趙佳耀， 黃 丹， 徐業(yè)鵬， 王 磊

(河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，南京 211100)

1 引 言

目前，我國(guó)已建或在建的大型水利工程大多處于地震多發(fā)區(qū)[1]，面對(duì)地震的強(qiáng)破壞性和不可預(yù)知性，結(jié)構(gòu)物極易受到損傷破壞并導(dǎo)致水災(zāi)、滑坡和海嘯等災(zāi)害發(fā)生。因而針對(duì)水工建筑物系統(tǒng)開(kāi)展抗震分析非常重要，廣受力學(xué)和相關(guān)工程領(lǐng)域關(guān)注。

在水工建筑中，水體由于地震而產(chǎn)生的動(dòng)水壓力會(huì)顯著影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，不可忽視。20世紀(jì)30年代，Westergaard[2]針對(duì)水工建筑物中最典型的壩體所受的動(dòng)水壓力開(kāi)展研究，并在假設(shè)壩體和地基均為剛性的條件下，提出了垂直壩面動(dòng)水壓力模型。隨后，眾多學(xué)者對(duì)壩面動(dòng)水壓力問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。如Zhou等[3]通過(guò)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)研究了地震引起動(dòng)水壓力的發(fā)展過(guò)程；王忠陽(yáng)[4]首次采用等效替代方式模擬地震引發(fā)的庫(kù)水作用，通過(guò)某閘墩模型研究該方法的作用機(jī)理，并驗(yàn)證了試驗(yàn)方法的可行性與適用性；王銘明等[5,6]通過(guò)振動(dòng)臺(tái)上壩體-庫(kù)水系統(tǒng)動(dòng)力模型試驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比，表明附加質(zhì)量法夸大了庫(kù)水對(duì)壩體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。

隨著數(shù)值方法研究的深入和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，基于數(shù)值模擬開(kāi)展動(dòng)水壓力和流固耦合計(jì)算成為另一個(gè)重要的途徑。如陳懷海等[7]基于級(jí)數(shù)展開(kāi)和線性疊加原理，提出了求解壩面動(dòng)水壓力的計(jì)算方法；Maity等[8]通過(guò)有限元離散迭代實(shí)現(xiàn)流固界面的相互作用。Zeinizadeh等[9]提出在開(kāi)口收縮縫中應(yīng)用動(dòng)水壓力的算法來(lái)研究收縮縫水壓力對(duì)拱壩的影響。針對(duì)工程結(jié)構(gòu)的流固耦合問(wèn)題，文獻(xiàn)[10，11]對(duì)流體-結(jié)構(gòu)-地基相互作用問(wèn)題開(kāi)展數(shù)值分析；熊春寶等[12]對(duì)地基中的熱-水-力耦合問(wèn)題進(jìn)行了研究；Fu等[13]考慮了混凝土面板堆石壩-庫(kù)水的耦合效應(yīng)；申躍奎等[14]則基于有限體積法對(duì)結(jié)構(gòu)表面流固耦合問(wèn)題進(jìn)行了研究。針對(duì)壩面動(dòng)水壓力，邱流潮等[15]分析了地震作用下，拱壩上游壩面動(dòng)水壓力的影響因素；杜修力等[16,17]提出了一種計(jì)算直立壩面上地震動(dòng)水壓力的時(shí)域公式，并研究了動(dòng)水壓力對(duì)壩體地震反應(yīng)的影響。此外，文獻(xiàn)[18-21]基于比例邊界有限元法開(kāi)展了壩面動(dòng)水壓力求解和模擬研究。

在已有研究基礎(chǔ)上，本文通過(guò)結(jié)合動(dòng)水壓力和罰函數(shù)耦合算法，在不增加自由度的條件下降低網(wǎng)格精度的要求以提高求解速度，構(gòu)建分析地震作用下庫(kù)水-壩體-地基系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的數(shù)值模型和方法，經(jīng)過(guò)模型驗(yàn)證后，應(yīng)用于某重力壩系統(tǒng)動(dòng)力分析。該模型可全面考慮壩體和地基的彈塑性、壩體-地基間相互作用以及地震動(dòng)激勵(lì)下的非線性動(dòng)力響應(yīng)。

2 模型和方法

2.1 力學(xué)模型

將庫(kù)水受地震作用引起的動(dòng)力響應(yīng)轉(zhuǎn)化為動(dòng)水壓力施加于壩體。構(gòu)建庫(kù)水-壩體-地基耦合系統(tǒng)的簡(jiǎn)化力學(xué)模型如圖1所示。

設(shè)地震作用下結(jié)構(gòu)受到的動(dòng)水壓力P滿足波動(dòng)方程：

(1)

式中c為水中聲速，2為拉普拉斯算子。

邊界條件為

S1： 流固耦合面

(2)

S2： 底面

(3)

S3： 無(wú)限遠(yuǎn)處，采用無(wú)反射邊界

(4)

S4： 自由表面處，無(wú)壓力作用

P=0

(5)

2.2 流固耦合界面處理

為分析地震作用下庫(kù)水-壩體-地基系統(tǒng)的整體動(dòng)力響應(yīng)，在耦合界面處遵循幾何相容條件以及力平衡條件：

vf=vs=?u/?t|χ，F(xiàn)f+Fs=0

(6，7)

式中vf和vs為耦合界面水流速度和固體材料速度；Ff和Fs為流體和固體結(jié)構(gòu)作用在耦合界面的力。

在數(shù)值模型中引入罰函數(shù)算法處理流固耦合界面，如圖2所示。界面間作用力為

(8)

圖1 庫(kù)水-壩-地基力學(xué)模型

式中Z為穿透量，ξ為阻尼系數(shù)。

引入罰函數(shù)算法可在不增加自由度的條件下，與利用顯式積分求解含有慣性項(xiàng)接觸問(wèn)題時(shí)的控制方程協(xié)調(diào)。結(jié)合動(dòng)水壓力模型和罰函數(shù)耦合算法，可加快計(jì)算收斂，在保證計(jì)算精度的前提下提高計(jì)算效率。

對(duì)結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行離散，考慮耦合效應(yīng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(9)

同時(shí)，在邊界上滿足：

(10)

式中

(11)

(12)

(13)

(14)

式中S為變換矩陣，將壓力轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)力作用在耦合面上，Re表示計(jì)算域。

結(jié)構(gòu)物受地震作用時(shí)，阻尼的取值影響到結(jié)構(gòu)物的地震動(dòng)力響應(yīng)，在分析中，采用Rayleigh 阻尼，其表達(dá)式為

C=α·M+β·K

(15)

對(duì)于Rayleigh阻尼，其與臨界阻尼的比值為

(16)

通過(guò)計(jì)算結(jié)構(gòu)物前2階自振頻率ω1和ω2及阻尼比ξ得到待定系數(shù)α和β。

2.3 模型驗(yàn)證

以文獻(xiàn)[22,23]的庫(kù)-水模型試驗(yàn)為原型，驗(yàn)證本文計(jì)算模型和方法的可行性。模型如圖1所示，長(zhǎng)L1=15 m，H=180 m的矩形壩體，右側(cè)水體L2=900 m，此時(shí)右側(cè)邊界可近似為無(wú)反射邊界，網(wǎng)格共計(jì)164700個(gè)，網(wǎng)格尺寸大小為1 m。

圖2 耦合方法

與文獻(xiàn)工況一致，地震水平加速度時(shí)程曲線采用EI-Centro波，地震波峰值加速度為0.2784g[22,23]，地震加速度從模型底部輸入，壩基為固定端。時(shí)間步長(zhǎng)取值遵循courant=cΔt/Δx≤1，其中Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，Δx為最小網(wǎng)格尺寸。

3 算例分析

以某混凝土重力壩結(jié)構(gòu)為例，應(yīng)用本文模型和方法分析其地震響應(yīng)。壩高為100 m，壩頂長(zhǎng)度為909.26 m?；鶐r以河湖沼澤相砂巖、泥巖以及含煤底層為主。本文主要研究結(jié)合動(dòng)水壓力模型與罰函數(shù)流固耦合算法分析庫(kù)水-壩體-地基系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，簡(jiǎn)化地基中的軟弱夾層和陡傾破碎帶，整體分析模型如圖5所示。模型邊界從半無(wú)限域土體中選取有限域土體作為計(jì)算區(qū)域，為消除地震作用下邊界反射對(duì)結(jié)構(gòu)物的影響，對(duì)模型底部和兩側(cè)設(shè)置粘彈性人工邊界[24]。壩體及地基材料采用

圖3 位移結(jié)果對(duì)比

圖4 動(dòng)水壓力結(jié)果對(duì)比

Drucker-Prager準(zhǔn)則描述，材料參數(shù)列入表1。

為驗(yàn)證本文方法對(duì)于各類結(jié)構(gòu)的普適性，同時(shí)為便于與理論解、試驗(yàn)和工程實(shí)測(cè)值對(duì)比，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行無(wú)量綱化處理。

對(duì)壩高與壓力作無(wú)量綱化處理，y為高程，h為水深。圖6為計(jì)算所得壩面處動(dòng)水壓力沿高程方向與Westergaard解析解[2,6]的對(duì)比。可以看出，壩面動(dòng)水壓力分布情況與Westergaard解析解[2,6]吻合很好，且符合實(shí)際規(guī)律，表明本方法模擬動(dòng)水壓力問(wèn)題的可行性和高精度。

為分析地震作用下動(dòng)水壓力與庫(kù)水自振頻率的關(guān)系，對(duì)壩踵處動(dòng)水壓力進(jìn)行傅里葉變換，對(duì)頻率與壓力作無(wú)量綱化處理。圖7結(jié)果表明，在自振頻率附近，壩體受動(dòng)水壓力影響較大，尤其在一階自振頻率處，壩面上動(dòng)水壓力出現(xiàn)峰值，其后動(dòng)水壓力迅速減小，規(guī)律與文獻(xiàn)[6，19]的結(jié)果一致，再次表明本文結(jié)合動(dòng)水壓力模型和罰函數(shù)耦合算法模擬壩體結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)是可行的。

表1 材料參數(shù)

圖5 庫(kù)水-壩體-地基數(shù)值模型

圖6 壩面動(dòng)水壓力分布

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法對(duì)實(shí)際庫(kù)水-壩體-地基系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的適用性，結(jié)合新豐江水庫(kù)實(shí)測(cè)地震數(shù)據(jù)[25]，對(duì)壩體系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析。

壩體地震加速度沿壩高的分布如圖8所示。其中實(shí)測(cè)值為1967年壩基東西向地震記錄，試驗(yàn)?zāi)Ｐ捅葹?∶200[25]。本文模擬結(jié)果與大壩實(shí)測(cè)值和模型試驗(yàn)值均吻合較好，在壩踵處模擬結(jié)果相對(duì)試驗(yàn)值更接近實(shí)測(cè)值，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文模型的可行性和模擬精度。其中，壩體頂部和壩踵處的加速度時(shí)程曲線如圖9所示，在地震作用下，壩體頂部水平加速度相對(duì)壩踵處放大約7倍，與文獻(xiàn)[25]實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合?？梢?jiàn)，本文方法能適用于庫(kù)-水相互作用下壩體系統(tǒng)抗震動(dòng)力響應(yīng)，且采用罰函數(shù)描述流固耦合界面，計(jì)算效率較高。

為對(duì)比靜水壓力和考慮流固耦合動(dòng)水壓力作用下系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，取壩頂處的順河向位移時(shí)程曲線如圖10(a)所示。在不考慮庫(kù)水動(dòng)態(tài)作用時(shí)，位移響應(yīng)峰值為0.0301 m，與考慮動(dòng)水壓力和耦合情況下的位移峰值0.0539 m相差79%。圖10(b)對(duì)比了分別采用庫(kù)水-壩體模型與考慮地基影響下的庫(kù)水-壩體-地基模型時(shí)壩頂位移的時(shí)程曲線?？梢钥闯?，考慮地基時(shí)振動(dòng)規(guī)律與庫(kù)水-壩體模型一致，但幅值變化較大。對(duì)比表明，在地震荷載作用下進(jìn)行壩體動(dòng)力分析時(shí)，模型考慮動(dòng)水壓

圖7 壩踵處動(dòng)水壓力頻響曲線

圖8 最大加速度分布

力與流固耦合以及考慮地基對(duì)庫(kù)水-壩體系統(tǒng)的影響是必要的。

圖9 壩體加速度時(shí)程曲線

圖10 壩頂位移時(shí)程曲線比較

4 結(jié) 論

本文結(jié)合動(dòng)水壓力模型和罰函數(shù)耦合算法，考慮地基和壩體結(jié)構(gòu)的接觸以及邊界效應(yīng)，構(gòu)建了動(dòng)水壓力和流固耦合作用下的庫(kù)水-壩體-地基地震響應(yīng)分析模型與方法。結(jié)論如下。

(1) 結(jié)合動(dòng)水壓力模型與罰函數(shù)耦合算法可以有效地模擬流體-結(jié)構(gòu)間相互作用，得到的動(dòng)水壓力作用和動(dòng)位移與試驗(yàn)結(jié)果及解析解吻合較好。同時(shí)，采用該模型在不增加自由度的同時(shí)降低了網(wǎng)格精度要求，加快收斂，可提高計(jì)算效率。

(2) 構(gòu)建的計(jì)算模型可在時(shí)域求解庫(kù)水-壩體-地基系統(tǒng)的地震響應(yīng)，壩面動(dòng)水壓力和壩踵動(dòng)水壓力頻響曲線規(guī)律均與文獻(xiàn)及實(shí)測(cè)結(jié)果一致，表明本文模型適用于分析地震作用下的庫(kù)水-壩體-地基系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)。

(3) 在進(jìn)行流固耦合作用下的水工結(jié)構(gòu)等地震分析時(shí)，考慮動(dòng)水壓力與流固耦合以及地基對(duì)庫(kù)水-壩體系統(tǒng)的影響是必要的，本文在流體-結(jié)構(gòu)-基礎(chǔ)系統(tǒng)的地震動(dòng)力分析方面的思路和措施可供參考。