朱立明，馬云鵬

小學(xué)數(shù)學(xué)中“除法”“分?jǐn)?shù)”與“比”的辨析與思考

朱立明1，馬云鵬2

（1．唐山師范學(xué)院 教育學(xué)院，河北 唐山 063000；2．東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024）

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，除法、分?jǐn)?shù)和比是極容易混淆的概念，這3個(gè)概念之間既有聯(lián)系，又具有自身的特性．能否理解3者的數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵及其關(guān)系是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)成敗的關(guān)鍵，直接影響學(xué)生思維與認(rèn)知的發(fā)展．除法是表示兩個(gè)數(shù)之間的運(yùn)算關(guān)系，當(dāng)兩個(gè)數(shù)不能整除時(shí)，結(jié)果是分?jǐn)?shù)．分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是一個(gè)數(shù)，是表示整體與等分的關(guān)系，是一個(gè)比率．比的本質(zhì)是刻畫兩組數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，在比的運(yùn)算過程中，可以借助除法來完成，比值可以用分?jǐn)?shù)來表示．

除法；分?jǐn)?shù)；比；深度學(xué)習(xí)

1 概念的理解——小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容視角

從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》來看，“數(shù)與運(yùn)算”的知識(shí)與技能是小學(xué)數(shù)學(xué)教育中學(xué)生必須掌握的．除法、分?jǐn)?shù)與比是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的核心內(nèi)容．“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域在小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)中所占比例是三分之二左右，是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，其中蘊(yùn)含著多個(gè)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，例如，數(shù)與數(shù)量、運(yùn)算、式與方程等．小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容即在小學(xué)數(shù)學(xué)的3個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域（數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率）內(nèi)，能夠聯(lián)結(jié)相應(yīng)領(lǐng)域中不同學(xué)段的小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容并為其提供持續(xù)性支持具有奠基作用的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法．在解決“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的問題時(shí)也會(huì)涉幾何直觀、推理能力、模型思想等[1]．下面，從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視角對(duì)除法、分?jǐn)?shù)、比這3個(gè)概念進(jìn)行釋義．

1.1 除法是乘法的逆運(yùn)算

從數(shù)學(xué)運(yùn)算視角來看，除法與加法、減法、乘法一樣，是代數(shù)思想的重要基礎(chǔ)．從邏輯順序視角來看，小學(xué)階段的除法要包括整數(shù)除法、小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法，是加、減、乘3種運(yùn)算的延續(xù)，也是實(shí)數(shù)體系后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是小學(xué)數(shù)學(xué)課程中非常重要的一部分．學(xué)生學(xué)習(xí)除法之前，首先要理解除法的意義．除法是以“平均分”為基礎(chǔ)知識(shí)和本質(zhì)屬性的，“平均分”在學(xué)生除法概念的發(fā)展過程中起到了重要的作用，除法既可以用來描述將被除數(shù)平均分成相等的幾份，也可以說明被除數(shù)是除數(shù)的幾倍．在一定程度上，除法可以視為減法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，例如，把9個(gè)蘋果平均分給3個(gè)人，對(duì)于沒有學(xué)習(xí)除法的學(xué)生也可以根據(jù)減法來分，一個(gè)一個(gè)來分．除此之外，除法還作為乘法的逆運(yùn)算，已知兩個(gè)數(shù)之積和一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算，就像加法與減法互逆一樣．理解除法中蘊(yùn)含的3個(gè)要素（被除數(shù)、除數(shù)、商）及其關(guān)系是學(xué)生數(shù)理邏輯思維能力的重要構(gòu)成部分．從運(yùn)算能力與推理能力的角度來看，除法的核心內(nèi)容是算理的理解，小學(xué)階段除法的算理主要集中在分?jǐn)?shù)除法與小數(shù)除法，分?jǐn)?shù)除法的算理是對(duì)除以一個(gè)數(shù)等于乘以該數(shù)的倒數(shù)的理解，小數(shù)除法的算理關(guān)鍵在于對(duì)位值的理解，依據(jù)不同數(shù)位上數(shù)字所表示的意義，類比整數(shù)的除法進(jìn)行運(yùn)算．加減法的逆運(yùn)算借助相反數(shù)來表達(dá)，而除法作為乘法的逆運(yùn)算，是借助倒數(shù)來進(jìn)行表達(dá)的．

1.2 分?jǐn)?shù)是數(shù)系擴(kuò)充產(chǎn)生的一種新數(shù)

從詞源來看，英文分?jǐn)?shù)“fraction”一詞源于frangere，是打破、割裂的意思．在《九章算術(shù)》中將分?jǐn)?shù)叫“命之”，即“命分”，而《幾何原本》中的真分?jǐn)?shù)也是指部分的意思．因此，從分?jǐn)?shù)的命名來看，是源于第二個(gè)定義方式，小學(xué)教材中習(xí)慣上喜歡利用“整體與等分”的方式來定義分?jǐn)?shù)，這種定義的優(yōu)點(diǎn)在于借助幾何直觀，學(xué)生容易理解，但是缺點(diǎn)就是在強(qiáng)調(diào)等分的同時(shí)，弱化了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，正如弗賴登塔爾所指出的：“測(cè)量產(chǎn)生的是小數(shù)而不是分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)是為了使除法可以繼續(xù)進(jìn)行下去……一旦接受了7/3，那么在計(jì)算中便可將其作為這一除法的結(jié)果來加以處理．”[2]

現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)概念的定義方式有很多種，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要涉及以下4種：第一，商的定義（運(yùn)算中出現(xiàn)的新數(shù)）；第二，份數(shù)定義（表示整體與等分的關(guān)系）；第三，比的定義（兩個(gè)事物量之間的整數(shù)比）；第四，數(shù)線定義（數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系）[3-6]．分?jǐn)?shù)的這些概念涉及了連續(xù)量與離散量的不同情境，并具有一些特殊的性質(zhì)，如等值、稠密性等．目前，雖然小學(xué)數(shù)學(xué)教材中盡量避開第一種定義方式，但是這種定義體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，分?jǐn)?shù)首先是一個(gè)數(shù)，是為了保證運(yùn)算封閉而生成的新的數(shù)字符號(hào)，是數(shù)域擴(kuò)張的產(chǎn)物．運(yùn)算為分?jǐn)?shù)概念奠定了基礎(chǔ)，但是分?jǐn)?shù)不是運(yùn)算的過程，而是結(jié)果．因此，分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實(shí)意義主要有兩個(gè)．第一個(gè)是數(shù)系的擴(kuò)張，體現(xiàn)了除法運(yùn)算結(jié)果，這里需要注意的是分?jǐn)?shù)是除法運(yùn)算的結(jié)果（數(shù)），而不是除法運(yùn)算本身．分?jǐn)?shù)與自然數(shù)、整數(shù)等一樣，可以在具體情境中形成分?jǐn)?shù)的概念，通過感悟分?jǐn)?shù)的大小比較、基本運(yùn)算、數(shù)量表達(dá)等來理解分?jǐn)?shù)的意義．第二個(gè)是整體與等分，通過等分形成分?jǐn)?shù)單位，這是非常重要的概念，無論是在分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，還是分?jǐn)?shù)的大小比較，都是以分?jǐn)?shù)單位作為基礎(chǔ)；從幾何直觀的角度來看，分?jǐn)?shù)可以利用幾何圖形來直觀表達(dá)，這是數(shù)形結(jié)合思想方法的集中體現(xiàn)，便于抽象的分?jǐn)?shù)形象化．

1.3 比是對(duì)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系的刻畫

比的概念在中國(guó)大陸現(xiàn)行教材中的描述如下：按例子那樣兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系也說成比，兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除，比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可用小數(shù)或整數(shù)表示[7]．兩個(gè)數(shù)量之間的這種關(guān)系還可以說成比，兩個(gè)數(shù)相除又可以叫做兩個(gè)數(shù)的比，比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)得到的商叫做比值，兩個(gè)數(shù)的比可以寫成分?jǐn)?shù)形式[8]．按例子那樣，兩個(gè)數(shù)相除，又叫做這兩個(gè)數(shù)的比[9]．比表示兩個(gè)數(shù)之間的一種關(guān)系，比也可以用分?jǐn)?shù)的形式表示，兩個(gè)數(shù)的比可以寫成兩個(gè)數(shù)相除的形式，兩個(gè)數(shù)相除的形式也可以寫成兩個(gè)數(shù)的比[10]．在中國(guó)臺(tái)灣的小學(xué)數(shù)學(xué)教材上對(duì)比的刻畫分為兩個(gè)階段，1993年以前的教材中，“比”是指兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系的記錄，而1993年新編的教材中，“比”是指并置的兩個(gè)量的對(duì)等關(guān)系（或稱為配對(duì)關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系）的記錄[11]．由此可以看出，中國(guó)大陸的教材大體上從兩個(gè)方面對(duì)比的概念進(jìn)行描述：一是刻畫數(shù)量之間的關(guān)系，這種描述揭示了比的本質(zhì)；二是借用除法與分?jǐn)?shù)來刻畫比，這描述模糊了比的本質(zhì)，容易造成學(xué)生對(duì)比與除法之間關(guān)系的混淆．在中國(guó)臺(tái)灣的教材中更清晰地闡述了比的本質(zhì)．

《辭?！穼?duì)比的注釋的全文是：數(shù)學(xué)名詞．比較兩個(gè)同類量和的關(guān)系時(shí)，如果以為單位來度量，稱為比，所得的數(shù)稱為“比值”，記∶=．“∶”是比號(hào)，比號(hào)前的量稱為“比的前項(xiàng)”，比號(hào)后的量稱為“比的后項(xiàng)”．《辭?！分嘘P(guān)于比的解釋的缺陷是沒有概括出兩個(gè)不同類量比較的情境．實(shí)際上數(shù)學(xué)中比的本質(zhì)在于揭示兩組量之間的倍數(shù)關(guān)系，其中包括同類量與不同類量．同類量相比，所得比值單位為1，例如，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之比，溶液的顏色之比，夏普比等．不同類量相比，所得比值單位是復(fù)合單位，例如，路程與時(shí)間之比，總價(jià)與數(shù)量之比等．比描述了兩個(gè)量之間關(guān)系的一般性，即表達(dá)同一比值的兩個(gè)量并不是唯一的，只是它們的比值是固定不變的，這樣的兩個(gè)量有無窮多個(gè)．因此，比是對(duì)量的關(guān)系的一種表達(dá)，這里的量蘊(yùn)含了同類量與不同類量?jī)煞N情況．

2 概念關(guān)系的辨析

對(duì)于比、除法與分?jǐn)?shù)3者之間的關(guān)系，可以利用圖1來表示，從圖中可以看出，除法是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，表示兩個(gè)數(shù)之間的運(yùn)算關(guān)系，它的操作對(duì)象是數(shù)，當(dāng)兩個(gè)數(shù)不能整除時(shí)，其運(yùn)算結(jié)果就是分?jǐn)?shù)；比的本質(zhì)是表示兩組數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，其比值結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)來表示，在比值的運(yùn)算過程中，可以借助除法運(yùn)算來完成；分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)字符號(hào)，與自然數(shù)、整數(shù)一樣，它的出現(xiàn)是數(shù)域擴(kuò)充的結(jié)果．也正因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，才能夠?qū)⒎謹(jǐn)?shù)作為除法與比的結(jié)果．

2.1 除法與比之間的關(guān)系

除法是表示兩個(gè)數(shù)之間的運(yùn)算關(guān)系，而比的本質(zhì)是兩組數(shù)量之間的運(yùn)算關(guān)系．因此，在理解除法與比的關(guān)系之前，需要明確數(shù)與數(shù)量的區(qū)別，數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中具體事物的量的抽象，其本質(zhì)是多與少．例如，一塊石頭，兩只鳥，三顆星，四匹馬，五朵花，六頭牛，七張紙，八扇門，九個(gè)人，十條魚，數(shù)量中也含有數(shù)字，但數(shù)量中的數(shù)字是對(duì)事物的描述，帶有實(shí)際背景．?dāng)?shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，其本質(zhì)是大與小，在形式上，數(shù)量去掉數(shù)量詞得到了數(shù)，實(shí)質(zhì)上，數(shù)的形成是擺脫實(shí)際背景的過程[12]．例如，數(shù)字“1”不再表示某一種具象的事物，而是一般化的符號(hào)，每一個(gè)具體的時(shí)間都是這個(gè)數(shù)字符號(hào)的特例，數(shù)比數(shù)量要更加抽象．也可以說，數(shù)是對(duì)數(shù)學(xué)世界的表達(dá)，而數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的描述．

圖1 概念之間的關(guān)系

除法與比的區(qū)別表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面．第一，兩者對(duì)象不同．除法是數(shù)學(xué)中表示兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算；比是現(xiàn)實(shí)中表示兩組數(shù)量的關(guān)系，例如，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之比為1∶3，則表示量之間的倍數(shù)關(guān)系，可以將滿足這種長(zhǎng)寬之比的長(zhǎng)方形視為一個(gè)集合，那么2∶6，3∶9，1.5∶4.5……都是這個(gè)集合的元素，這些長(zhǎng)方形的形狀相同．比是一個(gè)等價(jià)類，這是除法和比之間的本質(zhì)區(qū)別．第二，兩者功能不同．除法源于乘法，是平均分的數(shù)學(xué)化過程；比源于度量，包含可公度與不可公度，解決了可度量屬性（長(zhǎng)度、面積、體積）與不可度量的屬性（顏色、形狀、質(zhì)地）的可比性．因此，比是一種對(duì)數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)，而除法是對(duì)數(shù)字的運(yùn)算．除法與比的共性表現(xiàn)在除法與比都包含了結(jié)果，除法的結(jié)果是商，而比的結(jié)果是比值．除法與比的結(jié)果都可以用分?jǐn)?shù)來表示，在計(jì)算比值的過程中可以用除法來表示比．

2.2 比與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系

分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)，其表現(xiàn)形式與自然數(shù)、整數(shù)有一定的區(qū)別，自然數(shù)或整數(shù)的相等時(shí)只有自身相等，而分?jǐn)?shù)則不同，分?jǐn)?shù)相等不僅是自身相等，還可以根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)來構(gòu)建一個(gè)等價(jià)類．每個(gè)分?jǐn)?shù)的等價(jià)類中都包含一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)等價(jià)類中的“代表分?jǐn)?shù)”，需要強(qiáng)調(diào)的是，分?jǐn)?shù)等價(jià)類中的所有分?jǐn)?shù)并非不同的分?jǐn)?shù)，而是“代表分?jǐn)?shù)”的不同形式．前面已經(jīng)提過，比也是一個(gè)等價(jià)類，最簡(jiǎn)數(shù)量比就是比的等價(jià)類的“代表比”，其它的比均是這個(gè)“代表比”的不同形式．從這一點(diǎn)來看，分?jǐn)?shù)和比之間存在相似之處．因此，分?jǐn)?shù)可以作為比值來刻畫比．

雖然分?jǐn)?shù)與比都可以視為一個(gè)等價(jià)類，但是兩者之間并非完全相同，也不能相互替代．首先，分?jǐn)?shù)是數(shù)的等值變形，分?jǐn)?shù)的等價(jià)類描述的是一種等價(jià)數(shù)，例如1/2可以用2/4，3/6…來表示，這也是教材一直強(qiáng)調(diào)的，分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于它是數(shù)．而比是數(shù)量關(guān)系的等值變形，比的等價(jià)類描述的是一種等價(jià)關(guān)系，只是用分?jǐn)?shù)來表示它的比值結(jié)果．其次，分?jǐn)?shù)與比的單位不同，分?jǐn)?shù)單位是通過等分得到的，因此，分?jǐn)?shù)本身具有無量綱性．例如，將一個(gè)整體平均分為5份，每份都是1/5，與整體的大小無關(guān)．而對(duì)于不同量之間的比，其單位是復(fù)合的，由簡(jiǎn)單量詞相乘或者相除得到，因此，不同量的比值是一個(gè)有量綱的量．

2.3 分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系

在分?jǐn)?shù)的定義中，有一種方式就是借助除法來進(jìn)行定義的，即分?jǐn)?shù)是整數(shù)除以整數(shù)（≠0）所得的商[13]，這種定義方式體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)．可以說，除法運(yùn)算的封閉性是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的基本根源，有了分?jǐn)?shù)，就能準(zhǔn)確描述那些可細(xì)分的量，分?jǐn)?shù)的引進(jìn)是數(shù)學(xué)發(fā)展的外在動(dòng)力和內(nèi)在動(dòng)力共同作用的結(jié)果，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)理性精神[14]．反過來，也可以對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行除法運(yùn)算，在數(shù)系的擴(kuò)充過程中，通過相反數(shù)概念來界定負(fù)數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)自然數(shù)到整數(shù)的擴(kuò)充，同樣，也可以利用倒數(shù)來實(shí)現(xiàn)整數(shù)到分?jǐn)?shù)的擴(kuò)充．而倒數(shù)可以通過除法來定義：對(duì)于∈Z且不為0，滿足×=1的數(shù)稱為的倒數(shù)，表示為1/，這樣就得到了分?jǐn)?shù)1/，除法與分?jǐn)?shù)1/的關(guān)系表示為÷=×1/．有時(shí)也把除法寫成倒數(shù)的形式÷=/，雖然在形式上這與分?jǐn)?shù)是一致的，但是兩者之間具有本質(zhì)差異，其根本的區(qū)別在于除法是一種基于數(shù)字的數(shù)學(xué)運(yùn)算，是平均分的數(shù)學(xué)化過程，而分?jǐn)?shù)是除法運(yùn)算的結(jié)果，已經(jīng)是一個(gè)數(shù)字．

3 對(duì)“除法”“分?jǐn)?shù)”與“比”教學(xué)的啟示

基于以上分析可以看出，除法、分?jǐn)?shù)與比之間既存在著必然的聯(lián)系，又具有一定的區(qū)別．研究者通過梳理3者之間的共性與特性．希望能夠?qū)Τ?、分?jǐn)?shù)與比這3個(gè)概念的教學(xué)有啟示．

3.1 抓住本質(zhì)——凸顯概念的基本特性

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的核心基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)教學(xué)占有重要的地位，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面概括抽象出來的理性結(jié)果，是人們對(duì)事物本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，需要學(xué)生經(jīng)歷概念的抽象形成過程，從整體上感悟數(shù)學(xué)概念的屬性特征，突出概念的本質(zhì)．在概念教學(xué)之初，要讓學(xué)生了解并認(rèn)同引入這一概念的必要性，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)概念的獨(dú)特性，這對(duì)幫助學(xué)生有意識(shí)地去理解概念是非常有利的．

除法、分?jǐn)?shù)與比這3個(gè)數(shù)學(xué)概念，雖然具有一定的相似性，但是互相之間又無法替代，各具教育價(jià)值．以比為例，“比”的概念教學(xué)，不能過于強(qiáng)調(diào)“兩個(gè)數(shù)相除就叫做兩個(gè)數(shù)的比”，要解決學(xué)生意識(shí)中“既然相除就是比，為什么要學(xué)習(xí)比？”這一質(zhì)疑，而這個(gè)問題也是存在于大多數(shù)學(xué)生和教師心中的一個(gè)疑惑．為了解決這個(gè)疑惑，在學(xué)習(xí)比的概念時(shí)，首先要讓學(xué)生基于“比的意義”感知數(shù)學(xué)中引入“比”的概念的教育價(jià)值，凸顯比的重要性與必要性，然后基于“比的應(yīng)用”獲得利用比的意義來解決實(shí)際問題，突出比的優(yōu)越性與實(shí)用性．因此，在教學(xué)中，更應(yīng)該讓學(xué)生明確分?jǐn)?shù)、除法與比這3個(gè)概念的獨(dú)特價(jià)值，以及它們之間的本質(zhì)特征．

3.2 橫向鏈接——建構(gòu)概念的聯(lián)結(jié)關(guān)系

數(shù)學(xué)作為一個(gè)歷史概念，經(jīng)過了漫長(zhǎng)的發(fā)展過程，形成了龐大、系統(tǒng)的知識(shí)體系，概念之間是相互聯(lián)結(jié)的，除了要辨別除法、分?jǐn)?shù)與比之間的本質(zhì)特征，還要構(gòu)建3者之間的聯(lián)結(jié)關(guān)系，并且以這3個(gè)概念為核心內(nèi)容，輻射其它的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能．在教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，更應(yīng)該注重相關(guān)知識(shí)的連接點(diǎn)與延伸點(diǎn)，概念表征間的轉(zhuǎn)換能力是影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、問題解決及產(chǎn)生、有意義學(xué)習(xí)的重要因素[15]．從整體視角出發(fā)，形成概念的網(wǎng)絡(luò)體系，如圖2所示．例如，談及分?jǐn)?shù)，學(xué)生腦海中會(huì)出現(xiàn)倒數(shù)、通分、約分、數(shù)系擴(kuò)張、小數(shù)等相關(guān)概念，以分?jǐn)?shù)為中心，可以生成一系列的概念，形成核心內(nèi)容群，這樣更有利于學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)．

圖2 核心內(nèi)容群結(jié)構(gòu)

從數(shù)學(xué)史來看，比可以與其它數(shù)學(xué)內(nèi)容建立起關(guān)聯(lián)．比與音樂，古希臘學(xué)者畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，可以把音樂歸結(jié)為線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系；比與黃金分割，分一線段為二線段，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時(shí)，則稱此線段被分為中外比[16]．在小學(xué)教學(xué)中，比可以涉及到度量、正比例、反比例、比值、函數(shù)等相關(guān)概念，教師就是要幫助學(xué)生建立起概念之間的聯(lián)系，使新信息與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相互發(fā)生作用，實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的意義的同化，從而使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生積極變化[17]．學(xué)生要更好地理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，一個(gè)有效途徑就是以該概念為核心構(gòu)建一個(gè)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)與線路越多，概念的理解就越深刻，這是教學(xué)的關(guān)鍵所在．

3.3 創(chuàng)設(shè)情境——實(shí)現(xiàn)概念的深度學(xué)習(xí)

在概念教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是有一定難度的，為了解決學(xué)生學(xué)習(xí)上的困難，需要根據(jù)所教數(shù)學(xué)概念的特征，在數(shù)學(xué)概念的抽象邏輯建構(gòu)基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)概念情境化、生活化、活動(dòng)化．選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)素材，創(chuàng)設(shè)適切性的教學(xué)情境，情境的創(chuàng)設(shè)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，形成學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生在沖突的過程中，經(jīng)歷從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，從多個(gè)角度對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深刻的理解，進(jìn)而使學(xué)生根據(jù)問題情境的具體需求，通過改變概念的認(rèn)識(shí)角度，形成數(shù)學(xué)概念的不同表征方法．

小學(xué)階段，學(xué)生的心理特征與知識(shí)結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為形象性與基礎(chǔ)性，這與數(shù)學(xué)概念的抽象性構(gòu)成矛盾．以分?jǐn)?shù)為例，分?jǐn)?shù)的發(fā)展史漫長(zhǎng)而曲折，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解過程就是整個(gè)分?jǐn)?shù)發(fā)展史的縮影．分?jǐn)?shù)的概念有很多種定義方式，需要讓學(xué)生能從不同的定義方式來理解．學(xué)生在概念認(rèn)識(shí)階段，應(yīng)該側(cè)重“商的定義”方式，讓學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)是數(shù)；在概念分析階段，應(yīng)該側(cè)重“份數(shù)定義”方式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)分?jǐn)?shù)的整體與部分的內(nèi)涵；在概念構(gòu)建階段，應(yīng)該側(cè)重“比的定義”與“線數(shù)定義”，讓學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)概念的多元化，參與分?jǐn)?shù)概念的探究過程，讓學(xué)生盡量接觸各種不同的分?jǐn)?shù)情境，引發(fā)學(xué)生的深度思考，通過問題探究與內(nèi)容理解實(shí)現(xiàn)感念的深度學(xué)習(xí)[18]，教師能夠系統(tǒng)掌握分?jǐn)?shù)的各種意義十分必要，這是遴選與設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)問題的基礎(chǔ)，建立分?jǐn)?shù)意義與問題之間的關(guān)聯(lián)有利于提高小學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)知與理解．

3.4 廣泛拓展——體現(xiàn)概念的核心素養(yǎng)

從國(guó)際數(shù)學(xué)教育發(fā)展趨勢(shì)來看，許多國(guó)家都將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視為課程設(shè)計(jì)的關(guān)鍵因素，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)受制于應(yīng)試教育，教學(xué)中更多的是以基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能為價(jià)值取向，忽略了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)的課堂開始從“以知識(shí)為本”逐漸轉(zhuǎn)向“以人為本”，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也逐漸地蘊(yùn)含于教學(xué)之中．在義務(wù)教育階段已經(jīng)出現(xiàn)了10個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)以及創(chuàng)新意識(shí)，這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都適應(yīng)了時(shí)代對(duì)人才培養(yǎng)的需求[19]．

從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角來理解這3個(gè)概念的教育價(jià)值，除法是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，集中表現(xiàn)為學(xué)生運(yùn)算能力與推理能力．如在學(xué)習(xí)除法時(shí)，看除法，想乘法，是利用兩者之間互為逆運(yùn)算，這個(gè)過程可以表示為，若×=，又因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，所以可以得到=÷，這實(shí)際上是一個(gè)完整的演繹推理的過程．分?jǐn)?shù)首先是數(shù)，集中表現(xiàn)為數(shù)感．對(duì)于數(shù)感強(qiáng)的學(xué)生，會(huì)有意識(shí)地把分?jǐn)?shù)與整數(shù)、自然數(shù)建立聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)的本質(zhì)．而比則表現(xiàn)為符號(hào)意識(shí)，可以利用數(shù)學(xué)符號(hào)的一般性來表示比的等價(jià)類，尤其是由此衍生而成的正比例與反比例，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)蘊(yùn)含著符號(hào)意識(shí)．因此，在學(xué)習(xí)除法、分?jǐn)?shù)與比等內(nèi)容時(shí)，很容易聯(lián)系相關(guān)的核心素養(yǎng)，除法的學(xué)習(xí)過程有利于形成學(xué)生的運(yùn)算能力與推理能力，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)過程有利于形成學(xué)生的數(shù)感與幾何直觀，比的學(xué)習(xí)過程有利于形成學(xué)生的符號(hào)意識(shí)．

[1] 馬云鵬．關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個(gè)問題[J]．課程·教材·教法，2015，35（9）：36–39．

[2] 弗賴登塔爾．作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]．陳昌平，譯．上海：上海教育出版社，1995：185．

[3] 史寧中．?dāng)?shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育[M]．長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2007：227．

[4] 史寧中．基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[J]．北京：高等教育出版社，2013：13–16．

[5] 張奠宙．小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M]．北京：高等教育出版社，2009：78．

[6] 吳正憲，劉勁苓，劉克臣．小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀[M]．北京：教育科學(xué)出版社，2014：161．

[7] 戶江，楊剛．義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)六年級(jí)（上冊(cè)）[M]．北京：人民教育出版社，2014：1．

[8] 孫麗谷，王林．義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)六年級(jí)（上冊(cè)）[M]．南京：江蘇教育出版社，2014：1．

[9] 劉堅(jiān)，孔企平，張丹．義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)六年級(jí)（上冊(cè)）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2014：1．

[10] 張?zhí)煨ⅲx務(wù)教育小學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)六年級(jí)（上冊(cè)）[M]．杭州：浙江教育出版社，2010：1．

[11] 王永．比是什么——臺(tái)灣地區(qū)關(guān)于“比”的教材改革的啟示[J]．小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2009（6）：32–33．

[12] 史寧中．基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M]．北京：高等教育出版社，2013：3–7．

[13] 蒲淑萍．“中國(guó)美國(guó)新加坡”小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“分?jǐn)?shù)定義”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（4）：21–24．

[14] 章敏．關(guān)于分?jǐn)?shù)教學(xué)的思考[J]．課程·教材·教法，2015，35（3）：63–67．

[15] ?BEHR M J, WACHSMUTH I, POST T R. Order and equivalence of rational numbers: A clinical teaching experiment [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1984, 15 (11): 323–341.

[16] 史寧中，娜仁格日樂．小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的比及其教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（2）：1–5．

[17] 朱立明，馬云鵬．基于新課標(biāo)的數(shù)學(xué)價(jià)值感悟研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（5）：33–35，55．

[18] 王躍紅．“數(shù)”的知識(shí)建構(gòu)特點(diǎn)與課程教學(xué)建議[J]．課程·教材·教法，2008，28（8）：45–48．

[19] 朱立明．基于深化課程改革的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系構(gòu)建[J]．中國(guó)教育學(xué)刊，2016（5）：76–80．

A Comparison and Contrast of Division, Fraction, and Ratio in Elementary School Mathematics

ZHU Li-ming1, MA Yun-peng2

(1. Faculty of Education, Tangshan Normal University, Hebei Tangshan 063000, China; 2. School of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

It is very easy to confuse the concepts of division, fraction, and ratio in primary school mathematics. Not only are there different relationships among these concepts, but they also exhibit different features. Whether students understand mathematical concepts and their relations is important to deep learning and directly influences the development of students’ thinking and cognition. Division means an operation between two numbers, and the result of this operation is a fraction when two numbers cannot be divided. The essence of a fraction is a number, or a ratio, which means a symbolic relationship between a part and whole. The essence of ratio is a relationship between two groups of numbers. Division can be used to compute the problems of ratios and the specific value can be a fraction.

division; fraction; ratio; deep learning

G632.4

A

1004–9894（2020）05–0032–04

朱立明，馬云鵬．小學(xué)數(shù)學(xué)中“除法”“分?jǐn)?shù)”與“比”的辨析與思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（5）：32-35．

2020–03–26

河北省高等學(xué)校人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)新手型教師關(guān)鍵能力生成機(jī)制的跟蹤研究（SZ18058）；河北省教育廳人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目——河北省小學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)測(cè)評(píng)模型構(gòu)建與應(yīng)用研究（SD182012）

朱立明（1986—），男，河北承德人，講師，博士，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]