徐建中，晏 福

(哈爾濱工程大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

許多現(xiàn)實(shí)復(fù)雜問題都可以通過轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題而進(jìn)行求解，優(yōu)化已經(jīng)成為工程和管理領(lǐng)域不可缺少的有機(jī)整體。優(yōu)化的目的就是要在時(shí)間、金錢和能源等有限的前提下使得系統(tǒng)的效率、性能、產(chǎn)量或社會(huì)福利達(dá)到最大化[1]。因此，在現(xiàn)有資源受限的前提下，找到一種高效可靠的優(yōu)化方法十分必要。近年來，隨機(jī)搜索優(yōu)化算法因?yàn)槠鋵?duì)現(xiàn)實(shí)復(fù)雜優(yōu)化問題求解時(shí)，表現(xiàn)出的求解準(zhǔn)確度高、速度快，低成本以及強(qiáng)魯棒性而受到全世界的廣泛關(guān)注。與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比，隨機(jī)搜索算法不需要任何目標(biāo)問題的梯度信息，并且十分簡單和易于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)[2]。而在眾多隨機(jī)搜索算法中，群智能優(yōu)化算法(SI)得到了廣大科研工作者的研究和改進(jìn)。在群智能算法中，每個(gè)個(gè)體(諸如魚、鳥、螢火蟲、螞蟻等)為了求得生存和發(fā)展從而表現(xiàn)出獨(dú)特的自適應(yīng)行為，這些行為包括捕食、航行和搜索等，SI正是基于這些個(gè)體之間的協(xié)同行為來對(duì)復(fù)雜問題進(jìn)行求解的，而大量研究成果也表明個(gè)體間的相互作用所構(gòu)成的群體行為對(duì)于解決不同領(lǐng)域的復(fù)雜優(yōu)化問題十分有效。例如，受螞蟻搜索行為啟發(fā)的蟻群優(yōu)化算法(ACO)對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題[4]、交通區(qū)域控制問題[5]以及基因組優(yōu)化問題[6]等都具有良好的應(yīng)用效果。粒子群優(yōu)化算法(PSO)對(duì)雙邊規(guī)劃問題[7]、電力系統(tǒng)[8]、海洋石油存儲(chǔ)[9]和圖像處理等[10]問題的解決帶來了便利。

鯨魚優(yōu)化算法(WOA)是一種受自然界座頭鯨捕食行為啟發(fā)的群智能優(yōu)化算法[3]，它模擬了鯨魚群搜索，包圍，追捕和攻擊獵物等自適應(yīng)行為，從而達(dá)到優(yōu)化復(fù)雜問題的目的[11]。它的優(yōu)化性能要比PSO、灰狼算法(GWO)和蜻蜓算法(DA)更優(yōu)，且更容易編程實(shí)現(xiàn)[11]。它在工程應(yīng)用領(lǐng)域和圖像分割處理中也得到了很好的應(yīng)用。然而大量的群智能優(yōu)化算法(包括鯨魚優(yōu)化算法)的提出，為一些特定的優(yōu)化問題選擇合適的優(yōu)化方法帶來了極大的挑戰(zhàn)，這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)算法都只適用于廣義的優(yōu)化概念，并不具備對(duì)每一個(gè)優(yōu)化問題都擁有先驗(yàn)認(rèn)識(shí)。面對(duì)這種情形，組合優(yōu)化算法則利用其他優(yōu)化算法的優(yōu)勢來實(shí)現(xiàn)不同算法的優(yōu)勢互補(bǔ)，取長補(bǔ)短，從而使得組合算法的優(yōu)化性能要大大優(yōu)于任意單一的算法[12]。盡管WOA的全局搜索能力具有一定的隨機(jī)性和靜態(tài)的群集行為，但它跳出局部最優(yōu)的能力有限，導(dǎo)致在求解目標(biāo)問題的過程中容易陷入局部最優(yōu)。為了克服這些缺點(diǎn)，本文提出了一種新的基于黃金分割搜索的組合鯨魚算法(GWOA)。數(shù)值仿真結(jié)果和工程實(shí)例分析結(jié)果表明GWOA算法是一種高效、簡單、求解性能優(yōu)異和魯棒性強(qiáng)的群智能優(yōu)化算法。

1 鯨魚優(yōu)化算法

根據(jù)Hof和Van Der Gucht[13]的觀點(diǎn)，鯨魚在其大腦的某些區(qū)域有與人類的梭形細(xì)胞相似的普通細(xì)胞。這些細(xì)胞主導(dǎo)著人的判斷、情緒和社會(huì)行為。換句話說，梭形細(xì)胞使我們有別于其他生物。鯨魚的數(shù)量是成年人類的兩倍，這是它們聰明的主要原因。事實(shí)證明，鯨魚不但可以進(jìn)行思考、學(xué)習(xí)、判斷、交流，甚至還能像人類一樣富有情緒化，但它的聰明程度要比人類低得多。另一個(gè)有趣的現(xiàn)象是鯨魚的社會(huì)行為，即它們大多是成群出現(xiàn)的。他們的一些物種(例如虎鯨)可以在整個(gè)生命周期內(nèi)生活在一個(gè)家庭中。座頭鯨是最大的須鯨之一。一頭成年座頭鯨形體能比肩一輛校車。它們最喜歡的獵物是磷蝦和小魚群。圖1展示了座頭鯨捕獵食物的原理，它是通過沿著圓形或“9”形狀的路徑形成獨(dú)特的氣泡進(jìn)行誘捕獵物，這種覓食行為被稱為氣泡-凈喂養(yǎng)方法，它包括兩個(gè)主要階段：向上螺旋和雙循環(huán)[11]。Mirjalili和Lewisa基于以上原理于2016年提出了鯨魚優(yōu)化算法(WOA)。

圖1 座頭鯨的氣泡凈攝食行為

X(t+1)=Xbest(t)-A·|C·Xbest(t)-X(t)|

(1)

其中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，A·|C·Xbest(t)-X(t)|表示鯨魚捕食的包圍步長，Xbest為到目前為止迭代搜索得到的最佳位置向量，A和C的表達(dá)式為：

A=2a·rand-a

(2)

C=2·rand

(3)

a=2-2t/tmax

(4)

其中，rand為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，a表示收斂因子，在迭代過程中，從2線性遞減到0。

鯨魚捕食的雙循環(huán)模式的數(shù)學(xué)建模如下：

X(t+1)=|Xbest(t)-X(t)|·

ebl·cos(2πl(wèi))+Xbest(t)

(5)

其中，|Xbest(t)-X(t)|表示鯨魚i與獵物之間的距離，是一個(gè)用來定義螺旋線形狀的常數(shù)，l[-1,1]是之間的隨機(jī)數(shù)。

需要說明的是，鯨魚在一個(gè)收縮的圓圈內(nèi)同時(shí)沿著螺旋形的路徑環(huán)繞游動(dòng)。為了對(duì)這種行為進(jìn)行建模，假設(shè)鯨魚有50%的概率在縮小的包圍圈內(nèi)以環(huán)繞或螺旋的方式游動(dòng)捕獵，并以此方式來更新其位置，則該過程的數(shù)學(xué)模型如下：

(6)

鯨魚的主要捕食行為除了向上螺旋和雙循環(huán)游動(dòng)以外，還有隨機(jī)捕食行為，其數(shù)學(xué)描述如下:

X(t+1)=Xrand(t)-A·|C·Xrand(t)-X(t)|

(7)

式中，Xrand(t)為從當(dāng)前鯨魚群中隨機(jī)選擇的鯨魚位置向量。

根據(jù)文獻(xiàn)[3]，WOA算法的偽代碼如算法1所示。

算法1 WAO算法偽代碼Initialize the whale population Xi(i=1,2,…,n)Calculate the fitness of each search agentXbest=the best search agentwhile(t

2 黃金分割搜索改進(jìn)鯨魚算法

2.1 基于黃金分割的種群初始化

對(duì)群智能優(yōu)化算法而言，初始種群的好壞在一定程度上決定了算法的優(yōu)化性能，WOA算法初始種群是以隨機(jī)方式產(chǎn)生的，而這種隨機(jī)方法所產(chǎn)生的初始種群并不能保證其多樣性[11]。為了選擇較好的初始種群，本文利用黃金分割的最優(yōu)性來提取和過濾搜索空間中的有用信息以保證初始種群的多樣性。

黃金分割法是裴波那契法(Fibonacci)的比例近似，并由我國華羅庚教授進(jìn)行了最優(yōu)性證明[15]。對(duì)于最優(yōu)化問題:

minf(t),t?[LB,UB]

(8)

其中LB表示搜索空間的下限，UB表示搜索空間的上限。黃金分割搜索法對(duì)種群進(jìn)行初始化就是通過不斷地縮短[LB,UB]，把初始種群搜索到(8)式的近似最優(yōu)解附近。

為了縮短區(qū)間[LB,UB]，逐步迭代搜索得(8)式最優(yōu)解t*的近似值，所采取的迭代搜索策略為：在[LB,UB]中任取兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)t1和t2(不妨設(shè)t1

t1=LB+0.618·(UB-LB)

(9)

t2=UB-0.618·(UB-LB)

(10)

計(jì)算f(t1)和f(t2)并比較它們的大小。若f(t1)>f(t2)，則有t*∈[t2,UB]，從而把潛在最優(yōu)解縮短在區(qū)間[t2,UB]內(nèi)；相反，潛在最優(yōu)解則縮短在區(qū)間[LB,t1]內(nèi)，依次迭代，直到滿足迭代停止條件，其迭代示意圖如圖2所示。

圖2 黃金分割搜索示意圖

利用上述不斷縮短搜索區(qū)間的方法，把初始種群聚集到問題(8)的最優(yōu)解附近，同時(shí)也把搜索空間[LB,UB]分割成n-1個(gè)子區(qū)間[w1,w2]，[w2,w3]，…，[wn-1,wn]，其具體步驟見算法2。

算法2 基于黃金分割的種群初始化偽代碼確定搜索區(qū)間[LB,UB],并設(shè)定迭代次數(shù)n在區(qū)間[LB,UB]上選取兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)t1和t2,k=0w1=zeros(n-1,dim);w2=zeros(n-1,dim);while(kf(t2) LB=t2;t2=t1;t1=LB+0.68(UB-LB]); else UB=t1;t1=t2;t2=UB-0.68(UB-LB]); end if k= k+1; w1(k,:)=a*ones(1,dim);w2(k,:)=b*ones(1,dim); X=(LB+UB)/2;endwhile

2.2 變區(qū)間黃金分割非均勻變異操作

在傳統(tǒng)的進(jìn)化算法中，算子的作用與進(jìn)化代數(shù)是沒有直接聯(lián)系的，因此，當(dāng)算法演化到一定代數(shù)后，由于缺乏多樣性操作和局部搜索，傳統(tǒng)的進(jìn)化算子將很難獲得收益[16]，本文在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上給出了一種黃金分割的非均勻變異算子。

設(shè)問題的解空間為

[LB,UB]={Xi=(X1,X2,…,Xd)T|lbi≤Xi≤ubi,i=1,2,…,d}

(11)

其中，LB=(lb1,lb2,…,lbd)T，UB=(ub1,ub2,…,ubd)。若個(gè)體Xi=(Xi1,Xi2,…,Xid)T被選擇參加變異操作，則變異操作方法如下：

步驟1由2.1基于黃金分割種群初始化的迭代搜索得到n-1個(gè)子區(qū)間[w1,w2]，[w2,w3]，…，[wn-1,wn]。

(12)

其中，ω=1-t/Maxiter，t和Maxiter分別表示當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)，γ∈rand(0,1)，且

Δ(ω,y)=y·(1-rωλ)

(13)

其中，r∈rand(0,1)，λ是決定非均勻變異程度的一個(gè)參數(shù)，本文取λ=0.618。

綜上，本文的變區(qū)間黃金分割非均勻變異操作的算法實(shí)現(xiàn)如算法3所示。

2.3 GWOA算法的時(shí)間復(fù)雜度分析和實(shí)現(xiàn)過程

綜上，通過黃金分割搜索對(duì)WOA進(jìn)行種群初始化和進(jìn)行變區(qū)間非均勻變異操作，進(jìn)而改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)WOA算法，依此提出黃金分割搜索改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法(GWOA)。為了直觀的評(píng)價(jià)GWOA算法的性能，必須對(duì)該算法的時(shí)間復(fù)雜度進(jìn)行分析。

GWOA是將傳統(tǒng)的WOA和黃金分割搜索相結(jié)合來實(shí)現(xiàn)的。其計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度取決于算法的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，具體分為4個(gè)主要部分：(i)黃金分割搜索粒子適應(yīng)度計(jì)算；(ii)黃金分割搜索粒子位置和邊界更新；(iii)WOA算法粒子適應(yīng)度計(jì)算；(iv)WOA算法粒子位置更新。假設(shè)黃金分割搜索的迭代次數(shù)為t1，WOA算法的迭代次數(shù)為t2，搜索代理(種群規(guī)模)為N，則(i)和(ii)階段的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度為O(N2t1)，(iii)和(iv)階段的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度為o(N2t2)。因此，GWOA算法總的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度為O(N2t1+N2t2)。綜上，GWOA的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度要比WOA大O(N2t1)。一般情況t1是要遠(yuǎn)小于t2的，本文取t1=60和t2=500。即通過增加一定的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度來使得WOA算法的優(yōu)化性能得到較大提高是科學(xué)的。

算法3 變區(qū)間黃金分割非均勻變異偽代碼調(diào)用算法2所產(chǎn)生的黃金分割區(qū)間w1和w2和子區(qū)間個(gè)數(shù)n-1產(chǎn)生[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)p和λ,計(jì)算ω,產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)ηfor i=1 to N for j=1 to d if p<0.5 Xji=w1(η,j)-(w2(η,j)-w1(η,j))*(1-rωλ); else Xji=w1(η,j)+(w2(η,j)-w1(η,j))*(1-rωλ); end if end forend for

算法4 GWOA算法偽代碼設(shè)置種群規(guī)模N,維數(shù)d,搜索空間的上下限[LB,UB];利用算法2產(chǎn)生初始種群{Xi,i=1,2,…,N}和變區(qū)間w1和w2以及區(qū)間個(gè)數(shù)n-1;令t=0;while(tf(Xi) Xi=Xi; end if else if(p≥0.5) 根據(jù)式(5)更新當(dāng)前個(gè)體的位置; 根據(jù)式(12)進(jìn)行變區(qū)間黃金分割非均勻變異操作; 計(jì)算適應(yīng)度f(X)和f(Xi) if f(Xi)>f(Xi) Xi=Xi; end if end if end for end fort=t+1;end while

3 數(shù)值仿真及工程應(yīng)用

3.1 測試函數(shù)及性能指標(biāo)的選取

表1 測試函數(shù)

在目前的相關(guān)研究中，使用了許多不同的指標(biāo)來衡量組合優(yōu)化算法的性能。而算法性能的優(yōu)劣，主要是看所提出的算法的有效性，即評(píng)估該算法在對(duì)所選測試函數(shù)進(jìn)行求解最小值(最大值)時(shí)的求解精度和尋優(yōu)成功率[17]。為了對(duì)本文所提出的算法尋優(yōu)性能進(jìn)行客觀合理的評(píng)價(jià)，首先選取與文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[11]相同的13個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行仿真試驗(yàn)，對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析；其次，為了驗(yàn)證本文算法處理大規(guī)模優(yōu)化問題的能力，選取了與文獻(xiàn)[11]相同的15個(gè)測試函數(shù)，分別就不同維數(shù)進(jìn)行優(yōu)化運(yùn)算并與IWOA的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析(D=200，500，和1000)，同時(shí)，實(shí)驗(yàn)參數(shù)也與文獻(xiàn)[11]相同，即種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)tmax=500，黃金分割搜索的最大迭代次數(shù)n=60，通過30次獨(dú)立運(yùn)算實(shí)驗(yàn)，分別記錄他們的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差和收斂成功率，所有仿真實(shí)驗(yàn)都在Intel(R)Core(TM)i5-7200U CPU@2.50GHz 2.70GHz的計(jì)算機(jī)上依托MATLAB R2015a實(shí)現(xiàn)；最后，將本文的GSWOA與其他最新提出的組合優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化性能對(duì)比分析。

依據(jù)文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[17]，衡量算法性能的兩個(gè)指標(biāo)分別是結(jié)果精確度(Accurracy，AC)和尋優(yōu)成功率(Successful ratio, SR)，其定義如下：

AC=f(Xbest)-f(Xept)

(14)

(15)

其中，Xbest為函數(shù)經(jīng)過tmax迭代所求得的最優(yōu)解，Xopt為函數(shù)的全局最優(yōu)解，z為總的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，z′為算法收斂到問題全局最優(yōu)解的次數(shù)。如算法迭代所得到的結(jié)果對(duì)應(yīng)的AC值小于設(shè)定的收斂精度(見表1)，則認(rèn)為該次運(yùn)算收斂到了全局最優(yōu)解。

3.2 GWOA與WOA、IWOA和GACO的性能對(duì)比分析

為了使本文GWOA算法的優(yōu)化性能具有直觀可比性，首先對(duì)文獻(xiàn)[3]中的13個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)(D=30)進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算，其中WOA的仿真結(jié)果直接來源于文獻(xiàn)[3]，IWO的數(shù)值仿真結(jié)果直接來源于文獻(xiàn)[11]，其對(duì)比結(jié)果見表2。同時(shí)，為了驗(yàn)證本文GWOA算法的高維優(yōu)化性能，對(duì)表1中15個(gè)測試函數(shù)(D=200，500和1000)進(jìn)行對(duì)應(yīng)的30次獨(dú)立運(yùn)算，IWO的數(shù)值仿真結(jié)果來源于文獻(xiàn)[11]，其仿真結(jié)果見表4。

由表2中的對(duì)比結(jié)果可知，對(duì)于函數(shù)F1、F2、F3、F4和F10，GWOA的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都要優(yōu)于IWOA和WOA，而對(duì)于F5，GWOA的尋優(yōu)性能比IWOA和WOA要高30個(gè)數(shù)量級(jí)的精確度，GWOA在函數(shù)F7和F8的尋優(yōu)性能上要略遜IWOA但要優(yōu)于WOA。GWOA對(duì)函數(shù)F6、F9、F11、F12和F13的求解獲得了全局最優(yōu)值0，IWOA在函數(shù)F6、F9和F11處求得全局最優(yōu)值0，而WOA僅在函數(shù)F9處獲得了全局最優(yōu)值0。

數(shù)值仿真結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)差是對(duì)算法性能評(píng)估的有效方法，為了證明結(jié)果不是偶然產(chǎn)生的，還必須進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。本文利用Friedman’s檢驗(yàn)[18]和Wilcoxon ranksum[19]檢驗(yàn)來對(duì)算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從而對(duì)算法的綜合性能進(jìn)行評(píng)價(jià)。Friedman’s檢驗(yàn)是一種常用的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，用于發(fā)現(xiàn)不同算法的結(jié)果之間是否存在顯著差異，本文用它來對(duì)算法的性能進(jìn)行排序，優(yōu)化性能越好的算法得到的值越低，而性能較差的值反而較大。進(jìn)行Friedman’s檢驗(yàn)后，則對(duì)各算法進(jìn)行Wilcoxon ranksum檢驗(yàn)，其中，“+”表示較好，“-”表示更差，“0”表示無顯著性差異，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表3。

表2 GWOA、IWO和WOA對(duì)13個(gè)低維標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的數(shù)值仿真結(jié)果

表3 GWOA、IWOA和WOA對(duì)13個(gè)測試函數(shù)尋優(yōu)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

從表3可知，GWOA的Friedman’s Test排序值最低為1.3462，IWOA的排序值為1.7692，WOA的排序值最高為2.8846，由此可知GWOA的尋優(yōu)性能要優(yōu)于IWOA和WOA。而Wilcoxon ranksum test結(jié)果則表明GWOA對(duì)13個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)相對(duì)于IWOA有8個(gè)測試函數(shù)性能更佳，有兩個(gè)函數(shù)的優(yōu)化性能稍劣，有1個(gè)函數(shù)的優(yōu)化性能相當(dāng)；GWOA相對(duì)于WOA，只有1個(gè)函數(shù)的優(yōu)化性能稍劣以及1個(gè)函數(shù)的優(yōu)化性能相當(dāng)，在其余的11個(gè)函數(shù)上的優(yōu)化性能要更好。

從表4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，當(dāng)維數(shù)D=200時(shí)，GWOA除了對(duì)函數(shù)f5(x)和f6(x)沒有獲得全局最優(yōu)解外，其余的函數(shù)的收斂精度都達(dá)到了表1中關(guān)于各函數(shù)的收斂精度要求。其中，GWOA在函數(shù)f8(x)、f10(x)、f11(x)和f13(x)都達(dá)到了理論最優(yōu)值0。GWOA除了在對(duì)函數(shù)f4(x)和f6(x)的函數(shù)優(yōu)化性能劣于IWOA外，對(duì)其余13個(gè)函數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都要優(yōu)于IWOA且收斂精度都達(dá)到了100%。對(duì)于D=500和D=1000，GWOA對(duì)各函數(shù)的優(yōu)化性能在D=200的基礎(chǔ)上變化不大，與文獻(xiàn)[11]關(guān)于IWOA對(duì)高維優(yōu)化函數(shù)的強(qiáng)魯棒性具有相似的結(jié)論。而對(duì)于函數(shù)f4(x)，GWOA和IWOA在D=200的優(yōu)化值都達(dá)到了100%的收斂精度且非常接近理論值0，分別為4.75E-172和1.37E-206；對(duì)于函數(shù)f6(x)，GWOA的尋優(yōu)成功率在D=200和D=500時(shí)為40%低于IWOA的60%，而當(dāng)D=1000時(shí)，GWOA的尋優(yōu)成功率為30%要高于IWOA的20%。

表4 GWOA和IWOA對(duì)15個(gè)大規(guī)模測試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果比較

為了從統(tǒng)計(jì)角度說明GWOA與IWOA的優(yōu)化性能，GWOA與IWOA的Friedman’s Test和Wilcoxon ranksum test的結(jié)果見表5所示，以D=200進(jìn)行分析。

表5 GWOA、IWOA和WOA對(duì)13個(gè)測試函數(shù)尋優(yōu)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果(D=200)

由表5可知，GWOA的Friedman’s Test排序值為1.2833低于IWOA的1.7167。Wilcoxon ranksum test統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，GWOA有10個(gè)函數(shù)的優(yōu)化性能要優(yōu)于IWOA，有兩個(gè)函數(shù)的優(yōu)化性能要劣于IWOA，有3個(gè)函數(shù)的優(yōu)化性能與IWOA的優(yōu)化性能一致。

此外，為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的黃金分割搜索的有效性，選取了蟻群優(yōu)化算法(ACO)[20]作為驗(yàn)證算法，即在ACO中嵌入本文提出的黃金分割搜索算法形成GACO算法，用于對(duì)文獻(xiàn)[3]中的13個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行求解。ACO和GACO的參數(shù)設(shè)置參考文獻(xiàn)[20]，其余參數(shù)為：維數(shù)D=30，最大迭代次數(shù)tmax=500，黃金分割搜索的最大迭代次數(shù)t=60，通過10次獨(dú)立運(yùn)算實(shí)驗(yàn)，分別記錄他們的最優(yōu)值，平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差，其優(yōu)化結(jié)果如表6所示。

表6 ACO和GACO對(duì)13個(gè)低維標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的數(shù)值仿真結(jié)果

由表6可知，GACO除了在函數(shù)F8的優(yōu)化性能要劣于ACO外，在其余的12個(gè)函數(shù)上的優(yōu)化性能都要優(yōu)于ACO。這表明本文提出的黃金分割搜索算法能有效改善ACO算法的優(yōu)化性能。為了進(jìn)一步的驗(yàn)證本文提出的GWOA的優(yōu)化性能，由表2中GWOA與表6中GACO對(duì)13個(gè)測試函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果可知，GWOA算法在9個(gè)測試函數(shù)(F1,F2,F3,F4,F7,F9,F10,F12和F13)上的結(jié)果要優(yōu)于GACO，在2個(gè)測試函數(shù)(F6和F11)上結(jié)果相等，在2個(gè)函數(shù)(F5和F8)上的結(jié)果要劣于GACO。以上分析結(jié)果表明，本文提出的GWOA算法是有效的，相較于其他對(duì)比算法的優(yōu)化性能更好。

3.3 GWOA在電力負(fù)荷調(diào)度問題中的應(yīng)用

發(fā)電廠的運(yùn)行成本控制主要取決于發(fā)電機(jī)組的燃料成本，并通過最優(yōu)負(fù)荷調(diào)度達(dá)到最小化。最優(yōu)負(fù)荷調(diào)度(Optimal loaddispatch，OLD)問題，它被定義為通過對(duì)一組線上發(fā)電機(jī)組單元的發(fā)電成本控制以實(shí)現(xiàn)發(fā)電成本最小的目的，以滿足特定時(shí)間段的總電力需求[21]。OLD問題的主要目標(biāo)就是在滿足一定的等式和不等式約束條件下降低發(fā)電機(jī)的燃料成本。在該問題中，發(fā)電機(jī)的燃料成本被表示為成本曲線，并通過求解總發(fā)電總量等于總功率與發(fā)電損失的總和從而計(jì)算最小的發(fā)電運(yùn)營成本。

在傳統(tǒng)的求解最優(yōu)負(fù)荷調(diào)度問題的方法中，因?yàn)槊總€(gè)發(fā)電機(jī)的成本函數(shù)是用一個(gè)二次函數(shù)近似表示，所以必須采用迭代法、梯度法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃等[21]方法來求解。一般來說，這些方法在尋找全局最優(yōu)解時(shí)，通常只能提供局部最優(yōu)點(diǎn)。此外，傳統(tǒng)的方法還需要計(jì)算目標(biāo)問題的導(dǎo)數(shù)，并對(duì)優(yōu)化模型的函數(shù)的可導(dǎo)性和連續(xù)性進(jìn)行一定的檢驗(yàn)。為了克服這些缺點(diǎn)，許多基于自然啟發(fā)的群智能算法被用來對(duì)最優(yōu)負(fù)荷調(diào)度問題進(jìn)行求解。粒子群優(yōu)化算法是應(yīng)用于最優(yōu)負(fù)荷調(diào)度問題的著名元啟發(fā)式算法之一[22]。其他方法用于求解最優(yōu)負(fù)荷調(diào)度問題的還有諸如：差分進(jìn)化算法(DE)[23]、人工蜂群算法(ABC)[24]、模擬退火算法(SA)[25]等。

最優(yōu)負(fù)荷調(diào)度問題的目標(biāo)是在滿足不同約束條件下，并在滿足電力系統(tǒng)的必要負(fù)荷需求的同時(shí)，將總發(fā)電成本最小化。最小化目標(biāo)函數(shù)公式如下：

(16)

其中，F(xiàn)(Pg)表示總的燃料成本(Rs/h)；ai、bi和ci表示第i個(gè)發(fā)電機(jī)的燃料成本系數(shù)，單位分別為Rs/MW2，Rs/MW和Rs/h；n為發(fā)電機(jī)個(gè)數(shù)；Pgi表示發(fā)電機(jī)i的發(fā)電量。

1)能量平衡約束

所有發(fā)電機(jī)的總發(fā)電量與總的電量需求和相等(不考慮電量耗損的情況)：

(17)

其中，Pd表示電能需求量，單位為MW。

2)發(fā)電量約束

每臺(tái)發(fā)電機(jī)的實(shí)際發(fā)電量都要控制在其最低和最高的發(fā)電范圍內(nèi)：

(18)

本文選取兩種不同的電力優(yōu)化調(diào)度案例，并用GWOA來求解，以探索其優(yōu)化潛力，并與蟻獅優(yōu)化算法(ALO)[26]，粒子群優(yōu)化算法(PSO)[22]和螢火蟲優(yōu)化算法(FFA)[27]進(jìn)行對(duì)比，目標(biāo)函數(shù)在發(fā)電機(jī)組的功率范圍內(nèi)受限，同時(shí)也考慮了傳輸損耗。對(duì)每個(gè)測試用例執(zhí)行的迭代是500，在兩個(gè)測試用例中使用的搜索代理(Population)數(shù)量為30。

(1)測試案列1：3臺(tái)發(fā)電機(jī)組情況

三個(gè)發(fā)電機(jī)組的輸入數(shù)據(jù)如表7所示[26]。

表7 3臺(tái)發(fā)電機(jī)組的輸入?yún)?shù)

利用本文的GWOA算法求解3臺(tái)發(fā)電機(jī)組得到的數(shù)據(jù)如表8所示。

表8 GWOA和ALO對(duì)3臺(tái)發(fā)電機(jī)組系統(tǒng)的最優(yōu)負(fù)荷調(diào)度優(yōu)化結(jié)果

由表8的仿真結(jié)果可以看出GWOA對(duì)三臺(tái)發(fā)電機(jī)組的優(yōu)化調(diào)度問題求解比較理想，對(duì)于電能總需求為600MW來說，GWOA與ALO的優(yōu)化結(jié)果一致。對(duì)于電能總需求為500MW時(shí)，GWOA的優(yōu)化結(jié)果的總成本比ALO要稍高，但卻使得發(fā)電機(jī)P1和P2的發(fā)電負(fù)荷分別降低了0.198MW和1.72MW，P3增加1.47MW的發(fā)電負(fù)荷。對(duì)于電能總需求為400MW時(shí)，GWOA的優(yōu)化結(jié)果要優(yōu)于ALO。

(2)測試案列2：6臺(tái)發(fā)電機(jī)組情況

六個(gè)發(fā)電機(jī)組的輸入數(shù)據(jù)如表9所示[26]。

表9 6臺(tái)發(fā)電機(jī)組的輸入?yún)?shù)

利用本文的GWOA算法求解6臺(tái)發(fā)電機(jī)組得到的數(shù)據(jù)如表10所示。由表10可知，GWOA對(duì)6臺(tái)發(fā)電機(jī)組的優(yōu)化調(diào)度結(jié)果與ALO算法具有幾乎一致的仿真結(jié)果，除了總的用電需求為800MW的情形下，GWOA對(duì)發(fā)電機(jī)P2的發(fā)電負(fù)載分配為16.858與ALO的10有較大差異。對(duì)于總的用電需求為600MW時(shí)，GWOA的優(yōu)化性能與ALO幾乎一致，而對(duì)于總的用電需求為700MW時(shí)，GWOA要略優(yōu)于ALO。

表10 GWOA和ALO對(duì)6臺(tái)發(fā)電機(jī)組系統(tǒng)的最優(yōu)負(fù)荷調(diào)度優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié)論

通過引入黃金分割搜索算法對(duì)鯨魚優(yōu)化算法(WOA)的初始種群進(jìn)行優(yōu)化，使得初始種群能夠一開始就聚集到全局最優(yōu)解附近，有效的提高了WOA算法的尋優(yōu)精度和全局尋優(yōu)能力，同時(shí)利用黃金分割初始化種群所得到的變區(qū)間進(jìn)行變區(qū)間黃金分割非均勻變異，增加了WOA粒子的多樣性和跳出局部最優(yōu)的能力。通過標(biāo)準(zhǔn)的測試函數(shù)進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果和統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明GWOA相對(duì)于IWOA和WOA，優(yōu)化性能得到了有效改善，同時(shí)大規(guī)模維數(shù)的仿真結(jié)果也表明GWOA有較強(qiáng)的魯棒性。此外，利用本文的黃金分割算法用于改進(jìn)ACO，并取得了較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了改進(jìn)黃金分割搜索算法的有效性。最后，結(jié)合兩個(gè)不同電力負(fù)荷優(yōu)化調(diào)度問題進(jìn)行工程優(yōu)化應(yīng)用，結(jié)果表明GWOA在電力負(fù)荷調(diào)度問題中的優(yōu)化應(yīng)用是高效的。下一步的研究應(yīng)用將會(huì)推廣到更多的工程和管理實(shí)踐中，并結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于預(yù)測和分類。