胡良明，李姝鈺，賈 欣，楊 旭

(鄭州大學 水利科學與工程學院，河南 鄭州 450001)

混凝土重力壩基本都是帶縫工作，且混凝土重力壩壩踵處于不同材料的交界處，承受高水頭作用，受力條件復雜。我國混凝土重力壩大部分建設在地震頻發(fā)的西南地區(qū)，若重力壩遭遇強烈地震，裂尖容易因應力集中而產生貫穿性裂縫[1]，因此需要對地震和縫水壓力作用下壩踵裂縫擴展進行數值模擬。用傳統(tǒng)有限元框架模擬裂縫擴展需不停地進行網格重剖，Belytschko 等[2]提出的擴展有限元法（XFEM）裂縫網格與計算網格相互獨立，不要求網格重剖便可模擬裂縫擴展；杜效鵠等[3]用XFEM 對重力壩斷裂問題進行了數值分析；方修君等[4-5]用XFEM 進行了Koyna 重力壩地震開裂過程的模擬和水壓作用下混凝土試件開裂過程模擬；董玉文等[6]建立了適用于重力壩水力劈裂的XFEM；高景泉等[7]進行了靜力作用下壩踵裂縫的水力劈裂分析，未考慮地震作用；鐘紅等[8]基于多邊形比例邊界有限元法研究了壩基開裂與縫內水壓力分布形式的關系；鄭志芳等[9]研究了地震作用下縫內水壓規(guī)律及其對裂尖應力強度因子的影響，為地震作用下壩體水力劈裂研究奠定了基礎。

以上學者在混凝土重力壩裂縫擴展模擬中，簡化了重力壩的受力狀態(tài)與壩踵初始裂縫狀態(tài)，沒有考慮縫面水壓力與地震的綜合作用，不能真實模擬壩踵裂縫擴展最危險的應力及位移情況。基于此，本文利用XFEM 和相互作用積分理論，建立重力壩壩踵存在初始裂縫的條件下，考慮縫面水壓力與地震共同作用的裂縫擴展數值模型，分析壩踵初始裂縫長度、壩體與壩基彈模比與縫面水壓力分布形式對壩踵裂縫擴展的影響。

1 裂縫動態(tài)分析基本原理

1.1 動態(tài)斷裂問題的XFEM

位移場u 的表達式參考文獻[10]及[11]。動態(tài)斷裂問題的裂尖增強函數為：

式中：r，θ 分別為裂尖局部極坐標的半徑和夾角。

動態(tài)斷裂問題控制方程：

動態(tài)斷裂問題進行時間積分時選用常用的Newmark 隱式積分：

式中：Δt 為時間增量；ut為t 時刻的位移向量；當 α ≥0.5且 β ≥0.25(α+0.5)2時，此算法無條件穩(wěn)定，本文取α=0.5，β=0.25。

1.2 動態(tài)裂縫擴展準則

選擇最大周應力準則作為裂縫開裂準則。裂縫擴展角 θc滿足：

等效應力強度因子Keq滿足：

若Keq大于動態(tài)斷裂韌度 KICdyn，則裂縫開始擴展。

動態(tài)斷裂問題求解應力強度因子采用相互作用積分法。在考慮體積力、慣性力以及縫面作用力的情況下，相互作用積分I(1,2)表達式為：

式中：I(1,2)為狀態(tài)1 和2 的相互作用積分；q 為權函數；W(1,2)為狀態(tài)1 和2 下的應變能；為裂縫面牽引力在i 方向的分量。

相互作用積分和裂尖動態(tài)應力強度因子Kdyn的關系為：

2 數學模型

2.1 有限元模型的建立

Koyna 混凝土重力壩建在印度Koyna 河上，該壩于1967 年經歷的6.5 級強烈地震中保留了完整的強震破壞記錄，因此常被用于大壩的抗震分析。大壩的基本情況及壩基的計算范圍如圖1(a)所示。壩踵位置預設一條長度為a 的水平裂縫。

壩體混凝土及基巖的泊松比均取0.25，平面應變斷裂韌度KIC均取5 MPa·m1/2，壩體混凝土的彈性模量E1取31 GPa，密度取2 450 kg/m3，基巖的彈性模量設為E2。XFEM 數值分析采用四節(jié)點等參元均勻網格，計算模型共劃分為3 440 個單元，有限元網格劃分如圖1(b)所示。地基采用無質量地基模型，避免地震波在壩基中產生傳播放大效應。采用Wester-gard 附加質量法來進行重力壩抗震設計中動水壓力的模擬，以附加質量形式施加到結構自由度質量矩陣。文獻[12]中線彈性應力強度因子適用于大體積混凝土結構的觀點是目前廣泛接受的，以此為依據建立重力壩壩踵裂縫斷裂數值模型。

圖1 重力壩計算模型及網格劃分示意Fig.1 Gravity dam calculation model and grid partition schematic diagram

2.2 地震波的選取

由于人工波不具備天然波的完全非平穩(wěn)隨機過程特性，缺少強烈變化的短周期成分，結合《水工建筑物抗震設計規(guī)范》(GB 51247—2018)，按照Ⅱ類場地，選取最大加速度值為0.167g、特征周期0.35 s、荷載增量步為0.1 s 的天然波TH2TG035，水平方向加速度時程曲線見圖2，前17 s 加速度變化幅度較大，故截取前17 s 用于計算。

圖2 地震波加速度時程曲線Fig.2 Time history graph of seismic wave acceleration

2.3 計算工況

模擬試驗采用的各項數據如表1 所示，縫面水壓力為結構所受外荷載，作為施加在裂縫面上的面力。假定縫面水壓力P 的分布形式為：

式中：r 為縫面上的節(jié)點與裂尖的距離；a 為裂縫長度；P0為裂縫口的靜水壓力。

參考文獻[13]，水壓力分布形式中，n=0，1，2 時分別代表水壓力均勻分布、線性分布和二次函數分布。模擬重力壩壩踵裂縫在最不利工況下的裂縫擴展，即考慮縫面水壓力、壩體自重和地震共同作用下，上游壩面承受滿水庫動水壓力，下游無水。計算共分為5 種工況，具體見表1。

表1 計算工況Tab.1 Calculation conditions

3 計算結果分析

3.1 等效應力強度因子及裂縫擴展路徑時程分析

地震加載過程中，縫面水壓均勻分布、初始裂縫長度為5 m 且壩基與壩體彈模比為1 時的等效應力強度因子Keq見表2。圖3 為各時刻壩踵裂縫形態(tài)及壩體-壩基體系x 方向最大主應力σxx。

表2 等效應力強度因子KeqTab.2 Calculation table of equivalent stress intensity factor Keq

分析表2 及圖3 可得：14.0 s 至15.7 s 期間Keq值大于KIC（=5 MPa·m1/2），持續(xù)時間較長。14.0 s 至14.8 s，Keq持續(xù)增大，14.0 s 時裂縫開始逐漸擴展，x 方向裂縫尖端處的拉應力隨時間增加而增加，14.8 s 時裂縫加速擴展，x 方向的拉應力數值增加到最大值1.5 MPa，拉應力作用范圍達到最大；14.8 s 至15.7 s，Keq逐漸減小，15.8 s 時Keq小于KIC，15.7 s 裂縫擴展長度與17.0 s 時的基本一致，此時裂縫尖端仍有較小的拉應力，在17.0 s 時裂縫尖端為壓應力，應力逐漸趨近穩(wěn)定，符合文獻[13]中對裂尖應力狀態(tài)的描述。裂縫擴展過程中，在動水壓力和自重作用下初始裂縫不斷向壩基擴展，裂縫尖端產生了明顯的拉應力集中現象。

圖3 x 方向最大主應力云圖(單位：Pa)Fig.3 Maximum principal stress of x (unit: Pa)

3.2 不同彈模比對裂縫擴展路徑的影響分析

圖4 給出了不同工況下的裂縫擴展路徑。從圖4 可見，不同初始裂縫長度下，裂縫擴展長度均隨壩基與壩體彈模比的增大而減小，裂縫擴展路徑與壩基面間的夾角逐漸減小，當壩基與壩體彈模比足夠大時，裂縫不再發(fā)生擴展。從圖4(d)可見，裂縫擴展路徑隨著初始裂縫長度的增加逐漸接近壩基面，初始裂縫長度為8 m 時裂縫擴展路徑為先向壩基擴展再向壩體擴展，且初始裂縫的長度增加，裂縫擴展長度也隨之增加。從圖4(e)可見，隨著縫面水壓力分布系數n 的增加，縫面水壓力減小，裂縫擴展長度減小，擴展路徑向壩基擴展。

4 結 語

基于XFEM，建立了考慮縫面水壓力和地震作用下的重力壩壩踵裂縫斷裂數學模型。通過計算分析壩基基巖與混凝土壩體的彈模比、縫面水壓力分布形式及初始裂縫長度等工況下的壩踵裂縫擴展路徑，得出以下結論：

（1）裂縫的擴展長度隨壩基與壩體彈模比的增大而減小，當壩基與壩體的彈模比足夠大時，裂縫不會發(fā)生擴展；裂縫擴展路徑與壩基面的夾角隨壩基與壩體彈模比的增大逐漸接近壩基面。兩者的共同作用減小了壩體發(fā)生深層滑動的風險。因此重力壩工程進行地基選擇時，選擇壩基彈性模量較大、基巖條件較好的地區(qū)可以有效防止重力壩發(fā)生滑動破壞。

（2）裂縫擴展長度隨著初始裂縫長度的增加而增加；裂縫擴展路徑隨著初始裂縫長度的增加向壩基面延伸；當初始裂縫增加到一定長度時，裂縫先向壩基方向擴展然后轉向壩體方向。兩者的共同作用會使裂縫過長，導致重力壩壩體與壩基脫離，發(fā)生滑動破壞。

（3）隨著縫面水壓力系數n 的增大，裂縫擴展長度雖有所減小，但減小的幅度較小，而裂縫擴展路徑與壩基面之間的夾角增大，削弱巖基穩(wěn)定性，容易造成深層滑動破壞。由文獻[13]可知，裂面水壓力分布規(guī)律是影響縫面水壓力對裂縫斷裂特性的主要因素，因此考慮縫面水壓分布的影響，可以有效提高數值模擬的精度。