李春明,尹曉麗,劉 慶

(1.中國(guó)石油大學(xué)(華東) 中國(guó)石油大學(xué)勝利學(xué)院,山東 東營(yíng) 257061;2.中國(guó)石油大學(xué)(華東) 機(jī)電工程學(xué)院,山東 青島 266580)

自人類使用工具以來,機(jī)械學(xué)科逐漸發(fā)展起來。機(jī)械原理研究機(jī)械的結(jié)構(gòu)[1]、運(yùn)動(dòng)[2]、受力[3]、振動(dòng)[4]等,成長(zhǎng)為理論豐富、體系完善的學(xué)科。在結(jié)構(gòu)方面,多桿機(jī)構(gòu)、多級(jí)桿組、多級(jí)機(jī)構(gòu)在理論體系中仍占有一席之地;在動(dòng)力學(xué)方面,依據(jù)理論力學(xué)知識(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)矢量方程圖解法獲得廣泛應(yīng)用。但是,隨著機(jī)構(gòu)組合理論的完善,桿組的概念逐漸被質(zhì)疑;隨著各類運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法的發(fā)展,矢量方程圖解法難以求解的問題逐漸引起學(xué)者重視。

研究分析桿組及高級(jí)機(jī)構(gòu)的組合形式,并針對(duì)一個(gè)串連組合機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題研究每個(gè)矢量方程均不能采用矢量方程圖解法求解的問題。

1 基于機(jī)構(gòu)組合的桿組概念舍棄

桿組的概念是機(jī)械原理學(xué)科的一部分內(nèi)容,構(gòu)件(構(gòu)體)和運(yùn)動(dòng)副組成的組合稱為桿組。將機(jī)構(gòu)劃分為不同的桿組,桿組的最高級(jí)別就是機(jī)構(gòu)的級(jí)別。桿組和機(jī)構(gòu)的等級(jí)越高說明機(jī)構(gòu)越復(fù)雜。

如果從機(jī)構(gòu)組合的角度研究,存在高級(jí)桿組的平面機(jī)構(gòu)均可以視為由基本的平面四桿機(jī)構(gòu)組合而成的機(jī)構(gòu),如圖1所示[5]。

圖1(a)可視為:曲柄滑塊機(jī)構(gòu)與雙滑塊機(jī)構(gòu)所組成的串聯(lián)機(jī)構(gòu),前置機(jī)構(gòu)的連桿與后置機(jī)構(gòu)的導(dǎo)桿連結(jié);圖1(b)可視為:凸輪機(jī)構(gòu)、雙搖桿(或雙曲柄)機(jī)構(gòu)和雙滑塊機(jī)構(gòu)所組成的串連組合機(jī)構(gòu),第1前置機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)從動(dòng)件與第2前置機(jī)構(gòu)的連桿連結(jié),第2前置機(jī)構(gòu)的從動(dòng)搖桿與后置機(jī)構(gòu)的導(dǎo)桿連結(jié),彈簧保證凸輪與從動(dòng)件始終接觸;圖1(c)可視為:曲柄搖桿機(jī)構(gòu)與搖桿滑塊機(jī)構(gòu)所組成的串連組合機(jī)構(gòu),前置機(jī)構(gòu)的搖桿與后置機(jī)構(gòu)的搖桿連結(jié);圖1(d)可視為:解放機(jī)架(固定體)的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)與凸輪機(jī)構(gòu)所組成的封閉組合機(jī)構(gòu),前者為基礎(chǔ)機(jī)構(gòu),后者為附加機(jī)構(gòu),二者有2個(gè)構(gòu)件分別連結(jié);圖1(e)可視為:解放機(jī)架的搖塊機(jī)構(gòu)和曲柄搖桿機(jī)構(gòu)所組成的封閉組合機(jī)構(gòu),前者為2個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)機(jī)構(gòu),后者為單獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的附加機(jī)構(gòu),前者解放的機(jī)架與后者的搖桿連結(jié);圖1(f)可視為:2個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)連桿機(jī)構(gòu)與單獨(dú)立運(yùn)動(dòng)輪系所組成的封閉組合機(jī)構(gòu),二者有2個(gè)構(gòu)件連結(jié);圖1(g)可視為:2個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)連桿機(jī)構(gòu)與雙搖桿機(jī)構(gòu)所組成的封閉組合機(jī)構(gòu),再與凸輪機(jī)構(gòu)串聯(lián)的復(fù)合式組合機(jī)構(gòu)。

圖1 7個(gè)高級(jí)機(jī)構(gòu)Fig.1 7 high-level mechanisms

2 組合機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)矢量方程

構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)主要依據(jù)理論力學(xué)的2個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)系所列出的矢量方程求解:

(1) 同一剛體上兩點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系。剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等于隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)之和。繞基點(diǎn)的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和角加速度為構(gòu)件的角速度和角加速度。

(2) 兩構(gòu)件重合點(diǎn)之間的速度和加速度關(guān)系。動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等于牽連點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)之和。科式加速度是由于牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的附加加速度,可由矢量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)求出。

如果速度(加速度)矢量圖的極點(diǎn)均表示速度(加速度)為零的點(diǎn),且各點(diǎn)與極點(diǎn)的相對(duì)位置表示該點(diǎn)的速度(加速度),則構(gòu)件圖與速度(加速度)矢量圖上相對(duì)應(yīng)的圖形相似,且表示點(diǎn)的字母繞行方向一致。根據(jù)該特點(diǎn)確定構(gòu)件上未知點(diǎn)速度(加速度)的方法,稱為速度(加速度)影像法。

對(duì)于圖1(a)所示的組合機(jī)構(gòu),可列出以下速度(加速度)矢量方程:

(1) 構(gòu)件2、構(gòu)件5重合點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系矢量方程。

(2) 構(gòu)件2上,D點(diǎn)相對(duì)于C點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)矢量方程。

(3) 構(gòu)件2上,D點(diǎn)相對(duì)于B點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)矢量方程。

(4) 構(gòu)件2上,C點(diǎn)相對(duì)于B點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)矢量方程。

設(shè)構(gòu)件1為主動(dòng)件(體),即運(yùn)動(dòng)參數(shù)已知,則已知參數(shù)為B點(diǎn)的速度(加速度)大小和方向、C點(diǎn)的速度(加速度)方向、構(gòu)件5上D點(diǎn)的速度(加速度)方向。設(shè)構(gòu)件6為主動(dòng)件,則已知參數(shù)為構(gòu)件5上D點(diǎn)的速度(加速度)大小和方向、構(gòu)件2上C點(diǎn)的速度(加速度)方向、B點(diǎn)的速度(加速度)方向。

根據(jù)矢量方程的幾何意義,由圖1(a)可得2個(gè)位置矢量方程[6-7]:

(1)

可得投影方程組[8-10]:

(2)

如果構(gòu)件1為主動(dòng)件,則未知量為lB2D、θ2、x2,6;如果構(gòu)件6為主動(dòng)件,則未知量為θ1、lB2D、θ2,2種情況的方程數(shù)和未知量數(shù)均相等,可解。

3 倒置機(jī)構(gòu)的矢量方程圖解法難點(diǎn)

對(duì)于圖1(a)所示的組合機(jī)構(gòu),通常,構(gòu)件1為主動(dòng)件,在構(gòu)件2上C點(diǎn)相對(duì)于B點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)矢量方程中,只存在2個(gè)未知量,可由矢量方程圖解法求解。然后,又出現(xiàn)只含2個(gè)未知量的矢量方程,逐個(gè)求解之后,可獲得全部構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)。

如果采用機(jī)構(gòu)倒置的創(chuàng)新方法,將主動(dòng)件改換為構(gòu)件6,則不存在只含2個(gè)未知量的矢量方程,各矢量方程均難以用圖解法求解。

(1) 構(gòu)件2、構(gòu)件5重合點(diǎn)D的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度矢量方程為

(3)

(2) 構(gòu)件2上D點(diǎn)相對(duì)于C點(diǎn)、B點(diǎn)的速度矢量方程分別為

(4)

(5)

(3) 構(gòu)件2上C點(diǎn)相對(duì)于B點(diǎn)的速度矢量方程為

(6)

加速度矢量方程與速度矢量方程的未知量相同,也難以逐個(gè)求解。

4 基于幾何意義的拼結(jié)圖解法

對(duì)于圖1(a)所示的機(jī)構(gòu),以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以水平往右為x1軸正方向建立x1-x2直角坐標(biāo)系。設(shè)機(jī)構(gòu)參數(shù)如下:

(7)

圖2 4個(gè)矢量方程的矢量圖Fig.2 Graphs of 4 vector equations

采用標(biāo)準(zhǔn)的速度(加速度)矢量圖,即極點(diǎn)表示速度(加速度)為零的點(diǎn),將圖2的4個(gè)圖拼為1張,如圖3所示。根據(jù)速度(加速度)影像法的原理,以及構(gòu)件2的結(jié)構(gòu)形狀,右邊的圖符合實(shí)際情況,因此,左邊的圖須舍棄。

根據(jù)圖1(a)的幾何關(guān)系,可根據(jù)正弦定理、余

圖3 直接拼接的圖Fig.3 Graph spliced directly

弦定理、勾股定理等獲得以下幾何參數(shù):

(8)

對(duì)于機(jī)構(gòu)的一般位置,上述尺寸可在圖1(a)中測(cè)出,圖1(a)的繪圖順序?yàn)?

(1) 繪出固定鉸接點(diǎn)A、滑塊3、滑塊5的導(dǎo)路;

(2) 根據(jù)θ1繪出B;

(3) 以B為圓心,以l2為半徑畫弧,與滑塊3的導(dǎo)路交于C點(diǎn);

(4) 延長(zhǎng)BC,與滑塊5的導(dǎo)路交于D點(diǎn)。

(9)

根據(jù)速度(加速度)影像法的原理,以及構(gòu)件2上B、C、D3點(diǎn)之間的比例關(guān)系,可得

(10)

圖4 拼圖解法的圖Fig.4 Graph of puzzle solution

(11)

求得速度矢量之后,加速度矢量方程組的科式加速度、向心加速度、相對(duì)向心加速度均可求出,其拼圖求解過程與速度矢量方程組的相同。

5 結(jié)論

(1) 解析法能求解的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題,也能用矢量方程圖解法求解。研究提出的拼圖解法解決了每個(gè)矢量方程均不能采用圖解法求解的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。

(2) 借助于計(jì)算機(jī)繪圖軟件,圖解法的求解結(jié)果可達(dá)到解析法的精度。

(3) 平面高級(jí)機(jī)構(gòu)均可視為平面四桿機(jī)構(gòu)經(jīng)過組合而成的組合機(jī)構(gòu)。桿組和高級(jí)機(jī)構(gòu)的概念可舍棄。