閆慶友， 王雅嫻， 孫藝新

(1.華北電力大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,北京 102206; 2.國(guó)網(wǎng)經(jīng)絡(luò)技術(shù)研究院有限公司,北京 102209; 3.國(guó)網(wǎng)能源研究院有限公司,北京 102209)

0 引言

當(dāng)今世界經(jīng)濟(jì)迅猛發(fā)展，企業(yè)的經(jīng)營(yíng)和融資領(lǐng)域不斷擴(kuò)大，為了提升企業(yè)核心競(jìng)爭(zhēng)力并實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，選擇性地執(zhí)行若干項(xiàng)目成為一種有效的競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制。因此，如何從諸多的項(xiàng)目中選出收益最大的項(xiàng)目組合就顯得至關(guān)重要，該類問(wèn)題稱為項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題(Project Portfolio Selection Problem, PPSP)，即：決策者從一組有限的備選項(xiàng)目中選擇一個(gè)項(xiàng)目組合，該項(xiàng)目組合不但要最大限度的實(shí)現(xiàn)組織目標(biāo)，還要符合相應(yīng)的資源約束限制[1]。1952年，Markowz[2]在金融投資領(lǐng)域中首次提出了投資組合的概念，這是項(xiàng)目組合的雛形。之后，Lorie和Savage[3]于1955年正式提出了項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題，并將之應(yīng)用到了企業(yè)項(xiàng)目管理中。自此，項(xiàng)目組合選擇在多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如：研究與開(kāi)發(fā)項(xiàng)目[4]、風(fēng)險(xiǎn)投資公司[5]、創(chuàng)新型企業(yè)[6]等。

根據(jù)項(xiàng)目是否可以打斷執(zhí)行，現(xiàn)有的項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題可以分為可打斷項(xiàng)目組合選擇和不可打斷項(xiàng)目組合選擇兩類[7]。不可打斷是指：一個(gè)項(xiàng)目一旦開(kāi)始，就必須連續(xù)執(zhí)行直到終止；可打斷是指：項(xiàng)目在執(zhí)行的過(guò)程中，不需要連續(xù)執(zhí)行，而是可以分階段按比例地完成[8]。根據(jù)打斷的不同情況，可打斷項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題可以分為被動(dòng)打斷和主動(dòng)打斷。所謂被動(dòng)打斷是指：項(xiàng)目在實(shí)際執(zhí)行的過(guò)程中，遇到了不可避免的突發(fā)狀況(如：資金鏈斷裂、材料短缺、人才流失等)不得不中斷。所謂主動(dòng)打斷是指：企業(yè)決策者在選擇項(xiàng)目組合時(shí)，就對(duì)可能引起項(xiàng)目打斷的因素進(jìn)行了充分的考慮，因此在執(zhí)行過(guò)程中主動(dòng)安排項(xiàng)目分階段、按比例地執(zhí)行。被動(dòng)打斷常常會(huì)使企業(yè)效益降低[9]，而周密計(jì)劃的主動(dòng)打斷卻會(huì)增加企業(yè)的效益。因此，近年來(lái)，主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題得到了深入的研究。例如：Li等[10]首次提出了主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇理論，并說(shuō)明被動(dòng)打斷會(huì)給企業(yè)帶來(lái)消極影響；李星梅等[11]研究了基于主動(dòng)打斷的雙目標(biāo)項(xiàng)目組合選擇模型；王雅嫻等[12]分析了資源約束和依賴關(guān)系對(duì)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇的影響。本文的研究亦落實(shí)在主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題上。

雖然項(xiàng)目組合選擇研究已經(jīng)有六十多年的歷史，但是目前對(duì)企業(yè)已有舊項(xiàng)目進(jìn)行研究的文獻(xiàn)還很少，大部分研究者只考慮新項(xiàng)目的選擇，而忽略了企業(yè)已有的項(xiàng)目。例如：白思俊等[13]構(gòu)建了針對(duì)新項(xiàng)目的項(xiàng)目組合選擇模型，用于優(yōu)化戰(zhàn)略目標(biāo)，并分析了收益、資源和風(fēng)險(xiǎn)的相互影響關(guān)系；Carazo等[14]研究了團(tuán)隊(duì)決策情景下的項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題，并沒(méi)有考慮企業(yè)已有舊項(xiàng)目；Mohagheghi等[15]分析了基于不確定環(huán)境的高新技術(shù)項(xiàng)目組合選擇模型，忽略了已有舊項(xiàng)目的影響。然而，Harel等[16]在2005年就將項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題分為動(dòng)態(tài)和靜態(tài)項(xiàng)目組合，Harel等明確指出：動(dòng)態(tài)項(xiàng)目組合選擇既考慮新的備選項(xiàng)目，又考慮企業(yè)已有的舊項(xiàng)目；而靜態(tài)項(xiàng)目組合選擇只考慮新的備選項(xiàng)目。直到近幾年，動(dòng)態(tài)項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題才開(kāi)始得到重視。Huang等[17,18]在其發(fā)表的兩篇文章中對(duì)動(dòng)態(tài)項(xiàng)目組合選擇進(jìn)行了專門研究：一篇[17]針對(duì)動(dòng)態(tài)項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題的復(fù)雜性，提出了一種新的二進(jìn)制粒子群算法；另一篇[18]給出了一個(gè)均值方差最優(yōu)的模型并設(shè)計(jì)了一種新的遺傳算法，來(lái)解決跨國(guó)動(dòng)態(tài)項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題。這兩篇文章指出了傳統(tǒng)靜態(tài)項(xiàng)目組合選擇研究的缺陷：只重視新項(xiàng)目的選擇，而忽略了新、舊項(xiàng)目的統(tǒng)籌安排。在項(xiàng)目組合選擇中，如果能對(duì)企業(yè)已有的項(xiàng)目進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整(如：更新、放棄等)，企業(yè)將會(huì)獲得更大的收益。因此，本文將研究考慮企業(yè)已有舊項(xiàng)目的動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題。

敏感性分析又稱靈敏度分析，可以分析模型中不確定性參數(shù)變化情況對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的影響程度，進(jìn)而可以為企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)防范提供依據(jù)[19,20]。在項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題中，已有一些研究人員開(kāi)展了敏感性分析的相關(guān)研究。例如：Hasuike等[21]在考慮投資者主體性的情景下，對(duì)投資領(lǐng)域的項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題做了敏感性分析；Liesi ?等[22]針對(duì)多屬性項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題，進(jìn)行了敏感性分析，得出了項(xiàng)目組合受基準(zhǔn)值影響的敏感程度；李星梅等[23]對(duì)可打斷項(xiàng)目組合選擇模型的參數(shù)進(jìn)行了局部敏感性分析，進(jìn)而得出了各個(gè)參數(shù)的敏感性排序。由上可知，在項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題中進(jìn)行敏感性分析是有其理論意義和實(shí)際價(jià)值的。然而，通過(guò)查閱相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)：尚沒(méi)有學(xué)者針對(duì)考慮企業(yè)已有舊項(xiàng)目的主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題進(jìn)行敏感性分析，關(guān)于這一問(wèn)題的敏感性分析具有創(chuàng)新性。故本文將對(duì)動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇線性模型進(jìn)行局部敏感性分析。

在上述分析的基礎(chǔ)上，本文構(gòu)建了適合敏感性分析的動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇新模型，并對(duì)該模型進(jìn)行了局部敏感性分析。文章結(jié)構(gòu)安排如下：第二節(jié)設(shè)置模型的參數(shù)及變量，介紹動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題的三種情景；第三節(jié)構(gòu)建動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇新模型，對(duì)之進(jìn)行線性化處理；第四節(jié)給出新模型的算例，利用GAMS/BARON求解，并進(jìn)行局部敏感性分析；第五節(jié)對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)，提出需要進(jìn)一步深入研究的問(wèn)題。

1 模型介紹

考慮企業(yè)已有舊項(xiàng)目的動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題涉及多個(gè)階段和多種約束條件，相對(duì)復(fù)雜。為了便于理解，本部分將對(duì)文中涉及的參數(shù)和變量進(jìn)行相關(guān)描述，并介紹動(dòng)態(tài)項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題的三種情景。

1.1 設(shè)置參數(shù)和變量

(1)輸入?yún)?shù)

Φ表示企業(yè)已有舊項(xiàng)目和新項(xiàng)目的集合，假設(shè)n為企業(yè)已有舊項(xiàng)目的數(shù)量，|Φ|-n為新項(xiàng)目的數(shù)量，則項(xiàng)目j∈Φ，j=1,…,n…|Φ|,其中j=1,2,3,…,n表示企業(yè)已有舊項(xiàng)目，j=n+1,n+2,n+3,…|Φ|表示新項(xiàng)目；

T表示企業(yè)已有舊項(xiàng)目更新時(shí)期，為了便于討論，假設(shè)企業(yè)已有舊項(xiàng)目的更新時(shí)間段均為T；

A表示計(jì)劃投資期的集合，則計(jì)劃投資的總期數(shù)可用|A|表示，t∈A,t=1,…,T,…,|A|,其中t表示計(jì)劃投資期內(nèi)的第t時(shí)間段；

ξ表示緊前關(guān)系的集合，即若(i,j)∈ξ，則表示直到項(xiàng)目i結(jié)束后，項(xiàng)目j才可以開(kāi)始；

r表示市場(chǎng)利率；

N表示在整個(gè)計(jì)劃期內(nèi)可供選擇項(xiàng)目的最大數(shù)量；

M表示在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)可供選擇項(xiàng)目的最大數(shù)量；

K(t)表示在t時(shí)間段期初企業(yè)通過(guò)籌資活動(dòng)從外部獲得的可用于項(xiàng)目執(zhí)行的資金，t=1,…,|A|；

bj表示整個(gè)項(xiàng)目j完成后的收益，j=1,…,|Φ|；

hj表示在第1階段開(kāi)始的時(shí)候就放棄企業(yè)已有舊項(xiàng)目j，并將之賣掉所獲得的收益,j=1,…,n；

ejt表示已有舊項(xiàng)目j在t階段進(jìn)行升級(jí)所需的費(fèi)用，j=1,…,n；

sj表示由于主動(dòng)打斷，新項(xiàng)目j每執(zhí)行一部分需要用到的準(zhǔn)備成本，j=n+1,…,|Φ|；

kj表示整個(gè)新項(xiàng)目j執(zhí)行需要投入的資金，j=n+1,…,|Φ|；

αjt表示新項(xiàng)目j在t階段的最小執(zhí)行比例，j=n+1,…,|Φ|；

βjt表示新項(xiàng)目j在t階段的最大執(zhí)行比例，j=n+1,…,|Φ|；

φK表示參數(shù)K(t)的變動(dòng)比例，φK(t)=ΔK(t)/K(t)；

φs表示參數(shù)sj的變動(dòng)比例，φs=Δsj/sj；

φk表示參數(shù)kj的變動(dòng)比例，φk=Δkj/kj；

φh表示參數(shù)hj的變動(dòng)比例，φh=Δhj/hj。

φe表示參數(shù)ej的變動(dòng)比例φe=Δej/ej。

(2)中間變量

Vj表示項(xiàng)目j在計(jì)劃投資期內(nèi)的凈現(xiàn)值收益，，j=1,…,|Φ|；

Cj表示已有舊項(xiàng)目j的機(jī)會(huì)成本，j=1,…,n；

W1表示|Φ|-n個(gè)新項(xiàng)目在計(jì)劃投資期內(nèi)的總凈現(xiàn)值收益；

號(hào)召抵制權(quán)威學(xué)術(shù)期刊的著名科學(xué)家并非Schekman一個(gè)人。 在2012年，著名英國(guó)數(shù)學(xué)家William Timothy Gowers 組織了一場(chǎng)針對(duì)荷蘭Elsevier公司出版的《CELL》的抵制運(yùn)動(dòng)。 反對(duì)出版公司只顧商業(yè)利益而不顧學(xué)術(shù)傳播的做法。

W2表示n個(gè)已有舊項(xiàng)目在計(jì)劃投資期內(nèi)的總凈現(xiàn)值收益。

(3)決策變量

xjt表示介于0和1之間的實(shí)數(shù)，并且滿足xjt∈0∪[αjt,βjt]，xjt=0時(shí)項(xiàng)目j不執(zhí)行，xjt≠0時(shí)項(xiàng)目j執(zhí)行，且其執(zhí)行比例介于αjt和βjt之間，j=1,…,n,…|Φ|。

1.2 問(wèn)題描述

為了最大限度的實(shí)現(xiàn)企業(yè)收益，在進(jìn)行項(xiàng)目組合選擇時(shí)，不但要引進(jìn)新項(xiàng)目，還要考慮企業(yè)已有舊項(xiàng)目是否適應(yīng)當(dāng)下的經(jīng)濟(jì)環(huán)境和市場(chǎng)需求，并對(duì)舊項(xiàng)目進(jìn)行合理的調(diào)整。根據(jù)參數(shù)設(shè)置可知，企業(yè)已有舊項(xiàng)目的數(shù)量為n個(gè)，新項(xiàng)目的數(shù)量為|Φ|-n個(gè)。無(wú)論是已有舊項(xiàng)目還是新項(xiàng)目，假設(shè)在其生命周期結(jié)束時(shí)都沒(méi)有殘值。下面，將分別計(jì)算新項(xiàng)目和已有舊項(xiàng)目在計(jì)劃投資期內(nèi)的凈現(xiàn)值收益。

對(duì)于新項(xiàng)目j(j=n+1,…,|Φ|)而言，考慮主動(dòng)打斷的情況時(shí)，模型中涉及準(zhǔn)備成本sj、投入資金kj以及收益bj，故|Φ|-n個(gè)新項(xiàng)目在計(jì)劃投資期內(nèi)所獲得收益W1為:

(1)

對(duì)已有舊項(xiàng)目j(j=1,…,n)而言，本文假設(shè)其有三種調(diào)整方式，分別為：維持現(xiàn)狀、放棄以及更新。已有舊項(xiàng)目j的初始投資和收益都發(fā)生在計(jì)劃投資期以前，是沉沒(méi)成本，對(duì)當(dāng)下的項(xiàng)目組合選擇不造成影響，不能重復(fù)考慮(注：在計(jì)劃投資期以前就預(yù)留了已有舊項(xiàng)目j的準(zhǔn)備成本，準(zhǔn)備成本也不予考慮)。因此，已有舊項(xiàng)目的機(jī)會(huì)成本Cj(j=1,…,n)為從計(jì)劃投資期期初到已有舊項(xiàng)目j生命周期截止的凈現(xiàn)金值，其表達(dá)式:

(2)

根據(jù)已有舊項(xiàng)目的三種調(diào)整方法，下面將分別給出三種情景下企業(yè)已有舊項(xiàng)目?jī)衄F(xiàn)值Vj(j=1,…,n)對(duì)應(yīng)的求解公式。

情景1已有舊項(xiàng)目維持原狀

此時(shí)zj=1,uj=0,Vj滿足:

(3)

由公式(3)可知，在情景1下，企業(yè)已有舊項(xiàng)目在計(jì)劃投資期內(nèi)的凈現(xiàn)值為0。故可知：當(dāng)已有舊項(xiàng)目維持原狀時(shí)，不會(huì)對(duì)當(dāng)下的項(xiàng)目組合選擇造成任何影響。這也是動(dòng)態(tài)項(xiàng)目組合選擇沒(méi)有得到充分重視的原因。然而，大部分研究者都忽略了對(duì)已有舊項(xiàng)目的其它調(diào)整方式，例如更新和放棄。因此，不考慮企業(yè)已有舊項(xiàng)目的靜態(tài)項(xiàng)目組合選擇不夠全面，也不能獲得最高的投資收益。

情景2放棄已有舊項(xiàng)目

此zj=0時(shí)，這種情況下，通過(guò)出售項(xiàng)目的相關(guān)機(jī)器、生產(chǎn)線以及剩余庫(kù)存，企業(yè)可以獲得相應(yīng)的收益hj，于是可得:

(4)

情景3更新已有舊項(xiàng)目

此時(shí)zj=1,uj=1，假設(shè)在更新時(shí)期1至?xí)r期內(nèi)，項(xiàng)目的凈現(xiàn)值受到更新施工的影響，會(huì)縮減；在T+1至|A|時(shí)期內(nèi)，項(xiàng)目已經(jīng)完成更新，并得到了升級(jí)，其收益會(huì)相應(yīng)增加。令項(xiàng)目j(j=1,…,n)的縮減比例為p，增加比例為q，那么可得:

(5)

綜合三個(gè)情景，由公式(3)～(5)可求得n個(gè)已有舊項(xiàng)目在整個(gè)計(jì)劃投資期內(nèi)的收益總和W2，如下式所示:

(6)

2 主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇新模型

2.1 動(dòng)態(tài)非線性模型

根據(jù)敏感性作用范圍的不同，現(xiàn)有的敏感性分析方法可以分為兩類，即：全局敏感性分析(多因素敏感性分析)和局部敏感性分析(單因素敏感性分析)。本文研究的動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題涉及的參數(shù)和變量較多，全局敏感性分析對(duì)此類問(wèn)題并不適用，可操作性弱。因此本文采用操作性強(qiáng)，易于求解且在實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用的局部敏感性分析。此外，由于各參數(shù)值往往由預(yù)測(cè)得來(lái)，其變動(dòng)的主要原因是環(huán)境的改變和預(yù)測(cè)的誤差，故參數(shù)之間的變動(dòng)相對(duì)獨(dú)立，這也是局部敏感性分析契合實(shí)際的原因。

本文所研究問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為線性非連續(xù)函數(shù)，因此不能選用針對(duì)連續(xù)目標(biāo)函數(shù)的局部敏感性分析方法(如：FAST[24]、DIM[25]等)。而標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)法針對(duì)的是無(wú)模型的數(shù)據(jù)，需要建立多元線性回歸模型，而本文研究對(duì)象就是主動(dòng)打斷項(xiàng)目選擇模型，并不需要建立回歸模型，故標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)回歸法并不適用。

基于上述兩方面的分析，本文將選用局部敏感性分析方法中最為傳統(tǒng)且操作簡(jiǎn)單的敏感性系數(shù)法。參數(shù)的敏感性系數(shù)=∣目標(biāo)函數(shù)值的變動(dòng)百分比/對(duì)應(yīng)參數(shù)的變動(dòng)百分比∣，其中目標(biāo)函數(shù)值的變動(dòng)百分比=|ΔW/W|，W代表目標(biāo)函數(shù)值；參數(shù)的變動(dòng)百分比=|Δx/x|，x代表變動(dòng)的參數(shù)。基于敏感性系數(shù)法，綜合第二節(jié)的問(wèn)題描述，下面將給出適合敏感性分析的動(dòng)態(tài)項(xiàng)目組合選擇新模型。在公式(1)和(6)基礎(chǔ)上，引入t時(shí)間段期初企業(yè)通過(guò)籌資活動(dòng)從外部獲得的可用于項(xiàng)目執(zhí)行的資金K(t)，故可得考慮主動(dòng)打斷的項(xiàng)目組合選擇模型如下:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

αjtyjt≤xjt≤βjtyjt,yjt∈{0,1},j=n+1,…,|Φ|,t=1,…,|A|

(12)

(13)

xt=(x(n+1)t,x(n+2)t,…,x|Φ|t)T∈R|Φ|-n,t=1,… ,|A|

(14)

yt=(y(n+1)t,y(n+2)t,…,y|Φ|t)T∈{0,1}|Φ|-n,t=1,… ,|A|

(15)

zt=(z1,z2,…,z|Φ|)T∈{0,1}n,t=1,… ,|A|

(16)

uj=(u1,u2,…,un)T∈{0,1}n,j=1,…,n

(17)

當(dāng)t=1,…,T時(shí)，L(t)可以通過(guò)下式獲得，即:

將L(t)帶入就可得已有舊項(xiàng)目更新期間的資金約束，即公式(8)。同理，當(dāng)t=T+1,…,|A|時(shí)，可計(jì)算求得每個(gè)時(shí)間段的資金約束為公式(9)。在求解資金約束時(shí)，已有舊項(xiàng)目的機(jī)會(huì)成本并不會(huì)引起資金的消耗，故不需要考慮已有舊項(xiàng)目的機(jī)會(huì)成本。

此外，公式(10)表示第t時(shí)間段內(nèi)執(zhí)行項(xiàng)目數(shù)量的約束；公式(11)表示整個(gè)計(jì)劃投資期內(nèi)執(zhí)行項(xiàng)目的數(shù)量約束；公式(12)表示項(xiàng)目j在t時(shí)間段內(nèi)執(zhí)行比例xjt的范圍約束；公式(13)表示新項(xiàng)目j的完成約束，即新項(xiàng)目一旦被選擇就要在整個(gè)計(jì)劃投資期內(nèi)全部完成；公式(14)表示執(zhí)行比例xjt為實(shí)數(shù)；公式(15)～(17)分別表示yjt、zj、uj為0-1變量。

2.2 動(dòng)態(tài)線性模型

通過(guò)引入變量和線性化的方法，根據(jù)Glover和Woolsey[26]提供的線性轉(zhuǎn)換方法，2.1中的非線性規(guī)劃模型可以轉(zhuǎn)化成下面等價(jià)的混合0-1整數(shù)線性規(guī)劃模型。

(18)

為了顯示動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇線性模型的優(yōu)越性，下面將給出不考慮已有舊項(xiàng)目的靜態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇模型(即原模型)，如下所示。

(22)

公式(22)為資金約束，靜態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇模型不考慮已有項(xiàng)目的更新，資金約束只有一個(gè)。該模型為混合整數(shù)規(guī)劃線性模型，包含(|Φ|-n)·(|A|+1)個(gè)0-1變量，(|Φ|-n)·|A|個(gè)連續(xù)變量，|A|(|Φ|+4-n)+|Φ|+1個(gè)約束條件。

3 算例及敏感性分析

本部分將以一組仿真數(shù)據(jù)為例，利用GAMS/BARON求出動(dòng)態(tài)線性模型和靜態(tài)模型的最優(yōu)解，分別對(duì)動(dòng)態(tài)線性模型中的初始資金K(t)、項(xiàng)目收益bj、新項(xiàng)目的投資kj、新項(xiàng)目的準(zhǔn)備成本sj、舊項(xiàng)目的更新費(fèi)用ejt以及放棄舊項(xiàng)目獲得的收益hj這六個(gè)不確定性參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，并對(duì)各參數(shù)的敏感程度排序，得出相關(guān)結(jié)論。

3.1 算例選取

首先假設(shè)整個(gè)計(jì)劃期共包括|A|=5個(gè)時(shí)間段，可供選擇的項(xiàng)目總數(shù)為|Φ|=10，其中正在執(zhí)行的舊項(xiàng)目n=5個(gè)，備選的新項(xiàng)目5個(gè)。假設(shè)整個(gè)計(jì)劃期內(nèi)執(zhí)行項(xiàng)目的最大數(shù)量N=8，每個(gè)時(shí)間段執(zhí)行項(xiàng)目的最大數(shù)量為M=2，市場(chǎng)利率r=5%，新項(xiàng)目的緊前關(guān)系集合為ξ={(6,9),(7,10)}，已有舊項(xiàng)目更新期收益的縮減比例為p=20%，更新期過(guò)后收益的增加比例為q=50%。各時(shí)間段的初始資金K(t)如表1所示。

表1 各時(shí)間段的初始投資

對(duì)于已有舊項(xiàng)目j=1,…,5，其在計(jì)劃期對(duì)應(yīng)時(shí)間段的執(zhí)行比例如表2所示，舊項(xiàng)目收益bj和放棄舊項(xiàng)目獲得的收益hj如表3所示，舊項(xiàng)目的更新期T=2，其更新費(fèi)用如表4所示。

表2 已有舊項(xiàng)目的執(zhí)行比例

表3 已有舊項(xiàng)目的收益bj和放棄已有舊項(xiàng)目獲得的收益hj(百萬(wàn)元)

表4 已有舊項(xiàng)目的更新費(fèi)用ejt(百萬(wàn)元)

對(duì)于新的備選項(xiàng)目j=6,…,10，其收益bj、投資kj、準(zhǔn)備成本sj以及各階段最小(大)執(zhí)行比例αjt(βjt)如表5所示。

表5 新項(xiàng)目的收益bj、投資kj、準(zhǔn)備成本sj(百萬(wàn)元)以及各階段最小(大)執(zhí)行比例αjt(βjt)

3.2 求解結(jié)果

動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇線性模型為混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，可用GAMS/BARON進(jìn)行求解。為了便于對(duì)比動(dòng)態(tài)線性模型和靜態(tài)模型的項(xiàng)目組合選擇結(jié)果，本部分令六個(gè)參數(shù)的變動(dòng)百分比均為0。利用GAMS/BARON求得的動(dòng)態(tài)線性模型的最優(yōu)解如表6和表7所示。

表6 動(dòng)態(tài)線性模型求得的zj和uj的值(已有舊項(xiàng)目)

表7 動(dòng)態(tài)線性模型的最優(yōu)解

對(duì)于已有舊項(xiàng)目，zj=0時(shí)，表示項(xiàng)目j被放棄并賣掉；zj=1且uj=1時(shí)，表示項(xiàng)目j進(jìn)行了更新；zj=1且uj=0時(shí)，表示項(xiàng)目j維持原狀。由表6可知，項(xiàng)目1和5被放棄，項(xiàng)目2和項(xiàng)目4進(jìn)行了更新，而項(xiàng)目3維持原狀。

由表7可知各個(gè)項(xiàng)目的執(zhí)行時(shí)間段和執(zhí)行比例，其中9(60%)表示項(xiàng)目9在第1期的執(zhí)行比例為60%，以此類推。其中項(xiàng)目9、10為新項(xiàng)目，項(xiàng)目2、3和4為舊項(xiàng)目，動(dòng)態(tài)線性模型所得的最優(yōu)值為55.889百萬(wàn)元。

為了體現(xiàn)動(dòng)態(tài)線性模型的優(yōu)越性和合理性，下面將用靜態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇模型來(lái)求解問(wèn)題。使用靜態(tài)模型時(shí)，不考慮企業(yè)已有舊項(xiàng)目，默認(rèn)其維持不變，即zj=1且uj=0。因此5個(gè)企業(yè)已有舊項(xiàng)目全部入選且維持不變，為了滿足整個(gè)計(jì)劃期內(nèi)選擇的最大項(xiàng)目數(shù)量N=8，靜態(tài)模型最多選擇3個(gè)項(xiàng)目，其最優(yōu)解如表8所示。

表8 靜態(tài)模型的最優(yōu)解

由表8可知，靜態(tài)模型所得的最優(yōu)值為22.478百萬(wàn)元。由于靜態(tài)模型忽略了已有舊項(xiàng)目的執(zhí)行情況，造成同一時(shí)間段內(nèi)執(zhí)行的項(xiàng)目數(shù)量超過(guò)企業(yè)的承受范圍，如：在第3期已經(jīng)有舊項(xiàng)目1和3執(zhí)行，通過(guò)靜態(tài)模型又選出項(xiàng)目8和項(xiàng)目9，這使得該時(shí)間段執(zhí)行的項(xiàng)目數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了企業(yè)的承受范圍M=2。

對(duì)比可知，較靜態(tài)模型而言，動(dòng)態(tài)線性模型選出的項(xiàng)目組合的收益得到了較大的提升，而且動(dòng)態(tài)線性模型可以綜合考慮新、舊項(xiàng)目的執(zhí)行情況，統(tǒng)籌安排項(xiàng)目的執(zhí)行階段和比例。究其原因，可以歸結(jié)為以下兩方面：其一，動(dòng)態(tài)線性模型在建模的時(shí)候，充分考慮了當(dāng)前市場(chǎng)對(duì)企業(yè)已有舊項(xiàng)目的需求情況，淘汰掉不具備競(jìng)爭(zhēng)力的舊項(xiàng)目并獲得收益hj，更新具有市場(chǎng)前景的舊項(xiàng)目，動(dòng)態(tài)線性模型在進(jìn)行項(xiàng)目組合選擇時(shí)充分挖掘了企業(yè)的現(xiàn)有資源，故收益更高；其二，動(dòng)態(tài)線性模型兼顧了企業(yè)已有舊項(xiàng)目的執(zhí)行時(shí)間段和比例，選擇新項(xiàng)目時(shí)進(jìn)行了充分的考慮，故可以避免單個(gè)時(shí)間段執(zhí)行的項(xiàng)目數(shù)量超出企業(yè)的承受范圍。

綜上可知，考慮企業(yè)已有舊項(xiàng)目的動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇線性模型更符合實(shí)際情況，選擇新項(xiàng)目的同時(shí)，兼顧了當(dāng)前市場(chǎng)對(duì)舊項(xiàng)目的需求情況，所得的項(xiàng)目組合收益更高、更具可靠性。因此，很有必要對(duì)動(dòng)態(tài)線性模型做敏感性分析。

3.3 敏感性分析

本部分將針對(duì)動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇線性模型進(jìn)行局部敏感性分析，分別求解初始資金K(t)、項(xiàng)目收益bj、新項(xiàng)目的投資kj、新項(xiàng)目的準(zhǔn)備成本sj、舊項(xiàng)目的更新費(fèi)用ejt以及放棄舊項(xiàng)目獲得的收益hj這六個(gè)不確定性參數(shù)的敏感性系數(shù)。分析每個(gè)參數(shù)變動(dòng)±5%、±10%以及±20%時(shí)，最優(yōu)值的變動(dòng)情況。其中一個(gè)參數(shù)變動(dòng)，其余參數(shù)不變，如：分析初始資金K(t)變動(dòng)5%時(shí)最優(yōu)值的變動(dòng)情況時(shí)，φK=5%，φb=0，φs=0，φk=0，φh=0，φe=0。

值得強(qiáng)調(diào)的是，已有舊項(xiàng)目的初始投資、準(zhǔn)備成本被視為沉沒(méi)資本，在動(dòng)態(tài)線性模型中沒(méi)有體現(xiàn)，所以不對(duì)之做敏感性分析。下面，將分別從最優(yōu)值和敏感性系數(shù)兩方面對(duì)動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇線性模型進(jìn)行敏感性分析。

(1)不同參數(shù)變動(dòng)百分比下的最優(yōu)值

利用GAMS/BARON求得動(dòng)態(tài)線性模型中不確定性參數(shù)不同變動(dòng)比例下的最優(yōu)值，如表9和圖1所示。

表9 動(dòng)態(tài)線性模型單參數(shù)變動(dòng)情況下最優(yōu)值(百萬(wàn)元)

圖1 動(dòng)態(tài)線性模型單參數(shù)變動(dòng)情況下的最優(yōu)值

根據(jù)表9和圖1可知，對(duì)于動(dòng)態(tài)線性模型，參數(shù)變動(dòng)百分比與最優(yōu)值變動(dòng)幅度的關(guān)系主要體現(xiàn)在三方面。其一，同一個(gè)參數(shù)變動(dòng)不同的幅度時(shí)，最優(yōu)值的變動(dòng)程度也不同，且參數(shù)變動(dòng)幅度越大，最優(yōu)值變動(dòng)幅度也越大；不同參數(shù)變動(dòng)相同的幅度時(shí)，最優(yōu)值的變動(dòng)幅度不相同。其二，最優(yōu)值會(huì)隨著成本類參數(shù)的增加而減少，隨著收益類和融資類參數(shù)的增加而增加。其三，項(xiàng)目收益和新項(xiàng)目投資對(duì)應(yīng)的曲線很接近，這意味著這兩個(gè)不確定性參數(shù)的敏感性相似，同理，新項(xiàng)目準(zhǔn)備成本和舊項(xiàng)目更新費(fèi)用的敏感性也相似，后續(xù)的敏感性系數(shù)變化結(jié)果也驗(yàn)證了這一結(jié)論。

(2)不同參數(shù)變動(dòng)百分比下的敏感性系數(shù)

動(dòng)態(tài)線性模型對(duì)應(yīng)的六個(gè)不確定參數(shù)的敏感性系數(shù)如表10和圖2所示。

表10 動(dòng)態(tài)線性模型單參數(shù)變動(dòng)情況下的敏感性系數(shù)

圖2 動(dòng)態(tài)線性模型單參數(shù)變動(dòng)情況下的敏感性系數(shù)

敏感性系數(shù)絕對(duì)值越大，其對(duì)應(yīng)的不確定性參數(shù)越敏感。按照敏感性系數(shù)的大小，根據(jù)圖2，動(dòng)態(tài)線性模型參數(shù)可以分為三組，其敏感性排序?yàn)椋簕放棄舊項(xiàng)目的收益}>{初始資金，項(xiàng)目收益，新項(xiàng)目投資}>{新項(xiàng)目準(zhǔn)備成本，舊項(xiàng)目更新費(fèi)用}。這說(shuō)明，在本算例中，放棄舊項(xiàng)目所得的收益最為敏感，在項(xiàng)目組合決策中發(fā)揮著關(guān)鍵的作用；初始資金、項(xiàng)目收益、新項(xiàng)目投資較為敏感，是影響組合決策的重要因素；而新項(xiàng)目準(zhǔn)備成本和舊項(xiàng)目更新費(fèi)用不敏感，不宜過(guò)多關(guān)注。因此，在本算例中，如何提高放棄舊項(xiàng)目所得的收益是企業(yè)需要考慮的首要問(wèn)題；其次，企業(yè)需要考慮增加融資，提高項(xiàng)目收益，控制新項(xiàng)目的成本；相反的，企業(yè)不宜在生產(chǎn)準(zhǔn)備成本和舊項(xiàng)目更新費(fèi)用控制方面投入過(guò)多精力。

另一方面，初始資金、新項(xiàng)目準(zhǔn)備成本、舊項(xiàng)目更新費(fèi)用和放棄舊項(xiàng)目所得收益對(duì)應(yīng)的敏感性參數(shù)幾乎不隨著參數(shù)的變化而變化。而項(xiàng)目收益對(duì)應(yīng)的敏感性系數(shù)隨著參數(shù)變動(dòng)的增加而增加，新項(xiàng)目投資的敏感性系數(shù)隨著參數(shù)變動(dòng)的增加而減小。值得注意的是，參數(shù)變動(dòng)百分比小于零時(shí)，新項(xiàng)目的投資敏感性>項(xiàng)目收益的敏感性，參數(shù)變動(dòng)百分比大于零時(shí)，項(xiàng)目收益的敏感性>新項(xiàng)目的投資敏感性。這說(shuō)明，個(gè)別參數(shù)的敏感性大小和排序會(huì)隨著參數(shù)變動(dòng)百分比的變化而變化，企業(yè)應(yīng)當(dāng)格外注意這些參數(shù)。具體而言，當(dāng)參數(shù)變動(dòng)百分比為正且較大時(shí)，企業(yè)應(yīng)當(dāng)著重考慮如何增加項(xiàng)目的收益；當(dāng)參數(shù)變動(dòng)百分比為負(fù)且較小時(shí)，企業(yè)應(yīng)當(dāng)著重考慮如何控制新項(xiàng)目的投資成本。

本文研究的敏感性系數(shù)情況較為多樣，體現(xiàn)了動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇線性模型中參數(shù)敏感性的復(fù)雜性，依據(jù)本文提供的模型和敏感性分析方法，企業(yè)可以對(duì)動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合決策中的不確定參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，得出實(shí)際項(xiàng)目組合選擇時(shí)各參數(shù)的敏感性排序，集中企業(yè)資源盡可能地提高企業(yè)收益、降低潛在風(fēng)險(xiǎn)。

綜合3.2和3.3的研究?jī)?nèi)容，針對(duì)動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇線性模型，在本文研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)進(jìn)一步分析大量隨機(jī)算例，我們可以得出以下結(jié)論：

結(jié)論1動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇線性模型在選擇新項(xiàng)目的同時(shí)，兼顧了當(dāng)前市場(chǎng)對(duì)企業(yè)已有舊項(xiàng)目的需求情況，可以統(tǒng)籌安排新、舊項(xiàng)目的執(zhí)行階段，其收益也更高。

結(jié)論2當(dāng)兩個(gè)(或多個(gè))不確定性參數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值曲線很接近時(shí)，這兩個(gè)(或多個(gè))參數(shù)的敏感性系數(shù)也很接近，其敏感性排名靠近。

結(jié)論3新項(xiàng)目投資和項(xiàng)目收益的敏感性大小和排序，會(huì)隨著參數(shù)變動(dòng)百分比的變化而變化；而其他參數(shù)的敏感性，不會(huì)隨著參數(shù)變動(dòng)百分比的變化發(fā)生明顯的變化。

4 結(jié)論

本文首次對(duì)考慮企業(yè)已有舊項(xiàng)目的動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇問(wèn)題進(jìn)行了局部敏感性分析，構(gòu)建了適合敏感性分析的動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇新模型，并將之線性化，進(jìn)而給出利用GAMS/BARON求解的敏感性分析算例，得出了相關(guān)結(jié)論。本文的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在三方面：1)首次構(gòu)建了適合敏感性分析的動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇新模型，并對(duì)其進(jìn)行了線性化處理；2)通過(guò)GAMS/BARON分別求解新模型在不同參數(shù)變動(dòng)百分比下的最優(yōu)值，對(duì)六個(gè)不確定性參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析，并得出了敏感性排名和相關(guān)結(jié)論；3)根據(jù)本文的研究結(jié)果和不確定性參數(shù)的敏感性分析，給出三個(gè)對(duì)企業(yè)有實(shí)際幫助的建議，即：①選擇新項(xiàng)目時(shí)，企業(yè)要充分考慮當(dāng)下市場(chǎng)對(duì)企業(yè)已有舊項(xiàng)目的需求情況，統(tǒng)籌規(guī)劃新、舊項(xiàng)目可以使企業(yè)獲得更高的收益；②企業(yè)在應(yīng)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和提升效益時(shí)，可以根據(jù)不確定性參數(shù)的敏感性排序，有區(qū)別地對(duì)待不同的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)企業(yè)資源的有效利用；③企業(yè)應(yīng)當(dāng)格外注意新項(xiàng)目投資和項(xiàng)目收益這兩個(gè)不確定性參數(shù)，尤其在不確定性參數(shù)變動(dòng)百分比較大的情況下。

本文只對(duì)考慮企業(yè)已有舊項(xiàng)目的動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇模型進(jìn)行了局部敏感性分析，實(shí)際上項(xiàng)目選擇過(guò)程中往往伴隨著幾個(gè)參數(shù)的同時(shí)變化。故研究的下一階段可探究合適的方法對(duì)動(dòng)態(tài)主動(dòng)打斷項(xiàng)目組合選擇模型進(jìn)行全局敏感性分析，盡管全局敏感性問(wèn)題較為復(fù)雜，但其更符合實(shí)際，能夠全面的反映參數(shù)的敏感性以及其對(duì)項(xiàng)目組合選擇的影響，為企業(yè)提供更全面的決策依據(jù)。