張玉環(huán) 張留芳 吳立寶

(1.河南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 475004；2.太康縣第一高級中學 461400； 3.天津師范大學教育學部 300387)

1 引言

拉普拉斯說:“生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質上只是概率的問題”[1].概率與統(tǒng)計的基礎知識是作為信息化社會公民的必備常識，它能指導人們合理地收集、整理、分析數(shù)據(jù)，從中提取出有價值的信息，由此做出合理的決策.法國基礎數(shù)學教育比較有特色，蔡元培先生認為：在世界各國之中，法國文化與中國最相契合[2].我國近階段介紹法國最新高中數(shù)學教科書及高考方面的文獻較少.基于此，本文主要從中法高中數(shù)學教科書、高考方面分析概率與統(tǒng)計內容的異同，為我國高中教育發(fā)展提供建議.

法國高中分為普通高中、技術類高中、職業(yè)高中三類，普通高中與我國高中地位對等.普通高中的學生，在高二分專業(yè)，包含自然科學(也稱理科)、經濟與社會、文學(也稱文科)三個專業(yè).法國高中畢業(yè)會考，也稱“業(yè)士考試”，即著名的baccalauréat(簡稱Bac)，及格者獲得高中畢業(yè)文憑，高中畢業(yè)文憑持有者可直接進入綜合大學學習(對等于我國高考，本文稱為法國高考).高中畢業(yè)會考在每年6月份進行，9月份可以補考.普通高中的三個專業(yè)分別有不同的會考試卷.會考總成績是科目分數(shù)乘以權重系數(shù)相加求和，所得的和除以加權系數(shù)的總和，也即各門課的加權平均值.以理科數(shù)學(S)卷為例，權重系數(shù)是7或9(選擇基礎試題時系數(shù)是7，選擇選修課試題時系數(shù)為9)，時間為4小時，考試時可以使用計算器.試卷的總分為20分，10分為及格分數(shù).

2 研究設計

圖1 法國教科書封面

研究對象為中法高考試卷、高中數(shù)學教科書中的概率與統(tǒng)計內容.首先，選擇2016-2019年中國新課標理科全國卷I以及法國本地治里(Pondichéry)理科高考卷[3]. 其次，中國教科書選取高中人教A版的數(shù)學必修3[4]和高中理科學生必須學習的選修2-3[5]；法國選擇出版年份為2014、2015、2016，且由Sesamath和MAGNARD合作出版的法國高一[6]、高二[7]、高三[8]理科必修教科書(簡稱SM教科書)，其中Sesamath 是1901 年成立的法國社會團體，他們對中小學數(shù)學教科書的貢獻得到了很好的信譽,[9]法國教科書封面見圖1.

首先，分析中法高考對概率與統(tǒng)計的考查，然后基于評價的視角對教科書的知識結構、知識的引入和表征、數(shù)學問題的背景、基于信息技術的數(shù)據(jù)分析要求等方面進行比較，最后得到思考與啟示.

3 中法高中概率與統(tǒng)計比較研究

3.1 中法高考概率與統(tǒng)計內容要求分析

3.1.1法國概率與統(tǒng)計高考題分析

法國高考中概率與統(tǒng)計題目主要涉及條件概率、全概率、逆事件概率、概率樹、正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布、置信區(qū)間、假設檢驗等內容，常常以實際問題為背景，分角度、多層面考查知識點，每道題分為2-3部分，占高考分數(shù)的20-25%.下面以2017年、2019年本地治里(Pondichéry)高考卷的概率與統(tǒng)計題為例進行詳細說明.

案例1(2017年，基礎試題，5分)假定問題(1)(2)(3)相互獨立．計算結果四舍五入，保留三位有效數(shù)字．某巧克力工廠生產100克的黑色巧克力，其中可可因子的含量是85%．

(1)巧克力工廠認定如果巧克力出現(xiàn)以下情況將無法售賣，比如巧克力破損、包裝損壞、校準不良．巧克力廠考慮兩種制作方法．甲生產線較慢，用甲生產線生產的巧克力銷售的可能性為0.98． 乙生產線較快，用乙生產線生產的巧克力銷售的可能性為0.95．完成一天制造后，隨機抽取一個巧克力進行檢驗，令A事件表示“巧克力來自甲生產線”；C事件表示“巧克力是可銷售的”．假定巧克力來自甲生產線的概率是x． 1)證明P(C)=0.03x+0.95；2)在生產結束時，我們發(fā)現(xiàn)96%的巧克力是可銷售的，則用這個數(shù)值來估計巧克力可以銷售的概率．試證明巧克力來自乙生產線的概率等于來自甲生產線概率的2倍．

(2)制造巧克力的電子機器，它的壽命用隨機變量Z來表示，在幾年內服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布． 1)若這種機器的平均使用壽命為5年，求參數(shù)λ的值． 2)計算P(Z>2)的值． 3)已知車間的機器已經工作3年．求它的壽命可能會超過5年的概率？

(3)隨機變量X表示商場一塊100g巧克力中可可因子的含量，并且服從μ=85,σ=2的正態(tài)分布． 1)計算P(83≤X≤87)的值, 可可因子含量與包裝上廣告的百分比相差2%以上的可能性是多少? 2)求實數(shù)a的值，使得P(85-a≤X≤85+a)=0.9，并解釋結果． 3)這家巧克力廠向一家連鎖超市出售10000個巧克力棒，其中90%的巧克力含可可因子的比例在區(qū)間[81.7，88.3]內．為了驗證這個陳述是否真實，采購經理從該批次中隨機抽取了550個巧克力，發(fā)現(xiàn)這些樣品中有80個不符合標準．請問抽取的樣品能否驗證廠方的斷言？

試題分析：本題第一部分考查條件概率公式、全概率公式、逆事件的概率；第二部分主要考查指數(shù)分布的參數(shù)計算，利用分布函數(shù)計算概率，利用指數(shù)分布的無記憶性計算概率；第三部分利用正態(tài)分布的標準形式計算區(qū)間上的概率，由某個區(qū)間的概率值計算參數(shù)以及假設檢驗．該題目難度較大，相當于我國大學的測試水平．

案例2(2019年，基礎試題，4分)4個單項選擇題：以滑雪站的四種情況為背景，四個小問題相互獨立．(1)某滑雪站某一天接待80名游客，若每名游客滑雪的可能性為1/4，則有20名游客滑雪的概率是多少？(2)假定每天滑雪的游客人數(shù)服從均值為150cm、方差未知的正態(tài)分布，若滑雪者至少200人的概率為0.025，則至少有100人滑雪的概率是多少？(3)若兩個雪崩的時間間隔為雪崩發(fā)生時間(以年為單位)，它服從指數(shù)分布，已知平均每5年發(fā)生一次雪崩，求雪崩的發(fā)生時間在5年以上的概率？(4)旅游局想對游客的滿意度展開調查，若達到置信水平為0.95，置信區(qū)間長度為0.04的標準，那么需要調查多少游客？

試題分析：題型由解答變成單項選擇題，本題以滑雪為背景主要考查二項分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布和置信區(qū)間，題目難度相比前幾年有所降低，但仍保留同一背景下對不同知識的考查．

另外，本地治里(Pondichéry)2016年高考卷概率與統(tǒng)計的基礎試題(4分)，以16歲至24歲年輕人上互聯(lián)網時間為背景，主要考查正態(tài)分布、全概率公式、區(qū)間估計，具體來說，第一部分, 根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，在圖形上標出概率值相等的區(qū)間；利用2σ法則計算σ的值；利用σ法則和對稱性計算區(qū)間的概率；第二部分，先補充完善概率樹，再利用全概率公式計算相應概率，然后計算參數(shù)的置信水平為95%的置信區(qū)間．本地治里(Pondichéry)2018年高考卷概率與統(tǒng)計的基礎試題(5分)，以工廠生產糖為背景，分為三個部分，主要考查正態(tài)分布、全概率公式、貝葉斯公式、假設檢驗以及置信水平為95%的置信區(qū)間，難度較大．

3.1.2中國概率與統(tǒng)計高考題分析

我國2016-2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(新課標全國卷I)對概率與統(tǒng)計知識點的考查題型以及分值基本沒有變化，包含選擇題和解答題，分值約占總分值的11.3%.一般是求隨機變量的分布列、期望、方差，或運用幾何模型以及概率的性質計算概率.但2019年有較大變化，概率統(tǒng)計題取代了圓錐曲線的壓軸位置，以藥物治療效果為背景，考查隨機變量的分布列、統(tǒng)計推斷內容，并結合數(shù)列知識，強調實際背景下的知識應用.

3.1.3中法概率與統(tǒng)計高考題對比分析

相同點：都注重考查學生能力，如數(shù)據(jù)分析能力、數(shù)學運算能力，特別是數(shù)據(jù)分析能力要求比較高；題目背景方面，兩國都注重現(xiàn)實問題的解決，主要關注生活和公共常識的背景.

不同點：法國概率與統(tǒng)計的高考題，內容考查更深入；偏向于新穎的現(xiàn)實背景下設置不同角度的問題；模塊內綜合性較強，系統(tǒng)化考查概率統(tǒng)計知識；注重考查基于概率樹分析、解決問題，傾向于用語言、圖形、符號三方面表征問題.中國概率與統(tǒng)計的高考題，開始關注跨模塊綜合性知識的考查，比如概率與統(tǒng)計和導數(shù)綜合、概率與統(tǒng)計和數(shù)列綜合等.

我國2017年理科卷的概率統(tǒng)計答題得分率只有0.221[10]，因此，有必要基于評價的視角分析概率與統(tǒng)計的教科書安排，進而為有效的教與學打基礎.

3.2 中法高中教科書概率與統(tǒng)計內容比較

3.2.1知識結構

中法兩國教科書概率與統(tǒng)計的知識結構見圖2和圖3，可知，法國SM教材所涵蓋的知識點更多，且難度更大.我國教科書獨有的內容有三種簡單的隨機抽樣、幾何概型、統(tǒng)計案例等.法國教科書獨有的內容有四分位數(shù)、置信區(qū)間估計、隨機變量的密度、均勻分布、指數(shù)分布(λ>0)、區(qū)間估計、假設檢驗等[11].

(1)概率部分

隨機事件、事件的交、并、逆事件、條件概率等是兩國所共有的. 不同點是中國教材有幾何概型以及隨機數(shù)的產生，且古典概型與幾何概型作為概率的兩個重要內容分為兩節(jié).SM教材則有全概率公式、貝葉斯公式和概率樹.

圖2 中國教科書概率與統(tǒng)計內容結構圖

隨機變量內容兩國教材基本保持一致，不同的是中國教材出現(xiàn)了超幾何分布.在教學中，我國鼓勵學生使用計算器、計算機等現(xiàn)代技術手段進行數(shù)據(jù)處理[12].法國教材則要求更具體，比如，使用計算器或相關軟件計算二項系數(shù)，根據(jù)公式計算概率，作出二項分布的圖形，可操作性強.[13]

SM教材獨有概率密度內容，首先，給出隨機變量密度函數(shù)的定義、簡單性質，其次介紹均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的定義、性質，且包含均勻分布和指數(shù)分布的嚴格證明.其實，概率密度函數(shù)的定義是離散型隨機變量的期望定義的拓展，盡管不要求掌握密度函數(shù)的代數(shù)表達式，但可以從經濟學或社會學中找到例子來闡述[11].

(2)統(tǒng)計部分

相同點是兩國都有中位數(shù)、平均數(shù)、方差和標準差.不同點是中國教材獨有三種簡單的隨機抽樣、莖葉圖、頻率分布直方圖以及判斷變量間的線性相關關系，并用最小二乘法求回歸直線方程.SM教材則獨有置信區(qū)間、假設檢驗等內容，使用軟件或計算器對一個統(tǒng)計數(shù)列進行分析，或對兩個統(tǒng)計數(shù)列進行有意義的比較.因此，在統(tǒng)計內容方面法國比中國難度大.

總之，法國知識結構較為系統(tǒng)化，知識點較多且要求深入.知識編排方面，中國教科書采取模塊化的編排，概率與統(tǒng)計內容分布在必修3和選修2-3，共有四章內容，161頁.法國教科書采用漸進式分散編排，在高一、高二、高三均有涉及，共214頁.

3.2.2 概念、性質定理的引入方式、呈現(xiàn)方式與嚴格性水平

概念、性質、定理是教科書的重要組成部分，它們的引入方式、呈現(xiàn)方式、嚴格水平很大程度上影響教師的教學設計，從而會影響學生對知識的理解、掌握.在文獻[14]和哈佛大學提出的用圖象、符號、數(shù)值、語言4種方式呈現(xiàn)概念的基礎上展開研究，為使比較結果更具有可信度，只統(tǒng)計兩國教科書中共有的概念、性質定理的引入方式、呈現(xiàn)方式與嚴格水平，以表格的形式來展現(xiàn)結果，其中△表示SM教科書中的情況，√表示我國人教A版的情況.

(1)概念的引入方式和呈現(xiàn)方式

對于數(shù)學而言，基本概念就像是大廈的根基一樣，所有的問題都是建立在它之上.因此，在理解基本概念的基礎上，才有可能正確分析、判斷、靈活運用.

圖3 法國教科書概率與統(tǒng)計內容結構圖

表1 教科書中概念的引入方式與呈現(xiàn)方式

由表1可知，SM教科書以數(shù)學問題和現(xiàn)實問題為主要的方式引入概念，其次在正文給出明確的定義，比如期望、方差、中位數(shù)、平均數(shù)等.中國教科書則以數(shù)學問題和現(xiàn)實問題相結合的方式引入概念，有的概念并無明確定義，比如教科書中兩點分布的定義為“若隨機變量X的分布列具有表格2-3的形式，則稱X服從兩點分布.”中法兩國教科書期望、方差、離散型隨機變量的呈現(xiàn)方式一樣，在SM教科書中，四種呈現(xiàn)方式由多到少依次為語言描述、數(shù)值和符號、圖像；中國教科書則是數(shù)值和符號、圖像和語言描述.

(2)性質定理的引入方式、呈現(xiàn)方式與嚴格性水平

由表2可知，引入方式上，法國教科書的性質、定理直接給出，中國教科書主要采用直接給出和數(shù)學問題相結合的方式；在呈現(xiàn)方式上，中法教科書都主要采用數(shù)學符號呈現(xiàn)；嚴格性水平方面，法國教科書性質、定理偏向于直接給出，中國教科書偏向于例證和證明.總之，中法都注重概念的現(xiàn)實問題、數(shù)學問題引入，較注重知識的多元化表征.

表2 教科書中性質定理的引入方式、呈現(xiàn)方式與嚴格性水平

3.2.3數(shù)學問題背景分析

法國概率與統(tǒng)計高考題目都是在現(xiàn)實背景下設置問題，中國也開始重視，那么教材設置是否也是如此表現(xiàn)呢？下面以兩國教科書中概率與統(tǒng)計習題為例進行統(tǒng)計分析.根據(jù)鮑建生建立的五因素綜合難度模型，背景水平是指將數(shù)學問題背景分為4類：無背景、生活背景、公共常識和科學背景[15].現(xiàn)用折線圖將兩版教材中各背景水平的習題所占的比例表示出來，如圖4.

圖4 中法教科書習題的背景水平所占比例

由圖4得知，中法兩國教材純數(shù)學情景的習題最多，兩國的公共常識類背景所占比例差不多，以此達到對數(shù)學知識的熟練掌握和靈活應用.中國教材中生活背景類較多，法國教材更重視科學情境類習題(大部分屬于信息技術類).另外，法國重視選擇歷史上的經典案例進行剖析，比如法國教材涉及美國的三門游戲、辛普森悖論、孔多塞悖論等，讓學生深入感受數(shù)學知識的產生、發(fā)展，以及如何應用于生活，領悟知識的本質.

3.2.4基于信息技術的數(shù)據(jù)分析要求

伴隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，數(shù)據(jù)分析能力是公民應當具備的基本素養(yǎng).而數(shù)據(jù)分析的重要工具是信息技術.中國教材中的信息技術，包括用計算器計算標準差、畫散點圖或者閱讀當中的信息技術的應用等. 法國教材重視對電子表格、計算軟件等的應用.比如案例3，利用TI和CASIO兩類計算器計算一列數(shù)的標準差，答案里給出詳細具體的操作步驟，能較好地起到示范引領的作用，學生易于掌握，且法國教材還提供專門的網站供學生下載數(shù)據(jù)資料，鍛煉了學生搜集數(shù)據(jù)、并從中提取有用信息的能力，進而形成知識解決問題.

案例3法國教科書“利用計算器計算標準差”

方法 使用計算器計算一系列值的標準方差 應用練習1)確定一系列數(shù)2;3; 4; 8; 9; 12; 13;…;41的標準差2)答案Calculatrice TI·按下按鍵stats;·選擇菜單1:Edite…;·在L1中我們錄入數(shù)值2;3;…;·按下stats鍵,然后按下右邊的鍵,移動CALC;·選擇1:統(tǒng)計變量1,繼而寫入L1與2nde,按下1鍵,獲得統(tǒng)計變量L1和有效的eatrer;·標準差是σ=11.77921899所以σ≈11.8(平均值= 11.5) Calculatrice CASIO ·按下按鈕MENU,并選擇菜單2:STAT; ·在List中錄入數(shù)值2;3;…; ·然后選擇菜單CALC和SET;根據(jù)法則,在XLIST變量1和與之對應的列表1設置頻率,然后按下EXIT鍵; ·選擇變量1菜單鍵; ·標準差為σ=11.77921899

4 思考與啟示

4.1 加強知識模塊的銜接

《2017年普通高中數(shù)學學科教學與評價指導意見》提出教學建議，強調整體把握課程內容，抓住主線，才能更好地把握概率與統(tǒng)計內容.[16]但實際上概率與統(tǒng)計內容知識點多，內容相對松散，知識不容易形成系統(tǒng).中國教科書概率與統(tǒng)計部分的內容過于模塊化，在知識銜接上比較松散.而法國教科書、高考則比較注重概率與統(tǒng)計各知識模塊的銜接，比如法國本地治里2016-2019年高考卷中概率與統(tǒng)計試題，分別是以16歲至24歲年輕人上互聯(lián)網時間為背景考查正態(tài)分布、全概率公式、區(qū)間估計；以工廠生產巧克力為背景考查全概率公式、指數(shù)分布、假設檢驗；以工廠生產糖為背景，考查正態(tài)分布、全概率公式、貝葉斯公式、假設檢驗、參數(shù)估計；以滑雪為背景考查二項分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布、置信區(qū)間.這四個題目把不同模塊內容較好地銜接在一起，便于學生系統(tǒng)掌握概率與統(tǒng)計知識，為我國教科書整體把握概率統(tǒng)計內容提供了參考.

4.2 強調問題情境的考查

2017版高中數(shù)學課程標準明確提出，命題應有一定數(shù)量應用題，還應包括開放性問題和探究性問題[12].陳昂、任子朝提出，試題的設計應讓考生領會到概率與統(tǒng)計的思想方法在現(xiàn)實生活、工廠生產、公司經營等領域應用廣泛，形成自覺應用數(shù)學知識指導社會實踐的意識，提高學生的綜合實踐能力[17].法國高考共有四道應用題，大多以實際問題為背景，分為2～3部分，比如案例1以工廠生產巧克力為背景，考查概率的計算、指數(shù)分布的性質、假設檢驗的應用這三個內容，分角度、多層面較為系統(tǒng)地考查知識內容，逐步展現(xiàn)學生的思維過程,考查實踐能力，并培養(yǎng)創(chuàng)新意識，這樣的命題方式值得我們參考.我國2019年高考試題增強綜合性和應用性,情境真實多彩，貼近生活，聯(lián)系社會實際,體現(xiàn)了數(shù)學與其他學科和現(xiàn)實社會的廣泛聯(lián)系，反映了數(shù)學的應用價值和工具性.[18]

4.3 注重數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng)

數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學應用的主要方法，已經深入到社會生活和科學研究的各個方面.數(shù)據(jù)分析主要包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構建模型對信息進行分析、推斷、獲得結論.法國高中數(shù)學教科書中的概率與統(tǒng)計內容，比較注重基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，依托數(shù)據(jù)探索事物本質，值得我們參考.通過課程的學習，學生應該提升獲取有價值的信息并進行量化分析的意識和能力[19].我國2019年高考試題突出學科素養(yǎng)導向，注重能力考查.那么如何能在學習概率與統(tǒng)計內容時，引導學生提升數(shù)據(jù)處理能力，增強養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習慣等，是有待于進一步探討的問題.