劉蘭初

（湖南工程學(xué)院 計算科學(xué)與電子學(xué)院，湘潭411104）

0 引言

在振動性、漸近性、穩(wěn)定性等方面，微分方程與差分方程在許多的研究方法與結(jié)果上是相似的，因此，有學(xué)者探索將離散和連續(xù)情形進(jìn)行統(tǒng)一分析，1988 年，Stefan Hilger［1］首次引入了測度鏈時標(biāo)（實數(shù)R 的一個任意閉子集［1-2］）理論，給微分方程和差分方程的統(tǒng)一研究提供了有力的理論依據(jù)，取得了一些研究成果.Bohner 等［3］進(jìn)一步完善和發(fā)展了Hilger 的理論.Agawal、Bohner、Eber 等［4-7］系統(tǒng)地研究了時標(biāo)上泛函微分方程的各種理論，并取得了豐碩的成果.近些年，關(guān)于時標(biāo)上動力方程解的有界性、漸近性、全局穩(wěn)定性、全局吸引性、振動性等的研究也取得了一些成果［8-11］.但這些成果大多限于一階方程，而高階方程這方面的研究卻不多.主要是由于時標(biāo)上高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)與積分特別復(fù)雜，很多理論推導(dǎo)無法進(jìn)行.本文研究時標(biāo)上高階微分方程的理論不僅在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著重要的意義，而且是金融、期貨、生物制藥、環(huán)境科學(xué)、自動控制系統(tǒng)等領(lǐng)域重要的理論依據(jù).

1 預(yù)備知識

實數(shù)R 的任意一個非空閉子集稱作一個時標(biāo)，本文以符號T 表示.例如：R、Z、N、［0，1］∪N，都是時標(biāo).但有理數(shù)集、無理數(shù)集、開區(qū)間（0，1）等都不是時標(biāo).

定義1 對任意的t ∈T，定義向前跳躍算子σ：T →T 如下：

σ(t):=inf{s ＞t:s ∈T} ，

以及向后跳躍算子ρ：T →T 為：

ρ(t):=sup{s ＜t:s ∈T} .

如果σ(t)＞t，則稱t 是右邊稀散的；如果ρ(t)＜t，則稱t 是左邊稀散的；左右兩邊都是稀散的點稱為孤立點.另外，如果

t ＜supT 且σ(t)=t，則稱t 是右邊密集的；如果

t ＞infT 且ρ(t)=t，則稱t 是左邊密集的；左右兩邊都是密集的點稱為密集點［1］.

定義2 設(shè)f:T →R,t ∈Tk.定義fΔ(t)為具有如下性質(zhì)的一個數(shù)（假定存在）：對任意的ε ＞0，存在U 的一個δ 鄰域（即對任意δ ＞0,U =(t -δ,t +δ)?T），使得

則稱fΔ(t)為f 在t 的delta（Hilger）導(dǎo)數(shù).如果對所有的t ∈Tk都有fΔ(t)存在，則稱f 在Tk上delta（Hilger）可微，簡稱可微的［1］.

定義3 函數(shù)f:T →R 稱為rd 連續(xù)的，如果它在右邊密集的點連續(xù)，在左邊密集的點的極限存在［1］.rd 連續(xù)的函數(shù)集f:T →R 記作：

Crd=Crd(T)=Crd(T,R).

時標(biāo)上一階中立型動力方程的定性研究已經(jīng)很多，文獻(xiàn)［8］考慮了

解的振動性.文獻(xiàn)［9］考慮了

(x(t)-cx(t -τ))Δ+q(t)x(t -σ)=0的非振動解.

上述多是研究一階動力方程，本文考慮了時標(biāo)上二階中立型動力方程：

的振動性.這里τ ＞0為常數(shù)，0≤δ(t)≤t，P(t)∈Crd([t0,∞),R+),R+=[0,∞).

本文記z(t)=x(t)-cx(t -τ).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)0 ＜c ＜1，如果存在整數(shù)n，使得

則方程（1）的非振動解趨向于0.

證明：不妨設(shè)x(t)為方程（1）的最終正解.選取充分大的t1，使t1≥t0＞0. 當(dāng)t ≥t1時，x(t)＞0，x(t -τ)＞0,x(δ(t))＞0，易知：

zΔ2(t)=-P(t)x(δ(t))＜0.

x(t)＜cx(t-τ)＜c2x(t-2τ)＜…＜cnx(t -nτ).

反證法.若z(t)＞0，t ≥t1,方程（1）可寫成：

從而

由于zΔ2(t)=-P(t)x(δ(t))＜0.故zΔ(t)單調(diào)減少，

故zΔ(δ(t)-jτ)≥zΔ(δ(t)).從而

推論1.設(shè)0 ＜c ＜1，且

則定理1 成立.

故條件（2）成立，證畢.

定理2設(shè)0 ＜c ＜1，如果存在整數(shù)n，使得（2）成立，同時存在整數(shù)k，使得t -δ(t)＞kτ，且則方程（1）的所有解振動.

證明：不妨設(shè)x(t)為方程（1）的最終正解. 令z(t)=x(t)-cx(t -τ),t ≥t1，則根 據(jù)定理1 的證明，只需證明在條件（6）下，zΔ(t)＜0 不可能成立.為得到矛盾，重寫方程（1）如下：

重復(fù)累加得：

由z(t)的單調(diào)性產(chǎn)生

對上式從s 到t 積分，有

對上式從δ(t)+kτs 到t 積分，有

由于z(t)單調(diào)減少，故

上式與假設(shè)zΔ(t)＞0,z(t)＜0 矛盾，故定理2成立.

定理3設(shè)c=1，如果存在整數(shù)n，使得則方程（1）的非振動解必有界.

因 此，zΔ(t)＞0,t ≥t1，此 時 有 兩 種 可 能：z(t)＞0 或者z(t)＜0.

現(xiàn)設(shè)z(t)＞0.方程（1）可寫為：

由z(t)的單調(diào)性產(chǎn)生

由于zΔ2(t)=-P(t)x(δ(t))＜0.故zΔ(t)單調(diào)減少，故zΔ(δ(t)-jτ)≥zΔ(σ(t)).

從而

推論2.設(shè)c=1，且

成立，則定理3 的結(jié)論成立.（證明類似推論1）

定理4若在定理3 的條件下，又存在整數(shù)k≥1，使得t -δ(t)＞kτ，且

則方程（1）的所有解振動.

證明：不妨設(shè)x(t)為方程（1）的最終正解.令z(t)=x(t)-x(t -τ), t ≥t1，則zΔ2(t)＜0,t ≥t1.由定理3 可知，只需證明在上述條件下，z(t)＜0 不可能最終成立（反證法）.即

設(shè)z(t)＜0,方程（1）可寫為：

由z(t)的單調(diào)性產(chǎn)生

zΔ2(t)-kP(t)z(δ(t)+kτ)≤0.

類似定理2，對上式積分2 次，得：

由于z(t)單調(diào)減少，故

上式顯然與假設(shè)z(t)＜0 矛盾，故定理4.證畢.