邱 云 蘭

(廣州工商學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部， 廣州 510850)

一、問題提出

在求偏導(dǎo)數(shù)的教學(xué)過程中，把握教綱，要根據(jù)題型類型特征選擇有效的求解方法。求偏導(dǎo)數(shù)的有些內(nèi)容比較繁難，算量大、情景新、交匯強。因此，在課堂教學(xué)中了解學(xué)情，“以學(xué)定教”，掌握偏導(dǎo)數(shù)的定義、定理、公式的表述形式及其應(yīng)用。梳理其知識體系[1]；根據(jù)教學(xué)大綱，選擇難易度適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容。

清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系白峰彬認為，基礎(chǔ)課像打樁子，要想讓基礎(chǔ)有用，基礎(chǔ)課就要有一定的難度，后續(xù)課程就像給這些樁子建立聯(lián)系。關(guān)鍵是分析“難之所在”和“難”的原因。對抽象之處，形象描述，創(chuàng)設(shè)思維切入點和思維的最近發(fā)展區(qū)。對繁瑣之處的預(yù)設(shè)，要條分綏析，對枯燥之處要補充素材配點“小插曲”，引起學(xué)生興趣和注意[2]。注重教學(xué)內(nèi)容、教法的選擇，真正為學(xué)生解決數(shù)學(xué)中遇到的實際問題，給予學(xué)生在成長中的動機、行為、情感、態(tài)度、價值觀等方面的激勵和幫助。

二、偏導(dǎo)數(shù)“以學(xué)定教”模式的路徑選擇

偏導(dǎo)數(shù)的計算或證明的思路選擇，一般可以選擇：定義法、公式法、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、全微分法等。根據(jù)題型特征選擇方法,關(guān)鍵是要靈活運用概念、公式，靈活選擇解題方法。

1.用偏導(dǎo)數(shù)的定義公式求解或證明有關(guān)問題

對于一元函數(shù)來說，連續(xù)未必可導(dǎo)，可導(dǎo)未必連續(xù)；但是，對多元函數(shù)來說，偏導(dǎo)未必連續(xù)，不連續(xù)未必不偏導(dǎo)，這兩個結(jié)論看似矛盾，其實是一致的，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)實質(zhì)是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)只要對相應(yīng)的一元函數(shù)(不是多元函數(shù)本身！)滿足“連續(xù)未必偏導(dǎo)，偏導(dǎo)未必連續(xù)”的結(jié)論。

例如 設(shè)z=f(x,y)在(x0,y0)處可偏導(dǎo)，則一元函數(shù)φ(x)=(x,y0)在x0處連續(xù)；而若φ(x)=(x,y0)在x0處連續(xù)，z =f(x,y)在(x0,y0)處對x未必可偏導(dǎo)。關(guān)鍵是應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)的定義：如果f(x,y)在區(qū)間D內(nèi)每一點(x，y)處對于x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么z=f(x,y)在D內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)

證明 由導(dǎo)函數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的定義，得

fx(x,b)

由于y與Δx無關(guān)，所以上面兩個極限相等，即

怎樣讓學(xué)生的思維真正活動起來，這個動力就是“問題”，有思維價值的問題可以把學(xué)生帶入“憤悱”的境地。在課堂教學(xué)中注重高層次與低層次的提問。提問是為了激發(fā)學(xué)生的興趣，多角度的理解所學(xué)內(nèi)容，啟發(fā)學(xué)生在動口中學(xué)會提問，在動手中體驗解題的經(jīng)驗，在動腦中鍛煉和提升邏輯思維能力。

=exy[xsin(x+y)+cos(x+y)]

應(yīng)用公式求解時，要厘清公式成立和適用范圍，即掌握多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合情形的有關(guān)定理，根據(jù)學(xué)情，盡可能把每一步的求解過程講懂，把思路講清，把課講懂是教學(xué)對教師的基本要求。

2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、全微分法求偏導(dǎo)數(shù)

有些隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或高階偏導(dǎo)數(shù)的求解，要緊扣定義、定理、公式的提問。例如，求高階偏導(dǎo)數(shù)，從低到高分步計算寫出將要用到的各階偏導(dǎo)數(shù)，切忌從高到低一步寫出結(jié)果。哈爾莫斯說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好方法是解題”，解題是教學(xué)的主體，也是落實人才培養(yǎng)的具體要求和落實教學(xué)過程中教師承擔(dān)的道德教育的重任，不能忽視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)課堂可以分為概念科、原理課、解題課[3]。

解

偏導(dǎo)數(shù)的計算是一種實踐能力，要靠長期訓(xùn)練和積累，才能有效確保計算的準(zhǔn)確性和快捷性[4]。在用全微分的方法時，把所有變量視為自變量，對方程兩邊求微分，再把所要求的隱函數(shù)的微分當(dāng)作未知量，從方程或方程組中求解。

解 方程兩邊求微分，得

dx+2dy+3dz=-e-(x+2y+3z)(dx+2dy+3dz),

三、結(jié)語

馬克思說：“一種科學(xué)只有成功地運用數(shù)學(xué)時，才能達到了真正的完善的進步?！迸喔J為：數(shù)學(xué)是“通向科學(xué)大門的鑰匙”，現(xiàn)今人們已經(jīng)認識到數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的語言和工具。今天雖然強調(diào)登塔爾所主張的“再創(chuàng)造”的過程，但這決不意味著學(xué)生遇到困惑時老師袖手旁觀，任憑學(xué)生自己去苦苦掙扎，而放棄自己才智和德行，為學(xué)生譯疑解惑，洞察疑難困惑之所在，準(zhǔn)確把握解決疑難困惑之關(guān)鍵。

求偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)的根本目的，就在于引領(lǐng)學(xué)生掌握具有普遍意義和廣泛遷移價值的策略性知識數(shù)學(xué)思想方法。概念是判斷的工具，它能使我們形成類化的能力，使我們的知識標(biāo)準(zhǔn)化，并促進對未知事物的認識。強化偏導(dǎo)數(shù)的概念、公式的理解，理解是學(xué)好偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵和核心，沒有對偏導(dǎo)知識的理解就沒有求偏導(dǎo)數(shù)的技能的掌握，也沒有數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，更沒有大家熱議的學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成[5]。對于不同的內(nèi)容不同的解題方法使用的條件、適用的范圍都需要周密的分析并引起高度重視。重視問題的表征、言語和方法，充分挖掘、適時滲透學(xué)生問題和學(xué)科內(nèi)容本身蘊含的元素。有效互動探索解題思路、解題方法和解題路徑[6]。