于冬梅，高雷阜，趙世杰

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 優(yōu)化與決策研究所，遼寧 阜新 123000; 2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 運(yùn)籌與優(yōu)化研究院，遼寧 阜新 123000)

0 引言

應(yīng)急設(shè)施選址布局決策是支撐并促進(jìn)應(yīng)急管理體系發(fā)展的關(guān)鍵問題，對應(yīng)急響應(yīng)和應(yīng)急資源的合理分配具有根本影響，是應(yīng)急服務(wù)網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃建設(shè)的核心決策，將在很大程度上影響整個(gè)應(yīng)急服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)效率和應(yīng)急響應(yīng)的能力。應(yīng)急設(shè)施選址-分配優(yōu)化模型的構(gòu)建及其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的優(yōu)化方案是災(zāi)前預(yù)置應(yīng)急設(shè)施選址網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容，決定了應(yīng)急設(shè)施和其提供服務(wù)的應(yīng)急需求點(diǎn)之間的應(yīng)急資源分配的映射關(guān)系。隨著突發(fā)災(zāi)害事件下決策環(huán)境的復(fù)雜化，選址布局網(wǎng)絡(luò)面臨各種中斷風(fēng)險(xiǎn)，決策者在模型構(gòu)建時(shí)需關(guān)注多種目標(biāo)，均衡多重約束，充分考慮中斷情境下應(yīng)急設(shè)施的非完全可靠性，確保設(shè)施一旦發(fā)生中斷，應(yīng)急服務(wù)系統(tǒng)和應(yīng)急服務(wù)網(wǎng)絡(luò)仍能處于良好的運(yùn)行狀態(tài)。

考慮設(shè)施中斷風(fēng)險(xiǎn)的可靠性選址模型由Snyder和Daskin[1]首先提出，相關(guān)擴(kuò)展問題的選址研究多為單目標(biāo)模型，而考慮中斷風(fēng)險(xiǎn)和防御的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化模型的研究相對較少。文獻(xiàn)[2]基于設(shè)施的中斷風(fēng)險(xiǎn)考慮加固費(fèi)用建立可靠性P-中位模型和固定費(fèi)用下無容量限制的選址模型，提出拉格朗日松弛(LR)方法求解模型，給出了資源的結(jié)構(gòu)分配，為設(shè)施中斷情形下預(yù)算決策的制定提供參考。Afify等[3]基于P-中位模型(PMP)和無容量限制設(shè)施選址問題(UFL)，考慮設(shè)施中斷對選址布局網(wǎng)絡(luò)的影響，在加固費(fèi)用預(yù)算下建立抵御中斷風(fēng)險(xiǎn)的可靠性選址布局優(yōu)化模型RPMP和RUFL，設(shè)計(jì)進(jìn)化算法求得問題的近似解。Zhang等[4]考慮競爭設(shè)施選址問題中設(shè)施存在中斷的風(fēng)險(xiǎn)，將其建模為Stackelberg博弈問題，將領(lǐng)導(dǎo)者的決策問題建模為雙層優(yōu)化問題，提出了一種變鄰域分解搜索算法求解模型，選址優(yōu)化方案促進(jìn)了設(shè)施網(wǎng)絡(luò)的可靠性。范厚明等[5]圍繞內(nèi)陸港選址決策問題，考慮了包括多種交通方式的聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)(涵蓋鐵路、公路及內(nèi)河)，建立考慮不確定需求和路徑失靈概率的內(nèi)陸港選址布局魯棒優(yōu)化決策模型和隨機(jī)優(yōu)化決策模型，提出模擬退火-粒子群混合優(yōu)化算法對模型予以求解和分析，以降低不確定中斷因素誘發(fā)的風(fēng)險(xiǎn)。Farahani等[6]建立可靠性最大覆蓋選址模型，中斷情境下以覆蓋總需求量最大為優(yōu)化目標(biāo)，建立無容量約束的混合整數(shù)規(guī)劃模型，并提出耦合人工蜂群算法求解所構(gòu)建的模型。Li和Ouyang[7]考慮設(shè)施中斷的連鎖反應(yīng)，具有相互關(guān)聯(lián)的中斷概率，建立固定費(fèi)用可靠性選址模型，并設(shè)計(jì)連續(xù)化近似求解方法。Rayat等[8]從多目標(biāo)的角度出發(fā)提出了考慮中斷因素的選址-分配-庫存集成問題，基于部分覆蓋設(shè)計(jì)雙目標(biāo)選址-分配優(yōu)化模型，同時(shí)考慮選址模型中的經(jīng)濟(jì)成本和設(shè)施中斷損失，并根據(jù)中斷概率確定設(shè)施選址方案和優(yōu)化路徑的選擇。文獻(xiàn)[9]研究最小最大設(shè)施選址與加固問題，將設(shè)施選址與抵御中斷風(fēng)險(xiǎn)的加固決策結(jié)合起來，建立以最小化最大服務(wù)距離及最小化建立設(shè)施數(shù)量為目標(biāo)的多目標(biāo)選址優(yōu)化模型，但假設(shè)應(yīng)急設(shè)施的服務(wù)質(zhì)量相同，并基于權(quán)因子方法將混合整數(shù)規(guī)劃多目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)模型，采用基于二元搜索的三階段啟發(fā)式算法改進(jìn)解的空間。Garg等[10]針對冗余分配問題考慮系統(tǒng)的中斷風(fēng)險(xiǎn)建立多目標(biāo)可靠優(yōu)化模型，以系統(tǒng)可靠性和相應(yīng)的設(shè)計(jì)成本作為不同的優(yōu)化目標(biāo)，提出粒子群算法(PSO)實(shí)現(xiàn)對所建立模型的求解，以實(shí)例驗(yàn)證模型的有效性。Karatas等[11]考慮了應(yīng)急設(shè)施選址決策的可靠性及分配資源的公平性，融合了經(jīng)典選址模型中p-中位模型、p-中心模型及最大覆蓋模型的優(yōu)化目標(biāo)，但假設(shè)設(shè)施的服務(wù)能力是無限的，提出分支定界算法并嵌入迭代全局搜索技術(shù)求解模型，獲得多目標(biāo)決策的Pareto邊界。更多在選址決策中考慮設(shè)施中斷風(fēng)險(xiǎn)的文獻(xiàn)參見[12～16]。

綜上所述，迄今為止的研究表明中斷情境對選址-分配方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)影響顯著，已有考慮設(shè)施中斷風(fēng)險(xiǎn)的設(shè)施選址模型大多為單目標(biāo)優(yōu)化模型，且大多不考慮設(shè)施的容量約束，而已有多目標(biāo)優(yōu)化模型鮮有考慮應(yīng)急設(shè)施的服務(wù)質(zhì)量的優(yōu)化目標(biāo)、考慮抵御中斷風(fēng)險(xiǎn)的加固成本以及考慮加固預(yù)算約束集成優(yōu)化的研究?；诖?，綜合考慮經(jīng)濟(jì)性和服務(wù)質(zhì)量及最大最小容量約束限制，建立考慮中斷風(fēng)險(xiǎn)的可靠性應(yīng)急設(shè)施選址分配雙目標(biāo)優(yōu)化模型。以最小化系統(tǒng)運(yùn)行成本為目標(biāo)反映經(jīng)濟(jì)性，以最大化期望服務(wù)水平反應(yīng)服務(wù)質(zhì)量，從而在中斷環(huán)境下合理配置資源，提高應(yīng)急設(shè)施的可靠性和抵御中斷風(fēng)險(xiǎn)的能力。

多目標(biāo)優(yōu)化問題的解存在沖突的情形，若某個(gè)目標(biāo)達(dá)到了求解的要求，但會(huì)影響到相關(guān)其他目標(biāo)解的質(zhì)量，各目標(biāo)間的設(shè)定有時(shí)甚至是矛盾的，需對多個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行折中處理，相互權(quán)衡以尋求合適的解決方案，本文利用非支配排序多目標(biāo)遺傳算法(Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ, NSGA-Ⅱ)對模型予以求解，獲得Pareto非支配解集。

1 問題描述及數(shù)學(xué)模型

1.1 問題描述

考慮應(yīng)急設(shè)施的中斷風(fēng)險(xiǎn)和加固預(yù)算構(gòu)建應(yīng)急設(shè)施可靠性雙目標(biāo)優(yōu)化模型，從抵御中斷風(fēng)險(xiǎn)的視角以系統(tǒng)成本最小化即應(yīng)急設(shè)施的建立成本和抵御設(shè)施中斷的加固成本為目標(biāo)反映成本經(jīng)濟(jì)性，從應(yīng)急設(shè)施服務(wù)質(zhì)量的視角以最大化覆蓋服務(wù)質(zhì)量水平為目標(biāo)反映服務(wù)質(zhì)量的可靠性，同時(shí)均衡考慮加固預(yù)算約束和最小最大容量約束，確定應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)的位置、需求點(diǎn)在各個(gè)應(yīng)急設(shè)施之間的分配及選址-分配網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

應(yīng)急服務(wù)質(zhì)量反映應(yīng)急設(shè)施滿足應(yīng)急需求點(diǎn)的服務(wù)能力程度，即應(yīng)急設(shè)施對需求點(diǎn)的服務(wù)水平或服務(wù)感知度，需求點(diǎn)對應(yīng)急服務(wù)質(zhì)量需求具有異質(zhì)性，隨著應(yīng)急設(shè)施與需求點(diǎn)之間距離的變化，應(yīng)急服務(wù)質(zhì)量隨之發(fā)生變化，基于此，引入應(yīng)急設(shè)施選址布局決策中的應(yīng)急服務(wù)質(zhì)量覆蓋函數(shù)，亦稱其為服務(wù)水平函數(shù)或覆蓋度，刻畫應(yīng)急需求點(diǎn)感知應(yīng)急服務(wù)質(zhì)量的滿意度(因變量)與服務(wù)距離，即應(yīng)急設(shè)施響應(yīng)應(yīng)急需求點(diǎn)覆蓋距離要求(自變量)的數(shù)學(xué)關(guān)系式。通過應(yīng)急需求點(diǎn)對覆蓋服務(wù)質(zhì)量的滿意度與應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)和應(yīng)急需求點(diǎn)之間的距離函數(shù)關(guān)系，刻畫不同應(yīng)急資源需求點(diǎn)對應(yīng)急設(shè)施提供應(yīng)急響應(yīng)的覆蓋服務(wù)質(zhì)量的異質(zhì)性，進(jìn)而保證選址決策的科學(xué)性。

考慮應(yīng)急需求點(diǎn)對應(yīng)急服務(wù)質(zhì)量滿意度的異質(zhì)性，本文通過服務(wù)質(zhì)量覆蓋函數(shù)刻畫不同需求點(diǎn)對應(yīng)急設(shè)施提供應(yīng)急響應(yīng)的覆蓋服務(wù)質(zhì)量的異質(zhì)性，實(shí)現(xiàn)多級服務(wù)質(zhì)量覆蓋。設(shè)d(i,j)為第i個(gè)應(yīng)急設(shè)施與第j個(gè)需求點(diǎn)的距離，rs為應(yīng)急需求點(diǎn)獲得應(yīng)急設(shè)施覆蓋的最小臨界距離，ru為應(yīng)急需求點(diǎn)獲得應(yīng)急設(shè)施覆蓋的最大臨界距離，rs≤ru，引入如下指數(shù)型非線性覆蓋函數(shù)[17]。

其中，re(re

圖1 服務(wù)質(zhì)量敏感程度因子取值不同的函數(shù)圖像

本文考慮應(yīng)急設(shè)施中斷的情境，設(shè)N為需求點(diǎn)集合，N={1,2,…,n}，i∈N，P為備選應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)集合，P={1,2,…,m}，j∈P，p為設(shè)立應(yīng)急設(shè)施的數(shù)量，hi為第i個(gè)需求點(diǎn)的應(yīng)急資源需求，cij為第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施到第i個(gè)需求點(diǎn)的單位需求的運(yùn)輸成本，wij表示第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施分配給第i個(gè)需求點(diǎn)的應(yīng)急資源量，Ljs，Lju為應(yīng)急設(shè)施的最小和最大容量，d(i,j)為第i個(gè)需求點(diǎn)與第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施之間的距離，qj為第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施的中斷概率，0≤qj≤1，即一個(gè)常規(guī)的應(yīng)急設(shè)施若在j處建立，則該設(shè)施以qj的概率發(fā)生中斷，fcj為在j處建立常規(guī)應(yīng)急設(shè)施的固定建設(shè)費(fèi)用，相應(yīng)的常規(guī)應(yīng)急設(shè)施可基于一定的加固手段使其成為可靠的應(yīng)急設(shè)施，但需提供額外的加固費(fèi)用，scj為第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施考慮中斷風(fēng)險(xiǎn)的固定投入費(fèi)用，rcj為第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施中斷時(shí)的加固費(fèi)用，B為應(yīng)急設(shè)施加固費(fèi)用的預(yù)算。xj表示若第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施設(shè)立則為1，否則為0，zj表示若第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施被加固則為1，否則為0，yij0表示第i個(gè)需求點(diǎn)由第j個(gè)常規(guī)應(yīng)急設(shè)施作為主設(shè)施為其提供服務(wù)則為1，否則為0，yij1表示第i個(gè)需求點(diǎn)由第j個(gè)備用應(yīng)急設(shè)施作為主設(shè)施為其提供服務(wù)則為1，否則為0。

1.2 數(shù)學(xué)模型

基于上述條件，建立考慮應(yīng)急設(shè)施中斷風(fēng)險(xiǎn)的可靠性雙目標(biāo)優(yōu)化模型。

目標(biāo)函數(shù)為：

(1)

(2)

約束條件為:

(11)

上述多目標(biāo)優(yōu)化模型在數(shù)學(xué)上呈現(xiàn)NP-難的特點(diǎn)，存在不確定數(shù)量的非劣解集，相比于單目標(biāo)決策模型求解最優(yōu)值，多目標(biāo)決策的核心問題是在協(xié)調(diào)多個(gè)目標(biāo)之間的關(guān)系，找到一個(gè)合理的最優(yōu)解集，NSGA-II在多目標(biāo)解空間直接搜索尋優(yōu)，無需轉(zhuǎn)化多目標(biāo)為單目標(biāo)，因其在求解多目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)的良好的優(yōu)化效果而得到推廣和廣泛的應(yīng)用。本文充分考慮所構(gòu)建模型的特點(diǎn)，利用NSGA-Ⅱ?qū)λ⒍嗄繕?biāo)優(yōu)化模型予以求解和決策分析。

2 模型求解

考慮應(yīng)急設(shè)施中斷風(fēng)險(xiǎn)的可靠性多目標(biāo)優(yōu)化模型的求解中，由于目標(biāo)之間存在不一致性，難以同時(shí)達(dá)到最優(yōu)解，一組解集上的任何一個(gè)目標(biāo)值都不可能使自身目標(biāo)不受損而改善其他目標(biāo)，因此，目標(biāo)解集為帕累托最優(yōu)狀態(tài)。帶精英保留策略的快速非支配排序遺傳算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ, NSGA-II)是印度學(xué)者Deb等[18]基于非支配排序遺傳算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA)的啟發(fā)而提出的一種多目標(biāo)優(yōu)化算法，該算法作為當(dāng)前最受歡迎和應(yīng)用最為廣泛的多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法之一，具有算法計(jì)算復(fù)雜度相對低，Pareto最優(yōu)解集收斂效果好、易于編程實(shí)現(xiàn)、具有潛在的并行性和分布式等優(yōu)良特點(diǎn)。已有研究成果表明，NSGA-II較多目標(biāo)差分進(jìn)化算法(MODE)、多目標(biāo)粒子群算法(MPSO)、遺傳算法(GA)等具有更好的優(yōu)化效果[19～23]，許多多目標(biāo)優(yōu)化算法已將其作為衡量算法性能的測試基準(zhǔn)?；诖?，本文采用NSGA-II實(shí)現(xiàn)所構(gòu)建多目標(biāo)優(yōu)化模型的求解。

NSGA-II通過采用基于分級的快速非支配排序、精英策略、擁擠距離和擁擠度比較算子等策略設(shè)計(jì)算法和提高算法的性能及優(yōu)化解的精度[24]。通過權(quán)衡模型中兩個(gè)子目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系，找到使兩個(gè)子目標(biāo)都能達(dá)到最優(yōu)的Pareto解集。本文設(shè)計(jì)算法將種群個(gè)體(應(yīng)急設(shè)施點(diǎn))映射為搜索空間中的點(diǎn)。個(gè)體遺傳行為操作的過程相當(dāng)于搜索尋優(yōu)的過程，個(gè)體位置的優(yōu)劣度量優(yōu)化的各個(gè)目標(biāo)，可行解集的更新迭代過程突顯出個(gè)體優(yōu)勝劣汰的過程。

下面給出NSGA-II求解考慮應(yīng)急設(shè)施中斷風(fēng)險(xiǎn)和防御的可靠性雙目標(biāo)優(yōu)化模型的具體流程。

Step1模型相關(guān)參數(shù)的設(shè)置及初始化：應(yīng)急設(shè)施建立的固定費(fèi)用fcj，第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施加固的固定費(fèi)用scj，第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施中斷時(shí)的加固費(fèi)用rcj，應(yīng)急設(shè)施加固費(fèi)用的預(yù)算B。每個(gè)需求點(diǎn)的需求量hi，應(yīng)急設(shè)施的最小和最大容量Ljs和Lju，每個(gè)應(yīng)急設(shè)施的中斷概率qj，第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施到第i個(gè)需求點(diǎn)的單位需求運(yùn)輸成本cij，覆蓋服務(wù)質(zhì)量敏感程度因子k，m，各應(yīng)急設(shè)施覆蓋需求點(diǎn)的最小、最大臨界距離rs和ru，度量距離的擾動(dòng)re。NSGA-II中需要設(shè)置的參數(shù)有：種群規(guī)模Ng，最大迭代次數(shù)Itermax，交叉概率α，變異概率β。

Step2隨機(jī)地產(chǎn)生種群規(guī)模為Ng的某一個(gè)初始種群P0，將其作為父代種群，準(zhǔn)備進(jìn)行非支配排序操作處理。

Step3目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度值的優(yōu)化計(jì)算與快速非支配排序。計(jì)算每一個(gè)體相應(yīng)的分目標(biāo)適應(yīng)度值，即求解模型中的兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，基于目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度值利用快速非支配排序方法進(jìn)行非劣分層，種群中的個(gè)體將被分配到不同的非支配前端集合中。在進(jìn)行非支配排序分層的同時(shí)，基于每一個(gè)體的相應(yīng)分目標(biāo)適應(yīng)度值一并計(jì)算每個(gè)非支配前端集合中個(gè)體的擁擠距離，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)之間的差異值，計(jì)算擁擠度值，進(jìn)而判斷一個(gè)種群中某個(gè)特定解附近的種群密度。擁擠密度越小，則個(gè)體目標(biāo)在該處的分散程度趨于越低，解包圍的強(qiáng)度趨于越大，展現(xiàn)出較高的多樣性特征?；诙\標(biāo)賽方式隨機(jī)選擇種群中的兩個(gè)體，比較處于各個(gè)非支配前端集合中個(gè)體間的擁擠密度，將密度小的對應(yīng)個(gè)體構(gòu)成種群Ag1。

Step4基于遺傳算法(GA)的行為操作。對種群Ag1進(jìn)行包括交叉和變異的遺傳算法行為操作，產(chǎn)生新的個(gè)體進(jìn)入種群中并生成規(guī)模為Ng的第一代后代種群Q0。

Step5種群的合并。將父代種群P0和子代種群Q0中的所有個(gè)體合并為規(guī)模為2Ng的種群P0∪Q0，新的種群記為R0。

Step6計(jì)算R0中每個(gè)個(gè)體相應(yīng)的分目標(biāo)適應(yīng)度值，基于Step3的快速非支配排序方式，進(jìn)行新一輪排序和非劣分層，同時(shí)計(jì)算各個(gè)非支配分層中個(gè)體間的擁擠距離及擁擠度，選擇新的最優(yōu)產(chǎn)生的種群中的個(gè)體使之構(gòu)成新的父代種群P1，基于遺傳算法的行為操作依次產(chǎn)生下一代子群。

Step7判斷Itermax是否達(dá)到預(yù)先設(shè)定的最大迭代次數(shù)，若達(dá)到則輸出每個(gè)個(gè)體最優(yōu)的適應(yīng)度值和最優(yōu)個(gè)體，反之，迭代次數(shù)增加1并跳轉(zhuǎn)執(zhí)行Step2，直至獲得最優(yōu)的Pareto非劣解集。

3 算例分析

為了驗(yàn)證所構(gòu)建模型及算法的可行性，本文通過隨機(jī)生成算例進(jìn)行決策分析，確定最優(yōu)選址方案和應(yīng)急資源分配方案，確定擬建應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)選址布局網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)需求點(diǎn)的應(yīng)急資源需求。潛在的應(yīng)急需求點(diǎn)既作為受災(zāi)需求點(diǎn)同時(shí)也是候選應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)，基于不同規(guī)模的節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)求解多目標(biāo)優(yōu)化模型，在相同條件下比較不同中斷情境下的選址優(yōu)化結(jié)果，相互權(quán)衡確定最優(yōu)目標(biāo)值，獲得系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)成本和覆蓋服務(wù)質(zhì)量之間的Pareto最優(yōu)解集，給出Pareto最優(yōu)解集的分布展示，同時(shí)給出應(yīng)急設(shè)施選址布局網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。以2015a為操作平臺(tái)，在Intel(R)，Core(TM) i7- 6500U CPU，2.50 GHz，8.00 GB內(nèi)存，Windows10操作系統(tǒng)的PC機(jī)上執(zhí)行算法。

表1 各個(gè)應(yīng)急設(shè)施覆蓋的最小最大臨界距離

在[0,200]×[0,200]的平面區(qū)域上隨機(jī)產(chǎn)生潛在的需求點(diǎn)，應(yīng)急設(shè)施建立的固定費(fèi)用fcj在[600,800]內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施抵御中斷風(fēng)險(xiǎn)的固定投入費(fèi)用scj在[200,300]內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施中斷時(shí)的加固費(fèi)用rcj在[150,200]內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，應(yīng)急設(shè)施加固費(fèi)用的預(yù)算B在[2000,3000]內(nèi)以隨機(jī)方式產(chǎn)生，每一需求點(diǎn)的需求量hi在[90,120]內(nèi)隨機(jī)生成，應(yīng)急設(shè)施的最小和最大容量Ljs和Lju在[80,120]和[450,600]內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，第j個(gè)應(yīng)急設(shè)施到第i個(gè)需求點(diǎn)的單位需求運(yùn)輸成本cij在[6,8]內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，中斷概率pj在[0.1,0.5]內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，覆蓋服務(wù)質(zhì)量敏感程度因子k=0.5，m=0.1，度量距離的擾動(dòng)re在[0.1,0.5]內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生。相應(yīng)需求點(diǎn)的最小臨界距離和最大臨界距離見表1。設(shè)置種群規(guī)模Ng=100，交叉概率α=0.8，變異概率β=0.01，最大迭代次數(shù)Itermax=300。

首先，基于NSGA-II求解考慮應(yīng)急設(shè)施中斷風(fēng)險(xiǎn)的可靠性選址模型，基于算例的不同規(guī)模，獲得10組算例的優(yōu)化結(jié)果見表2。

表2 不同算例規(guī)模下的選址優(yōu)化結(jié)果

從優(yōu)化計(jì)算的結(jié)果可以看出，對于不同規(guī)模選址網(wǎng)絡(luò)的算例，隨著需求點(diǎn)規(guī)模增加及擬建應(yīng)急設(shè)施數(shù)量的增加，選址的總成本隨之增加。在規(guī)模(節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù))及其他參數(shù)設(shè)置相同的情況下，應(yīng)急設(shè)施中斷概率的變化對最優(yōu)選址方案的影響顯著，應(yīng)急設(shè)施中斷概率增大時(shí)選址的總成本逐漸增加，覆蓋服務(wù)質(zhì)量降低，兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間呈現(xiàn)此消彼長的關(guān)系，獲得系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)成本與覆蓋服務(wù)質(zhì)量之間的均衡。由此可見，當(dāng)決策者考慮應(yīng)急設(shè)施中斷風(fēng)險(xiǎn)趨于樂觀時(shí)，設(shè)計(jì)的選址-分配網(wǎng)絡(luò)更精益，總成本相對較小，而當(dāng)始料未及的災(zāi)害事件發(fā)生時(shí)，網(wǎng)絡(luò)將會(huì)受到較大的沖擊，因此，決策者可以基于不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好和決策目標(biāo)在節(jié)約成本和提高服務(wù)質(zhì)量之間權(quán)衡。

以算例6為例，針對26個(gè)潛在需求點(diǎn)，擬建立6個(gè)應(yīng)急設(shè)施的選址節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，以可視化的形式給出選址布局決策的Pareto前沿，算法經(jīng)過300次的迭代尋優(yōu)，所構(gòu)成的Pareto最優(yōu)前沿如圖2所示。

圖2 Pareto最優(yōu)前沿和非劣代表解

圖3 應(yīng)急設(shè)施選址-分配網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

下面分析應(yīng)急設(shè)施中斷對選址-分配決策的影響，考慮不同的應(yīng)急設(shè)施中斷概率，基于上述26個(gè)節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)確定6個(gè)應(yīng)急設(shè)施的選址布局決策，首先以可視化的形式給出不同中斷概率下目標(biāo)空間內(nèi)的Pareto解最優(yōu)前沿的分布展示，如圖4～7所示。

圖4 pj=0.05時(shí)Pareto最優(yōu)解集的分布

圖5 pj=0.1時(shí)Pareto最優(yōu)解集的分布

圖6 pj=0.15時(shí)Pareto最優(yōu)解集的分布

圖7 pj=0.2時(shí)Pareto最優(yōu)解集的分布

如圖所示的Pareto非劣解集類似空間中的一條不連續(xù)分布的曲線，其函數(shù)圖像曲線上的每個(gè)點(diǎn)代表多目標(biāo)選址模型的一個(gè)非劣解，且相應(yīng)的解集中的各個(gè)非劣解之間沒有好壞解之分，該曲線由124個(gè)非劣解在目標(biāo)空間相對較均勻分布而成。在所得Pareto最優(yōu)解集中，目標(biāo)函數(shù)之間呈現(xiàn)此消彼長的關(guān)系。從函數(shù)圖像可以看出，系統(tǒng)的總成本、期望服務(wù)質(zhì)量水平兩個(gè)目標(biāo)之間是相互對立和相互關(guān)聯(lián)的，當(dāng)某一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值發(fā)生變化必將引起另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的變化。函數(shù)圖像曲線上的各點(diǎn)是兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的非劣組合，當(dāng)選址決策的目標(biāo)趨向于成本控制的視角考慮時(shí)，則在曲線中靠近目標(biāo)函數(shù)z1的左上半支中選擇相對折中的解，當(dāng)選址決策的目標(biāo)更趨向于服務(wù)質(zhì)量水平較好的視角考慮時(shí)，則在曲線中靠近目標(biāo)函數(shù)z2的右下半支中選擇相對折中解，但會(huì)以付出較高的系統(tǒng)成本為代價(jià)。

進(jìn)一步以可視化的形式給出不同中斷概率下的應(yīng)急設(shè)施選址-分配網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。基于上述26個(gè)節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，利用NSGA-II確定6個(gè)應(yīng)急設(shè)施的選址布局決策和應(yīng)急資源分配決策，在不同的中斷概率下，應(yīng)急設(shè)施選址-分配服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖8～11所示。

以上通過對應(yīng)急設(shè)施中斷的情形以不同的概率大小進(jìn)行刻畫，獲得不同的選址-分配方案。圖中小圓形表示需求點(diǎn)的位置，菱形表示應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)的位置，菱形與小圓形之間的連線表示對應(yīng)的應(yīng)急資源分配。不同的中斷概率使應(yīng)急設(shè)施選址-分配網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)截然不同，各應(yīng)急設(shè)施點(diǎn)在不同的選址網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下服務(wù)分配發(fā)生改變。在抵御中斷風(fēng)險(xiǎn)和進(jìn)行多目標(biāo)決策時(shí)，決策者需基于不同的中斷風(fēng)險(xiǎn)偏好和具體實(shí)際在成本經(jīng)濟(jì)性和覆蓋服務(wù)質(zhì)量可靠性之間作出相應(yīng)的權(quán)衡，由此確定應(yīng)急設(shè)施的選址-分配方案。

圖8 pj=0.05時(shí)選址-分配網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖9 pj=0.1時(shí)選址-分配網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖10 pj=0.15時(shí)選址-分配網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖11 pj=0.2時(shí)選址-分配網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

4 結(jié)論

本文考慮應(yīng)急設(shè)施的中斷風(fēng)險(xiǎn)，基于應(yīng)急設(shè)施的系統(tǒng)成本最小化及覆蓋服務(wù)質(zhì)量最大化，在考慮應(yīng)急設(shè)施中斷時(shí)的加固預(yù)算有限的前提下，均衡多重約束條件建立可靠性多目標(biāo)選址布局決策模型，基于模型特點(diǎn)利用NSGA-Ⅱ?qū)崿F(xiàn)對模型的優(yōu)化求解，并通過隨機(jī)生成的數(shù)值算例驗(yàn)證模型和算法的可行性，獲得不同規(guī)模的可行度較高的多目標(biāo)選址模型的Pareto非劣解集。基于不同的中斷概率進(jìn)行靈敏度分析，分別獲得Pareto最優(yōu)解集的分布，同時(shí)給出應(yīng)急設(shè)施選址-分配網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，以利于決策者基于不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好在Pareto前沿面上獲得最優(yōu)的選址分配方案。