陳 行,文 雯

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

0 引言

A0+A1x+…+Anxn.

重量枚舉器中有A0=1，并且將序列(1,A1,A2,…,An)稱為線性碼C的重量分布.如果|{1≤i≤nAi≠0}|=t，就將線性碼C稱為t重碼.

良好的代數(shù)結(jié)構(gòu)是線性碼的優(yōu)點(diǎn)之一，所以它也是編碼理論研究的熱點(diǎn)之一.在研究線性碼時(shí)，重點(diǎn)研究線性碼的最小重量，因?yàn)樽钚≈亓坎坏梢杂脕碛?jì)算信息在信道中傳輸時(shí)發(fā)生干擾的概率，還可以用來評價(jià)線性碼的糾錯(cuò)能力.最小重量較低的線性碼常常應(yīng)用在結(jié)合方案[1]、認(rèn)證碼[2-3]、組合設(shè)計(jì)[4]和秘密共享方案[5]等領(lǐng)域.然而，線性碼的重量分布很難被求出，僅僅有少數(shù)特殊的線性碼的重量分布可以被完全求出.

文獻(xiàn)[6]介紹了線性碼的一般構(gòu)造方式，設(shè)定義集為D={d1,d2,…,dn}?Fq，那么線性碼可以由定義集構(gòu)造出：

CD={(tr(xd1),tr(xd2),…,tr(xdn))x∈Fq}.

其中tr(α)=α+αp+…+αpm-1(?α∈Fq)為從Fq到Fp的跡函數(shù).研究[7]發(fā)現(xiàn)，只要通過選取合適的定義集，便可以使用上述構(gòu)造線性碼的方法得到最小重量較低的線性碼.

筆者在p|m的情況下，選取定義集為D={x∈Fqtr(x)=0,tr(x2)∈Sq}，由此構(gòu)造出線性碼CD={(tr(ax))x∈Da∈Fq}，其中p為奇素?cái)?shù)，m>2.

1 預(yù)備知識

1.1 加法特征

定理1[11]Fq上的加法特征滿足正交性：

1.2 乘法特征

Fq上的乘法特征為：

1.3 高斯和

2 線性碼CD的重量分布

設(shè)T=|{x∈Fqtr(x)=0,tr(x2)=b2,tr(ax)=0}|,b∈Fq.對任意的a∈Fq，碼字c(a)的重量為：

注：

1)n代表碼字的長度;

定理2[8]符號定義如上，定義N(μ,v)={x∈Fqtr(x2)=μ,tr(x)=v,μ,v∈Fp}，則有：

1)當(dāng)μ=0，v=0時(shí),有

2)當(dāng)μ=0，v≠0時(shí)，有

3)當(dāng)μ≠0，v≠0時(shí)，有

4)當(dāng)μ≠0，v=0，時(shí)，有

由4)，可以求出碼字的長度n.當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，n1=n=[(p-1)pm-2-p-1(p-1)Gm]/2；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，n2=n=(p-1)pm-2/2.

因此，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，有：

當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，有：

已知有：

其中Ω1，Ω2，Ω3，Ω4分別如下：

定理4[11]符號定義如上，若f(x)=a2x2+a1x+a0∈Fq[x]，a0≠0，則有

定理5 符號定義如上，如下成立:

1)當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),

2)當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),

Ω3=Gm.

證明由定理4，有

由定理3，結(jié)論成立.

定理6 符號定義如上，則有如下:

1)當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),

2)當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),

證明由定理4，有如下式子成立:

當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，由定理3得

當(dāng)tr(a2)=0時(shí)，

當(dāng)tr(a2)≠0時(shí)，

綜上，有

當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，由定理3得

當(dāng)tr(a2)=0時(shí)，

當(dāng)tr(a2)≠0時(shí)，

綜上，有

定理7 符號定義如上，有如下成立:

證明這里只給出m為偶數(shù)時(shí)，a=0時(shí)的重量的算法，其他情況類似.

a=0時(shí),

定理8 符號定義如上，則線性碼的重量分布如表1、2所示.

表1 m為偶數(shù)時(shí)，線性碼重量分布

表2 m為奇數(shù)時(shí)，線性碼重量分布

證明定理8給出了線性碼所有的重量，定理2給出了每種重量的碼字的個(gè)數(shù).

3 結(jié)論

筆者選取了特定的定義集，得到了四重的線性碼.該線性碼有更小的重量，適用于構(gòu)建身份驗(yàn)證代碼，線性碼特殊的重量分布可以解決一些特定攻擊成功的概率.

致謝:感謝論文參與者對文章的貢獻(xiàn)！