跡的仿真，分別獲取每個關(guān)節(jié)的角位移、角速度以及角加速度和時間變化之間產(chǎn)生的平滑運(yùn)動曲線，驗證了機(jī)器人參數(shù)的合理性。