曹松峰

4.1 線段、角、相交線和平行線

考點(diǎn)、 易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

點(diǎn)、線、角、相交線和平行線、尺規(guī)作圖等知識(shí)，是圖形與幾何領(lǐng)域的基底，中考出題的頻率較高，尤其是平行線的性質(zhì)和判定方法，備受中考命題者的青睞，題型大多是選擇、填空題，難度不大.

本節(jié)內(nèi)容具有概念、命題多的顯著特點(diǎn)，如果我們對(duì)一些基本概念缺乏全面深刻的理解，不能迅速準(zhǔn)確地識(shí)別相交線中的“三線八角”，或?qū)ζ叫芯€的性質(zhì)與判定方法等一些命題的條件和結(jié)論分辨不清，就會(huì)在使用時(shí)張冠李戴，導(dǎo)致運(yùn)算推理的依據(jù)不足、理由不充分，

高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

一、兩點(diǎn)之間的距離

例1 （2019.吉林省）曲橋是我國(guó)古代經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風(fēng)光.如圖1，A，日兩地間修建曲橋與修建直橋相比，增加了橋的長(zhǎng)度，其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)道理是（

）.

A.兩點(diǎn)之間，線段最短

B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.垂線段最短

D.兩點(diǎn)確定一條直線

解析：蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)道理是：兩點(diǎn)之間，線段最短.選A.

點(diǎn)撥：“兩點(diǎn)之間，線段最短”這個(gè)基本事實(shí)是數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理的出發(fā)點(diǎn).

二、點(diǎn)到直線的距離

例2 （2019.常州）如圖2，在線段PA，PB，PC，PD中，長(zhǎng)度最小的是（?）.

A.線段PA

B.線段PB

C.線段PC

D.線段PD

解析：在四條線段中，PB是點(diǎn)P到直線AD的垂線段，也就是點(diǎn)P到直線AD的距離，故選B.

點(diǎn)撥：本題考查“垂線段最短”.

三、余角、補(bǔ)角的概念

例3 （2019.常州）如果∠a=35°，那么∠a的余角等于____.

解析：∵35°+55°=90°，

∴∠a的余角等于55°.

點(diǎn)撥：和為900的兩個(gè)角互為余角，和為180°的兩個(gè)角互為補(bǔ)角，這兩個(gè)概念中僅含數(shù)量關(guān)系，均不涉及位置關(guān)系.

四、角平分線

例4 （2019-濰坊）如圖3.已知∠AOB.按照以下步驟作圖：

①以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交∠AOB的兩邊于

C，D兩點(diǎn)，連接CD.

②分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于線段OC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)E，連接CE，DE.

③連接OE交CD于點(diǎn)M.

下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（?）.

A.∠CEO= ∠DEO

B.CM=MD

C.∠OCD= ∠ECD

D

S四邊形OCED=1/2CD.OE

D.S四邊形OCED=1/2CD.OE

解析：由作圖步驟可得△COE≌△DOE，則OE是∠A OB的平分線.

∴∠CEO= ∠DEO.CM=MD.

易得.S四邊形OCED=1/2 CD.OE，但不能得出∠OCD=∠ECD.故選C.

點(diǎn)撥：如果沒(méi)有留心步驟②中的“以大于線段OC的長(zhǎng)為半徑作弧”，就有可能誤選.基本作圖題一般要求保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作圖步驟，并且時(shí)常伴隨著線段、角度關(guān)系的提問(wèn)，從側(cè)面考查同學(xué)們對(duì)作圖依據(jù)的理解和掌握情況.

五、平行線的性質(zhì)與判定

例5（2019.仙桃）如圖4，CD//AB，點(diǎn)O在AB上，OE平分∠BOD.OF⊥OE，∠D=110°，則∠A OF的度數(shù)是（?）.

A. 20°

B. 25°

C. 30°

D. 35°

點(diǎn)撥：本題考查平行線的性質(zhì)、垂直及角平分線的概念等，事實(shí)上，由題意易知OF平分∠AOD，由此推算更為簡(jiǎn)便.

例6 （2019.菏澤）如圖5，AD//CE，∠ABC=100°，則∠2-∠1的度數(shù)是_____

.

點(diǎn)撥：本題具有十分豐富的內(nèi)涵：可看作由人教版數(shù)學(xué)課本七年級(jí)下冊(cè)第23頁(yè)第7（2）題改編而成的;本題有不少變式，例如互換問(wèn)題的結(jié)論和部分條件，改變圖形的形狀等;建立∠ABC與∠1，∠2之間的聯(lián)系，有多種作輔助線的方法，如延長(zhǎng)AB與CE相交構(gòu)造三角形，應(yīng)當(dāng)注意的是：在過(guò)點(diǎn)B作BF//AD（或CE）時(shí)，不要出現(xiàn)“過(guò)點(diǎn)B作AD，CE的平行線BF'之類(lèi)的表述，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)B不能作一條直線同時(shí)與兩條直線平行，只能先作出和其中一條平行的直線，再依據(jù)直線平行的傳遞性去證明它與另一條直線也平行.

中考命題預(yù)測(cè)

1.已知∠a=60°32，則∠a的余角是（?）.

A.29°28'

B.29°68'

C.119°28'

D.119°68'

2.如圖7，AB//CD，∠FGB=154°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠AEF的度數(shù)等于（?）.

A. 26°

B.52°

C.54°

D.77°

3.如圖8.將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按下列方式擺放.兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)是（?）.

A.15°

B.22.5°

C.30°

D.45°

4.下面是“經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：如圖9.直線l和l外一點(diǎn)P.

求作：直線Z的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.

作法：如圖10.

（1）在直線Z上任取兩點(diǎn)A，B.

（2）分別以點(diǎn)A，B為圓心，AP，BP的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)Q.

（3）作直線PQ.

直線PQ就是所求的垂線，

請(qǐng)回答：該作圖的依據(jù)是.

4.2 三角形及其全等

考點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

三角形及其全等是中考的必考內(nèi)容，主要考查三角形中的線段、角，全等三角形的性質(zhì)、判定方法，或在圖形變換背景下，融人多邊形、圓，綜合考查三角形知識(shí)的應(yīng)用.

三角形中的三條邊、三個(gè)內(nèi)角、邊與角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，這是我們處理所有三角形問(wèn)題時(shí)應(yīng)牢記的隱含條件.如果題目沒(méi)有給出圖形，或未將文字?jǐn)⑹雠c圖形一一對(duì)應(yīng)，在畫(huà)出圖形或?qū)⒃仃P(guān)系用圖形表示時(shí)，不要把問(wèn)題特殊化.例如，不能只想到銳角三角形或直角三角形，而忽略鈍角三角形的情形：不能把一般的三角形畫(huà)成等腰三角形、直角三角形等，在判定三角形全等時(shí)，必須注意對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)會(huì)分析“基本圖形”，通過(guò)適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造全等三角形，善于發(fā)掘隱含的元素關(guān)系并適時(shí)轉(zhuǎn)化，靈活運(yùn)用“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”等判定方法.

高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

一、三角形三邊的關(guān)系

例1 （2019.畢節(jié)）在下列長(zhǎng)度的三條線段中，不能組成三角形的是（?）.

A.2 cm，3 cm，4 cm

B.3 cm，6 cm，7 cm

C.2 cm，2 cm，6 cm

D.5 cm，6 cm，7 cm

解析：運(yùn)用三角形三邊關(guān)系的結(jié)論，逐一驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)，易知應(yīng)選C.

點(diǎn)撥：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊，在判斷時(shí)，只需檢驗(yàn)較短的兩條線段之和是否大于較長(zhǎng)的線段即可.

二、三角形的內(nèi)角和定理

例2 （2019.哈爾濱）在△ABC中，∠A=50°.∠B=30°，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD.若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為_(kāi)___.

解析：若△ACD為直角三角形，需分兩種情況討論：（1）如圖1，當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，由∠B=30°.可知∠BCD=90°-30°=60°.

（2）如圖2，當(dāng)∠A CD=90°時(shí)，由∠A=50°，∠B=30°，可知∠A CB=180°-30°-50°=100°，∠BCD=100°-90°=10°.

綜上可知，∠BCD的度數(shù)為60°或10°.

點(diǎn)撥：解答此題容易犯的錯(cuò)誤是忽略分類(lèi)討論，導(dǎo)致漏解，

三、三角形中的重要線段

例3 （2019.張家界）如圖3，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，DC=1/3AD，BD平分∠ABC，則點(diǎn)D到AB的距離等于（?）.

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

解析：如圖4，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.

∵AC=8 ，DC=1/3AD，

∴CD=2.

又BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=DC=2.

∴.點(diǎn)D到AB的距離等于2.故選C.

點(diǎn)撥：由角平分線的性質(zhì)還可以推出一些簡(jiǎn)單有用的結(jié)論，例如，在“BD平分∠ABC”的條件下，如本題圖所示，不難證明S三角形BCD：Si角形ABC=BC：BA，S三角形BCD：S三角形ABD=CD：AD等.

例4 （2019.菏澤）如圖5，在△ABC中，∠A CB=120°，BC=4，D為AB的中點(diǎn).DC⊥BC.則△ABC的面積是

解法一：∵DC⊥BC，

∴∠BCD=90°.

∵∠ACB=120°.

∴∠ACD=30°.

如圖6.延長(zhǎng)CD到H使DH=CD，連接AH.

∵∠ADH= ∠BDC，D為AB的中點(diǎn)，即AD=BD.

∴△ADH≌△BDC（SAS）.

∴AH=BC=4， ∠H=∠BCD=90°.

∵∠A CH=30°.

∴CH=√3AH=4√3，

易得Rt△ACH的面積等于8√3，故△ABC的面積為8√3.

解法二：如圖7，過(guò)點(diǎn)D作DG //BC與AC相交于G.易知∠CDG=90°.∠CGD=60°.DG=2.CD=2√3.故Rt△BCD的面積等于4√3.AABC的面積等于Rt△BCD面積的2倍，故△ABC的面積為8√3.

點(diǎn)撥：當(dāng)題目中出現(xiàn)三角形的中線時(shí)，延長(zhǎng)中線是解決問(wèn)題的基本思路，兩種解法都較好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

四、三角形全等的性質(zhì)與判定

例5 （2019.安順）如圖8，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB//DE，AC//DF，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC—△DEF的是（?）.

圖8

A.AB=DE

B.∠A=∠D

c.AC=DF

D.BF=EC

解析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠E，∠A CB= ∠DFE，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證.易知應(yīng)選B.

點(diǎn)撥：圖形的全等中含有形狀（角度）、大?。ㄟ呴L(zhǎng)）相同兩個(gè)要素，二者不可或缺.由此即可迅速作出選擇.添加條件推斷三角形全等的題目，大多具有開(kāi)放性，求解時(shí)需將給出的條件與全等的判定條件比對(duì)，增添缺失的邊或角的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

例6 （2019.邵陽(yáng)）如圖9，已知AD=AE，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△ADC≌△AEB.你添加的條件是

.（不添加任何字母和輔助線）

解析：∵∠A=∠A，AD=AE，

∴若添加AB=AC，則滿(mǎn)足“SAS”的條件：若添加∠ADC= ∠AEB，則滿(mǎn)足“ASA”的條件;若添加∠ABE= ∠A CD，則滿(mǎn)足“AAS”的條件.

∴答案不唯一，可以是AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠A CD.

點(diǎn)撥：本題的“母題”是人教版數(shù)學(xué)課本八年級(jí)上冊(cè)第40頁(yè)例3或第43頁(yè)習(xí)題第2題，這一開(kāi)放性變式可以全面考查同學(xué)們對(duì)全等三角形判定方法的理解和掌握情況.

例7 （2019.菏澤）如圖10.D是AB上一點(diǎn).DF交AC于點(diǎn)E，DE=FE，F(xiàn)C//AB.若AB=4，CF=3，則BD的長(zhǎng)是（?）.

A. 0.5

B.1

C.1.5

D.2

解析：∵CF//AB，

∴∠A=∠FCE.∠ADE=∠F.

又DE=FE.

∴△A DE≌△CFE.

∴AD=CF=3.

∵AB=4.

∴DB=A B-A D=1.選B.

點(diǎn)撥：本題可看作人教版數(shù)學(xué)課本八年級(jí)上冊(cè)第45頁(yè)第12題的一種變式，利用全等三角形的性質(zhì)推理得到線段與線段、角與角之間的數(shù)量關(guān)系，

中考命題預(yù)測(cè)

1.在△ABC中，AC=5，中線AD=7，則AB邊長(zhǎng)度的取值范圍是（?）.

A. 1

B. 4

C. 5

D. 9

2.如圖11.點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，DE ⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F;若∠A =35°，∠D =15°，則∠A CB的度數(shù)為（?）

A.65°

B.70° C.75°D.85°

3.如圖12.BD是△ABC的角平分線.AE⊥LBD.垂足為F若∠ABC=35°，∠C=55°，則∠CDE的度數(shù)為（?）.

A.35°

B.40°

C.45°

D.50°

4.在△ABC中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC邊上的高為12 cm，則△ABC的面積為_(kāi)_cm2.

5.如圖13，在△ABC中，AD是BC邊上的中線.E是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF//AB交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F （l）求證：△BDE≌△CDF.

（2）當(dāng)AD⊥BC，AE=1，CF=2時(shí)，求AC的長(zhǎng).

4.3 等腰三角形和直角三角形

考點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

中考大多考查等腰三角形的等邊對(duì)等角和“三線合一”、勾股定理、直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、斜邊上的中線等于斜邊的一半等重要性質(zhì);或通過(guò)翻折、旋轉(zhuǎn)等變換，結(jié)合全等三角形、平行四邊形間接考查上述知識(shí)點(diǎn).

在解答有關(guān)等腰三角形的題目時(shí)，如果題目沒(méi)有明確給出腰和底角，注意要考慮周全，進(jìn)行必要的分類(lèi)討論，在運(yùn)用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題時(shí)，一定要注意定理的適用條件，弄清一般和特殊、性質(zhì)與判定的聯(lián)系與區(qū)別.

高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

一、線段垂直平分線的性質(zhì)定理

例1 （2019.深圳，有改動(dòng)）如圖1，已知AB =AC，AB=5，BC =3AB的垂直平分線MN與AC相交于點(diǎn)D.則△BDC的周長(zhǎng)為（?）.

A.8

B.10

C.11

D.13

解析：∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，

∴AD=BD.

∴△BDC的周長(zhǎng)=BD+DC+BC=A D+DC+BC=A C+BC=A B+BC=8.選A.

點(diǎn)撥：求解本題的關(guān)鍵是利用等腰三角形和線段的垂直平分線的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，

二、“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”

例2（2019.武威）定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值 k稱(chēng)為這個(gè)等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中，∠A =80°，則它的特征值k=____.

點(diǎn)撥：對(duì)于“新定義”問(wèn)題，力求做到“即學(xué)即用”.在解答本題時(shí)，由于沒(méi)有指明∠A是底角還是頂角，所以必須分類(lèi)討論，以免犯“以偏概全”的錯(cuò)誤.

點(diǎn)撥：本題可看作人教版數(shù)學(xué)課本八年級(jí)上冊(cè)第34頁(yè)第6題的一種變式，“等角對(duì)等邊”也是判定線段相等的常用方法.當(dāng)然，在第（2）小題中，通過(guò)證明△DBO≌△ECO，同樣可以證得OB=OC.

三、等腰三角形的“三線合一”

例4（2019.哈爾濱）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A =60°，點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)，連接BD，CE，CE與BD交于點(diǎn)F，且CE //AB若AB=8，CE=6，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

點(diǎn)撥：連接AC為利用等腰三角形的“三線合一”及其他性質(zhì)創(chuàng)設(shè)了條件，

四、直角三角形的性質(zhì)

例5 （2019.黔西南州）三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手.將一對(duì)直角三角板如圖5放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B在ED上，AB //CF， ∠F= ∠ACB =90°， ∠E=45°，∠A =60°，AC=10，則CD的長(zhǎng)度是____.

點(diǎn)撥：過(guò)點(diǎn)B作FD的垂線，溝通已知與未知之間的聯(lián)系是順利求解的關(guān)鍵，

例6（2019.北京）如圖7所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則∠PAB+∠PBA=____

中考命題預(yù)測(cè)

1.如圖9，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A =30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD.若BD=1，則AC的長(zhǎng)是（?）.

A.2 √3

B.2

C.4√3

D.4

2.“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助下頁(yè)如圖10所示的“三等分角儀”能三等分任一角，這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng).C點(diǎn)固定，OC=CD=DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動(dòng).若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是（?）.

A. 60°

B.65°

C.75°

D.80°

3.如圖11，將Rt△ABC的斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<α<90°）得到AE，直角邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)盧（0°<β<90°）得到AF，連接EF若AB=3.AC=2，且α+β= ∠B，則EF=____

4.把兩個(gè)同樣大小含450角的三角尺按如圖12所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，且另外三個(gè)銳角頂點(diǎn)B，C，D在同一直線上.若AB=2，則CD=________.

5.如圖13.在△4BC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，連接AD，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F求證：FB=FE.

6.如圖14，在△ABC中，CD是AB邊上的高.BE是AC邊上的中線，且BD=CE.求證：

（1）點(diǎn)D在BE的垂直平分線上.

（2） ∠BEC=3 ∠ABE.

4.4 多邊形和特殊四邊形

考點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

一般平行四邊形和特殊的平行四邊形的概念、性質(zhì)與判定方法都是中考的必考內(nèi)容，綜觀近幾年各地的中考試卷，除了單獨(dú)考查四邊形知識(shí)的中等難度的題目，將其融人二次函數(shù)、反比例函數(shù)、圓以及圖形變換中進(jìn)行綜合考查，體現(xiàn)方程思想、分類(lèi)討論思想等已成為一種新的命題走向.

判定特殊的平行四邊形時(shí)，應(yīng)在正確理解題意的基礎(chǔ)上，合理確定一種判定方法，既要避免出現(xiàn)推理沒(méi)有根據(jù)、理由不充分的邏輯錯(cuò)誤，也不能思路混亂，重復(fù)使用條件，或者循環(huán)論證.

高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

一、多邊形的內(nèi)角和公式

例1 （2019.南充）如圖1，以正方形ABCD的AB邊向外作正六邊形ABEFGH，連接DH，則∠ADH=____.

解析：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD.∠BAD=90°.

在正六邊形ABEFGH中，AB =AH，∠BAH=120°.

易知在△AHD中.∠HAD=360° -90°一120°=150°.

∴∠ADH= ∠AHD=1/2×（180°一150°）=15°

點(diǎn)撥：本題也可以延長(zhǎng)DA，與FG交于點(diǎn)G求解.

二、平行四邊形的性質(zhì)與判定

例2（2019.達(dá)州）如圖2，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，△BEO的周長(zhǎng)是8.則△BCD的周長(zhǎng)為 __-.

解析：∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，

∴BO=DO=1/2BD.故BD=20B.

∵點(diǎn)O，E分別為AG，AB的中點(diǎn)，

∴AB=2BE ，BC=20E.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD=A B=2BE.

∵OB+OE+BE=8，

∴ BD+BC+CD=2 （OB+OE+BE） =16，即△BCD的周長(zhǎng)為16.

點(diǎn)撥：利用三角形中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)建立△BEO與△BCD的周長(zhǎng)之間的關(guān)系是求解的關(guān)鍵，

例3 （2019.河池）如圖3，在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上，添加一個(gè)條件使四邊形ADFC為平行四邊形，則這個(gè)條件是（?）.

A.∠B=∠F

B.∠B=∠BCF

C.A C=CF

D.AD=CF

解析：∵在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)

∴DE是△ABC的中位線.

∴DE//AC.

根據(jù)∠B=∠F不能判定AD∥CF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，

根據(jù)∠B= ∠BCF可以判定CF∥AB，即CF//AD，由“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADFC為平行四邊形，B選項(xiàng)正確，

根據(jù)A C=CF不能判定AD//CF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，

根據(jù)AD=CF，F(xiàn)D //AC不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，

綜上可知，選B.

點(diǎn)撥：如果誤認(rèn)為“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形”，就會(huì)錯(cuò)選D.

三、特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定

例4 （2019.岳陽(yáng)）如圖4，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，CD邊上的點(diǎn)，DE =DF求證：∠1=∠2.

解析：∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD=CD.

∴∠D=∠D.DE=DF，

∴△ADF≌△CDE.

∴∠1=∠2.

點(diǎn)撥：本題是人教版數(shù)學(xué)課本八年級(jí)下冊(cè)第68頁(yè)第8題的一種變式，還可以在原題的基礎(chǔ)上，拓展延伸到正三角形、其他的特殊平行四邊形、正五邊形等圖形，并且在近幾年中考題中不時(shí)可見(jiàn)它們的影子，這里不再贅述，

例5（2019-綿陽(yáng)）如下頁(yè)圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，O點(diǎn)的

點(diǎn)撥：如果不作輔助線，則可數(shù)形結(jié)合，用排除法“看”出答案，或由求出C點(diǎn)坐標(biāo)人手，推出AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，是否更簡(jiǎn)便一些？你不妨試一試，

中考命題預(yù)測(cè)

1.如圖7.在平行四邊形ABCD中.M.N是BD上兩點(diǎn)，BM=DN、連接AM，MC，CN，NA.添加一個(gè)條件，使四邊形AMCN是矩形，這個(gè)條件是（?）.

A.OM=1/2AC B.MB=MO

C.BD⊥4C

D.∠A MB=∠CND

2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（?）.

A.平行四邊形的對(duì)邊相等

B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.正方形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形

3.正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為120°.這個(gè)正n邊形的對(duì)角線條數(shù)為_(kāi)__

4.如圖8，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn).AC=8，AE=CF=2.則四邊形BEDF的周長(zhǎng)是___

4.5 圓

考點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

本節(jié)的主要考點(diǎn)：一是對(duì)圓的基本概念、有關(guān)性質(zhì)的理解及運(yùn)用，特別是弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理及其推論，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用：二是直線與圓的位置關(guān)系，重點(diǎn)為切線的判定與性質(zhì)：三是有關(guān)扇形的陰影面積的計(jì)算.

在提及圓中一條弦所對(duì)的圓周角時(shí)，要考慮到該弦所對(duì)的圓周角有兩種類(lèi)型，在判斷圓心角、圓周角、弦、弦心距、弧等元素的關(guān)系時(shí)，要注意是否在同圓或等圓中，在求解有關(guān)垂徑定理、切線性質(zhì)與判定的問(wèn)題時(shí)，往往要添加適當(dāng)?shù)妮o助線.在求解圓與三角形、平行四邊形的綜合性題目時(shí)，充分利用圓的性質(zhì)和眾多的不變量是順利求解的關(guān)鍵.

高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

一、圓的有關(guān)性質(zhì)

例1（2019.南京）如圖l，⊙O的弦AB，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，且AB=CD.求證：PA=PC.

證明：如圖2，連接AC.

∵AB=CD.

∴弧AB與弧CD的長(zhǎng)度相等.

∴弧AB、弧BD的長(zhǎng)度之和與弧CD、弧BD的長(zhǎng)度之和相等，即弧AD與弧CB的長(zhǎng)度相等.

∴∠C=∠A.故PA =PC.

點(diǎn)撥：連接AC為在△PAC中利用“等角對(duì)等邊”證明結(jié)論創(chuàng)造了條件.也可以作OM⊥AB，ON⊥CD，借助于垂徑定理和勾股定理證明，但過(guò)程比較冗雜，

二、圓周角定理及其推論

例2 （2019.責(zé)港）如圖3，AD是⊙O的直徑，AB=CD.若∠AOB=40°.則圓周角∠BPC的度數(shù)是（?）.

A.40°

B.50°

C.60°

D.70°

解析：∵AB=CD，∠AOB=40°，∠AOB+∠BOC+∠COD=180°.

∴∠BOC=100°.故∠BPC=1/2∠BOC=

50°.選B.

點(diǎn)撥：欲求圓周角∠BPC的大小，要依據(jù)已知條件，先求出同弧所對(duì)的圓心角∠BOC的大小.

三、垂徑定理

點(diǎn)撥：過(guò)圓心作弦的垂線，結(jié)合使用垂徑定理及三角形的有關(guān)知識(shí)，可以架設(shè)已知與未知之間的“橋梁”，這是求解圓中問(wèn)題的一般方法.

四、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

例4（2019.鎮(zhèn)江）如圖6，四邊形ABCD是半圓D的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，DC= CB.若

點(diǎn)撥：連接BD有利于充分利用圓的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)圖形的分解和問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，連接AC，或連接OD，OC也可以，求解會(huì)更便捷.

五、切線的性質(zhì)與判定

例5 （2019.南京）如圖8，PA，PB是OO的切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)C，D在OO上，若∠P=102°，則∠A+∠C=____.

點(diǎn)撥：線段AB將五邊形APBCD“一分為二”，為運(yùn)用切線長(zhǎng)定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)，

例6 （2019.菏澤）如圖10，BC是OO的直徑，CE是⊙0的弦，過(guò)點(diǎn)E作OO的切線，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥GE于點(diǎn)F，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A.

（1）求證：∠ABG=2LC.

（2）若GF=3√3，GB=6，求⊙O的半徑.

點(diǎn)撥：連接切點(diǎn)與圓心，是運(yùn)用圓的切線性質(zhì)的首選輔助線的作法.在第（2）小題中，也可以利用相似列比例式求得結(jié)果.

六、扇形面積的計(jì)算

例7 （2019.南充）如圖12，在半徑為6的⊙O中，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，四邊形OA BC是平行四邊

點(diǎn)撥：求解的關(guān)鍵是把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積，重點(diǎn)是確定扇形圓心角的度數(shù).

中考命題預(yù)測(cè)

1.如圖14，半徑為3的⊙A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)C（0，2），B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上的一點(diǎn)，則cos∠OBC=（?）.

2.如圖15，四邊形ABCD內(nèi)接于OO，AE⊥ CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E若BA平分∠DBE ，AD=5.CE=√13，則AE=（?）.

A.3

B.3√2

C.4√3

D.2√3

3.《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，與古希臘的《幾何原本》并稱(chēng)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉，在《九章算術(shù)》中記載有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫(huà)出圓材截面圖如圖16所示，已知鋸口深為1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為_(kāi)____ 寸.

4.如圖17.⊙O分別切∠BAC的兩邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P在優(yōu)?。‥DF）上.若∠BA C=66°，則∠EPF等于____.

5.如圖18.AB是OO的直徑，C是⊙O上一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，交BC的延長(zhǎng)線于D，交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，連接CF求證：CF是⊙O的切線.

6.如圖19，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是弦AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PE ⊥AB，垂足為E.射線EP交AC于點(diǎn)F，交過(guò)點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D.

（1）求證：DC=DP

（2）若∠CAB=30°，當(dāng)F是AC的中點(diǎn)時(shí)，判斷以A，D，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形，說(shuō)明理由，