叢愛玲 韓朝陽

(1牡丹江市教育教學(xué)研究院， 黑龍江 牡丹江 157000；2哈爾濱理工大學(xué)理學(xué)院， 哈爾濱 150080)

對(duì)于一些積分計(jì)算題我們很難采用常規(guī)方法得出原函數(shù)，甚至根本不能用初等函數(shù)來進(jìn)行表示，利用幾個(gè)特殊廣義積分的計(jì)算結(jié)果作為結(jié)論處理這些計(jì)算題，很容易處理復(fù)雜的積分計(jì)算。

1 Euler積分

解：這是一個(gè)無界的瑕積分，瑕點(diǎn)為x=0.利用柯西判別法，容易驗(yàn)證該積分的收斂性。

先做代換x=2t,得到

所以答案為

2 Froullani積分

設(shè)函數(shù)f(x)在[0,+)上連續(xù)，極限f(+)存在且有限，實(shí)數(shù)a,b>0，計(jì)算積分

解 本題廣義積分的收斂性將在下面的計(jì)算過程中建立。對(duì)0

對(duì)上式右邊的兩個(gè)定積分分別應(yīng)用積分第一中值定理，得到

在上式中分別令r→0+,R→+,注意到這時(shí)ξ→0+，η→+，由于f(0+)=f(0),f(+)存在有限，而且在此時(shí)的極限為Froullani積分，得到

除此之外，從上面的證明過程中可以得到Froullani積分的兩種變型：

若x→+時(shí)f(x)沒有有限極限，但是對(duì)某個(gè)A>0,積分收斂，則有

3 Dirichlet積分

因此Dn(x)在[0,π]上可積。直接對(duì)Dn(x)積分比較困難，為此我們利用三角恒等式作如下變換

將Dn(x)分解為

逐項(xiàng)積分得到

現(xiàn)在再來證明Dirichlet積分，先觀察將其分母換為x所產(chǎn)生的影響。因?yàn)?/p>

可見有

因此f(x)在[0,π]上常義可積。應(yīng)用Riemann引理就有

得到

即證得

4Euler-Possion積分

證明：由于積分值只與被積函數(shù)和積分區(qū)域有關(guān)，與積分變量無關(guān)，從而我們有

用極坐標(biāo)變換x=rcosθ,y=rsinθ轉(zhuǎn)化為二重積分進(jìn)行計(jì)算，則有

因?yàn)閑-r2≥0，則I≥0,即

得證。