邱書恒，張 杰，孫賢備，張 馳，康 鵬

(1.中國科學(xué)院寧波材料技術(shù)與工程研究所，寧波 315201；2.寧波菲仕運(yùn)動(dòng)控制技術(shù)股份有限公司，寧波 315803)

0 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的不斷發(fā)展，能源需求也日益增長?，F(xiàn)階段，人類所使用的能量主要來自于化石能源，據(jù)統(tǒng)計(jì)，截至2016年底，全球最終總能耗的79.5%來自煤、石油、天然氣等化石燃料[1]?；剂显谄淙紵褪褂眠^程中暴露出一系列問題，譬如資源短缺、溫室效應(yīng)、環(huán)境污染和地質(zhì)生態(tài)破壞等[2-4]。開發(fā)和利用新型可再生能源成為破解上述矛盾的關(guān)鍵。海洋覆蓋了地球 71%的表面，其中蘊(yùn)藏著無窮無盡的能量。波浪捕能技術(shù)旨在將海洋波浪所蘊(yùn)含的動(dòng)能或勢能轉(zhuǎn)換為電能加以利用。前人總結(jié)出了多種不同的波浪能提取途徑[5]，目前為止，相關(guān)的專利與新技術(shù)已有數(shù)千個(gè)。但總體來說，運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換的途徑不外乎兩種：其一是將直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)發(fā)電機(jī)發(fā)電；其二是采用直線發(fā)電機(jī)，直接利用波浪能的直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)。

在波浪能的開發(fā)與利用中，英國愛丁堡大學(xué)的Neil Hodgins等采用了一種U形無鐵心永磁直線發(fā)電機(jī),次級運(yùn)動(dòng)速度為1.5 m/s時(shí)，線電壓峰值為279 V，平均輸出功率10.4 kW，效率約70%[6]。Rieghard Vermaak等提出了一種無鐵心直線發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)，將U形次級進(jìn)行圓周布置，其磁路呈圓環(huán)形，相較傳統(tǒng)電機(jī)，該結(jié)構(gòu)可以減重16%，有效提高了材料的利用率[7]。但隨之而來的問題是，該結(jié)構(gòu)復(fù)雜度較高，對加工和裝配的要求也較大提高。

本文針對雙邊開口長次級U形無鐵心永磁直線發(fā)電機(jī)(以下簡稱UCL-PMLG)進(jìn)行研究，其結(jié)構(gòu)如圖1所示，電機(jī)次級截面如字母“U”，U形鐵心內(nèi)側(cè)表貼兩列面對面布置的磁鋼，每塊磁鋼與對面相鄰的磁鋼充磁方向相同，與相鄰的磁鋼充磁方向相反。在此前，這類無鐵心結(jié)構(gòu)的直線電機(jī)由于其高控制精度的優(yōu)點(diǎn)往往被用于精密直線驅(qū)動(dòng)場合，如加工車床、紡織車床等[8-9]。而將無鐵心結(jié)構(gòu)的直線電機(jī)應(yīng)用于波浪能發(fā)電場合時(shí)，也有不少優(yōu)點(diǎn)：1)當(dāng)無鐵心初級作為動(dòng)子時(shí)，其慣性較小，使得電機(jī)可以具有更高的加速度和減速度；2)電機(jī)次級中沒有導(dǎo)磁材料，也不會(huì)存在由于齒槽配合帶來的齒槽力和縱向邊端效應(yīng)帶來的定位力，可以降低起動(dòng)推力，但存在低速特性較差、漏磁、效率低、裝配困難等缺點(diǎn)。本文針對無鐵心永磁電機(jī)開展了物理建模、有限元分析和實(shí)驗(yàn)研究，提出了一種更為簡化的物理模型，并推導(dǎo)了一種變速運(yùn)動(dòng)下快速求解波形的映射變換方法，最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了建模分析的準(zhǔn)確性。

1 發(fā)電機(jī)物理模型

為了建立直線發(fā)電機(jī)的磁場理論分析模型，需要做出如下假設(shè)：

1)忽略z軸方向的磁場變化及縱向端部效應(yīng)，因此各電流方向僅存在z向；

2)假設(shè)磁鋼永磁體被均勻磁化，磁體內(nèi)的各點(diǎn)磁勢大小及方向都相同；

3)假設(shè)發(fā)電機(jī)各部分在縱向(x方向)無限長，永磁體橫向(y方向)磁化；

4)磁鋼磁導(dǎo)率、初級繞組與氣隙磁導(dǎo)率均等于空氣磁導(dǎo)率，且各個(gè)方向均勻同性，即μm=μCu=μag=μ0；

5)除繞組外，其他部件的電導(dǎo)率為0；

6)鐵磁材料未飽和，即假設(shè)背鐵磁導(dǎo)率無窮大，μi=∞，且各向均勻同性。

基于以上假設(shè)，可以將無鐵心永磁直線發(fā)電機(jī)的物理模型簡化在一對極內(nèi)，如圖2所示。

圖2 U形無鐵心永磁直線發(fā)電機(jī)簡化模型

1.1 次級永磁體等效電流密度

根據(jù)永磁體的排布方式，可認(rèn)為其等效磁勢呈方波分布，其傅里葉級數(shù)形式如下[10]:

(1)

而永磁體等效電流密度可以用式(2)求得[11]:

(2)

式中：

(3)

式中：Br為永磁體剩磁；M0為永磁體磁化強(qiáng)度；lm為永磁體長度；μ0為空氣磁導(dǎo)率。

1.2 永磁體單獨(dú)作用下磁場解析

當(dāng)永磁體單獨(dú)作用時(shí)，可將求解區(qū)域劃分為三個(gè)分層，分別為繞組區(qū)域、磁鋼區(qū)域和背鐵區(qū)域，如表3所示。

由于假設(shè)電機(jī)除了繞組外其他部分電導(dǎo)率為0，且磁場強(qiáng)度H和磁通密度B之間存在本構(gòu)關(guān)系B=μH，那么根據(jù)麥克斯韋方程組的微分形式可知，磁場的矢量磁位方程可通過式(4)表示[12]：

×H=×(×A)=J

(4)

那么在圖 3的Ⅰ′,Ⅰ,Ⅲ區(qū)域無電流密度，應(yīng)滿足式(5):

圖3 永磁體勵(lì)磁磁場分析分層線性模型

(5)

而Ⅱ區(qū)域?yàn)橛械刃щ娏髅芏葏^(qū)域，應(yīng)滿足式(6)：

(6)

當(dāng)y=-時(shí)，有AⅠ′=0；在區(qū)域Ⅰ下方邊界上，即當(dāng)y=-h1時(shí)，應(yīng)滿足關(guān)系A(chǔ)Ⅰ′=AⅠ和在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ交界處，即當(dāng)y=0時(shí)，應(yīng)滿足關(guān)系A(chǔ)Ⅰ=AⅡ和在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ交界處，即當(dāng)y=a1時(shí)，應(yīng)滿足AⅡ=AⅢ和區(qū)域Ⅲ的上邊界為鏡像線，那么當(dāng)y=h2時(shí)，應(yīng)滿足Neumann邊界條件，即將這些邊界條件代入偏微分方程的通解后，可聯(lián)立得一組線性方程組，求解該線性方程組可求得各區(qū)矢量磁位如下式：

(7)

(8)

(9)

引入Tn,n=1～5，來簡化公式，Tn的表達(dá)式如下：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

在求矢量磁位后，可根據(jù)泊松方程可推導(dǎo)出不同位置的磁密方程[10]：

(15)

式中：i=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ；Bix為磁密x分量；Biy為磁密y分量；Bi為磁密絕對值。

1.3 空載電動(dòng)勢方程

與繞組交鏈的磁通可以通過對y向磁密進(jìn)行面積分求得：

(16)

式中:N為繞組匝數(shù)；hm為磁鋼z向高度。為簡化公式，引入T=T1T5。

當(dāng)初級以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，繞組交鏈的時(shí)變磁通方程可以用式(17)表示，而空載電動(dòng)勢是時(shí)變磁通對時(shí)間的偏導(dǎo)，化簡后如式(18)所示。

Ψ(t)=kWΨ0sin(2πvt)

(17)

(18)

式中：kW為繞組系數(shù)；fe為電機(jī)電頻率。

2 發(fā)電機(jī)亞正弦運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的特性調(diào)整

當(dāng)初級以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其繞組交鏈的磁通量也按正弦規(guī)律變化。不難發(fā)現(xiàn)，磁通變化的頻率，也就是電機(jī)的電周期，即一相軸線N或S極軸線重合時(shí)起，運(yùn)動(dòng)到下一個(gè)N或S極軸線為止所需要的時(shí)間，可以用下式表示。

而電機(jī)的電頻率即：

(19)

因此，當(dāng)初級做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，發(fā)電機(jī)端電壓：

(20)

式中：i=1,2,3,分別表示U，V，W三相；ΨP為電樞繞組和永磁體共同作用下的合成磁通。

此時(shí)，三相直線發(fā)電機(jī)端電壓與三相旋轉(zhuǎn)發(fā)電機(jī)端電壓無異，為三相相位相差120°的定頻定幅正弦波，如圖4所示。

圖4 勻速運(yùn)動(dòng)下直線電機(jī)端電壓波形

而當(dāng)發(fā)電機(jī)初級處于變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)端電壓的幅值和頻率都是時(shí)變的，改寫式(20)可得亞正弦狀態(tài)下的電壓方程：

(21)

而通過數(shù)值解法求得結(jié)果為在時(shí)間上離散化的一組矢量，而無法利用解析式表達(dá)；而直接在數(shù)值解法中引入時(shí)變的速度v(t)又會(huì)大大降低求解效率。那么尋找一種從勻速運(yùn)動(dòng)到亞正弦運(yùn)動(dòng)的映射關(guān)系，如圖5所示，可以較好地解決這個(gè)問題。

(a)y軸映射關(guān)系

(22)

即：

(23)

(24)

即:

(25)

通過上述映射關(guān)系，可以使得在求解模型時(shí)只計(jì)算一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)周期的結(jié)果就可以推廣到整個(gè)變速過程中去，并且無論變速運(yùn)動(dòng)的形式如何，都可進(jìn)行推廣，因此，可以大大減少模型求解所耗費(fèi)的時(shí)間。

3 發(fā)電機(jī)有限元模型簡化及仿真

有限元方法是一種求解微分方程數(shù)值解的數(shù)值技術(shù)，被廣泛利用于求解Maxwell方程組，在電機(jī)電磁場分析領(lǐng)域常用的商業(yè)軟件有JMAG，Ansys Maxwell，Magnet等。

根據(jù)上文的分析可知，U形無鐵心永磁直線發(fā)電機(jī)可以被簡化為一種最小周期鏡像二維模型，如圖6所示，模型總長僅為一倍極距，滑移面上側(cè)為運(yùn)動(dòng)的初級部分，滑移面下側(cè)為靜止的次級部分，簡化后該模型網(wǎng)格總量僅為732個(gè)即可精確求解出磁場分布。物理模型的尺寸參數(shù)及材料特性在表1中給出。

表1 U形無鐵心永磁直線發(fā)電機(jī)參數(shù)

圖6 最簡模型及邊界條件

模型中的對稱邊界，應(yīng)滿足第二類邊界條件。由于電機(jī)沿對稱邊界上下對稱，所以磁矢勢A在該邊界上下的分布也對稱，而由于A在所有位置都是連續(xù)的，那么A在對稱邊界上x方向的偏導(dǎo)為0。第二類邊界條件描述了在該邊界上，磁場強(qiáng)度H的切向分量和磁通密度B的法向分量保持連續(xù)[14-15]。模型中的周期性邊界屬于反對稱周期邊界，若以模型右側(cè)邊界為源邊界，左側(cè)邊界為目標(biāo)邊界，那么源和目標(biāo)邊界上的場值符號相反[16]。電機(jī)繞組采用疊放方式，學(xué)者馬振琦等人論證了疊放繞組能產(chǎn)生比非疊放繞組更大的電磁推力[17]，而考慮到氣隙內(nèi)空間有限，將繞組分層8組，每組46匝，最后引出線串聯(lián)連接。在本模型中，對繞組簡化為僅建立單邊導(dǎo)線束模型。

首先,對所建立的電機(jī)模型進(jìn)行靜磁場分析，磁密云圖結(jié)果如圖7所示。圖7中也繪出了磁力線，即等磁勢線，可見磁力線垂直對稱邊界穿過。

圖7 U形無鐵心永磁直線發(fā)電機(jī)磁密云圖

取水平線y=14.2,13.2,12.2,11.2,10.2,9.2mm為觀察位置，并繪制磁密y分量曲線與解析計(jì)算值進(jìn)行比較，如圖8所示，其中y=10.2,9.2 mm位置在上文的分析中屬于區(qū)域Ⅱ，其他部分屬于區(qū)域Ⅲ，y=14.2mm位置為氣隙中心位置磁密曲線。

(a)y=14.2 mm

由于模型簡化后寬度僅為一個(gè)極距，繪制的磁密曲線僅有半個(gè)周期，從圖8中可見，各個(gè)位置的磁密沿x軸呈現(xiàn)奇函數(shù)分布，復(fù)合解析公式結(jié)果，同時(shí)解析解法求得的結(jié)果在接近氣隙中心時(shí)略小于有限元結(jié)果，而在接近磁鋼處略大于有限元結(jié)果，這是由于在進(jìn)行解析求解時(shí)，僅計(jì)算了基波、3次和5次諧波，若僅對比基波幅值，解析結(jié)果比有限元結(jié)果均略小，其差距在5%以內(nèi)。而在氣隙中心線位置，磁密波形更接近正弦波，如圖9所示，y=14.2 mm和13.2 mm時(shí)，高次諧波對計(jì)算結(jié)果較小，因此出現(xiàn)解析結(jié)果峰值比有限元峰值略小的情況。圖8特定位置磁密空間波形結(jié)果與對比如圖8(a)，圖8(b)所示；而隨著求解位置接近磁鋼，由于表貼磁鋼的凸極性，磁密波形更接近方波，如圖9所示，y=12.2 mm和11.2 mm時(shí)，高次諧波對計(jì)算結(jié)果影響增大，這使得磁密波形趨于矮胖，從而使得未計(jì)及高次諧波的解析結(jié)果峰值比有限元結(jié)果略高，如圖8(c)，圖8(d)所示。在分析區(qū)域Ⅱ(磁鋼區(qū)域)內(nèi)的磁場時(shí)，將高次諧波(7次、9次)也考慮進(jìn)去，所以，在圖8(e)，圖8(f)中，解析結(jié)果峰值與有限元結(jié)果更為接近。

圖9 不同位置磁密的諧波分布

當(dāng)初級繞組在磁場中以1 m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，繞組交鏈的磁通開始交變，同時(shí)感應(yīng)出電動(dòng)勢，此時(shí)的開路電動(dòng)勢即為空載電動(dòng)勢，其波形如圖10所示。在該工況，有限元求得發(fā)電機(jī)空載電動(dòng)勢峰值為30.9 V，頻率為 23.81 Hz。解析結(jié)果求得發(fā)電機(jī)空載電動(dòng)勢峰值為34.3 V，頻率為23.81 Hz。

圖10 空載電動(dòng)勢波形

有限元結(jié)果與解析結(jié)果出現(xiàn)較大差距的原因在于，解析法求解時(shí)未考慮高次諧波對波形的影響，若單分析基波幅值，如圖11所示，那么有限元計(jì)算得到的空載電動(dòng)勢與解析結(jié)果十分接近，誤差在5%以內(nèi)。

圖11 空載電動(dòng)勢各次諧波幅值

利用上文所述的變換方法，將U相電壓變換為以2 m/s2加速度加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的波形，并與有限元結(jié)果對比，如圖12所示。通過g映射關(guān)系的變換后，出現(xiàn)變頻波形，再通過f映射變換后出現(xiàn)變幅波形，變換所得結(jié)果與有限元分析結(jié)果十分接近。僅通過有限元分析計(jì)算兩個(gè)周期的電壓波形即可通過坐標(biāo)軸映射變換獲得變速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的多周期波形，較大節(jié)約仿真分析的時(shí)間。

圖12 變速運(yùn)動(dòng)下空載電動(dòng)勢波形變換

4 樣機(jī)實(shí)驗(yàn)與分析

根據(jù)表1給出的參數(shù)，加工了一臺(tái)U形無鐵心永磁直線發(fā)電機(jī)樣機(jī)，并搭建測試平臺(tái)如圖13所示。

圖13 直線發(fā)電機(jī)拖動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

利用高斯計(jì)，測量電機(jī)氣隙內(nèi)不同位置的磁密，如表2所示，括號內(nèi)為計(jì)算值。在加工、裝配、搬運(yùn)、實(shí)驗(yàn)過程中，發(fā)生碰撞導(dǎo)致永磁體輕微退磁會(huì)造成氣隙磁密有所下降，同時(shí)，高斯計(jì)的測量準(zhǔn)確度也較低。從結(jié)果可見，氣隙磁密比計(jì)算值約小10%。

表2 U形無鐵心永磁直線發(fā)電機(jī)氣隙磁密 (單位：T)

電機(jī)空載拖動(dòng)時(shí)，利用示波器記錄U相電壓波形，如圖14所示。此時(shí)，初級運(yùn)動(dòng)的速度為0.45 m/s，其中方波形為磁柵尺測量波形，讀數(shù)磁頭掃過磁柵時(shí)可以輸出方波，方波頻率與速度成正比，其關(guān)系如下：

圖14 0.45 m/s拖動(dòng)時(shí)空載電壓波形

v=2×10-4f

(26)

當(dāng)改變拖動(dòng)速度時(shí)，測量到磁柵尺信號(并換算為速度)、發(fā)電機(jī)空載電動(dòng)勢峰值如表3所示。

表3 發(fā)電機(jī)空載電動(dòng)勢

根據(jù)表3中數(shù)據(jù)可以繪得圖15?？梢姡S著次級運(yùn)動(dòng)速度的增加，發(fā)電機(jī)空載電動(dòng)勢上升趨勢接近線性，與有限元計(jì)算值相差約10%。

圖15 空載電動(dòng)勢實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果對比

5 結(jié) 語

本文首先建立了用于波浪能發(fā)電的U形直線發(fā)電機(jī)的物理模型，并提出了兩種提高仿真模擬效率的方法。利用對稱邊界和周期性邊界，提出了一種發(fā)電機(jī)的二維簡化模型，根據(jù)永磁體排布的周期形，將模型寬度簡化為一個(gè)極距，并利用對稱邊界進(jìn)一步簡化為半個(gè)鏡像模型，引入周期性邊界條件和紐曼邊界條件來描述因簡化模型而帶來的新邊界。通過簡化，減小了求解區(qū)域，對解析方法而言，可以減少聯(lián)立方程組的數(shù)量，而對有限元方法而言，可以減少網(wǎng)格數(shù)量。因此結(jié)合本文的模型，可以節(jié)約計(jì)算資源。最后通過對比解析方法求得的結(jié)果、有限元方法求得的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得出該模型有效，且精度可靠的結(jié)論。同時(shí)，為了解決直線發(fā)電機(jī)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的模式下電機(jī)初級一直處于非勻速狀態(tài)而引起的求解緩慢問題，提出了一種基于坐標(biāo)變換映射的方法，可以通過僅求解一個(gè)穩(wěn)態(tài)周期的波形，并結(jié)合坐標(biāo)系映射，轉(zhuǎn)換到變速運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)上去。本文通過有限元模擬驗(yàn)證了這種方法的準(zhǔn)確性，而這種方法也在一定程度上節(jié)約了計(jì)算資源。