陳正能，郝淑英，馮晶晶

（天津理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室

機(jī)電工程國家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心（天津理工大學(xué)），天津300384）

懸臂梁是最為常見的工程結(jié)構(gòu)之一，該結(jié)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、剛度低和固有頻率小等特點(diǎn).一方面，懸臂梁由于具有低剛度的特性，而常應(yīng)用于傳感器結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)[1-4].此外，懸臂梁也被廣泛應(yīng)用在土木工程[5-7]中，例如樓房建設(shè)所用到塔吊，房屋選用的挑梁式陽臺(tái)以及部分懸臂式的橋梁結(jié)構(gòu)等.席豐等[8]研究了矩形梁自由端在瞬態(tài)集中質(zhì)量沖擊下的剛-塑性動(dòng)力響應(yīng).康厚軍等[9]針對(duì)帶集中質(zhì)量?jī)啥算q接斜拉索的動(dòng)力學(xué)問題，研究了在正弦激勵(lì)下集中質(zhì)量的大小和位置對(duì)拉索面動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響.在壓電方面，由于低頻共振和低剛度的特性能有效的提高振動(dòng)壓電俘能效率，因此，懸臂梁也常被作為振動(dòng)俘能器中的振子結(jié)構(gòu)[10-12].

懸臂梁結(jié)構(gòu)在應(yīng)用時(shí)都難免出現(xiàn)自由端應(yīng)力集中的情況.根據(jù)應(yīng)用途徑的不同，集中質(zhì)量可能產(chǎn)生正面或負(fù)面的影響.正面的影響上，例如作為壓電振子懸臂梁自由端施加集中質(zhì)量可顯著降低固有頻率，且提高響應(yīng)振幅.相反，負(fù)面的影響例如塔吊工作時(shí)，其懸臂結(jié)構(gòu)的自由端施加的集中質(zhì)量會(huì)使得固有頻率降低且響應(yīng)振幅提高，而環(huán)境中存在振動(dòng)的大多為低頻振動(dòng).由此可知，環(huán)境中的振動(dòng)因素對(duì)塔吊的影響會(huì)在自由端集中質(zhì)量出現(xiàn)后增大.綜上所述，自由端集中質(zhì)量對(duì)懸臂梁相關(guān)振動(dòng)特性的研究也就具有了重要的意義.

本文將建立受自由端集中質(zhì)量影響下的振動(dòng)控制方程.通過求解模態(tài)，分析集中質(zhì)量和梁質(zhì)量之比對(duì)各階模態(tài)下的固有頻率、彎曲應(yīng)力分布以及撓度幅頻響應(yīng)等相關(guān)振動(dòng)特性的影響.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 梁橫向振動(dòng)的通解方程

基于歐拉伯努利梁建立橫向自由振動(dòng)方程[13]

式中，EI和ρA分別為梁的剛度和單位長(zhǎng)度質(zhì)量；m為自由端物塊的質(zhì)量；Q（x，t）為外激加速度.利用伽遼金法將撓度y（x，t）離散為

其中，i為模態(tài)階數(shù).將方程（2）代入（1）方程，整理得：

式中，由于左側(cè)等號(hào)的兩端分別是僅關(guān)于變量x和僅關(guān)于變量t的函數(shù)，因此所得結(jié)果必為常數(shù)，記為-ω2.由方程可導(dǎo)出

其中，C1，C2，C3和C4為積分常數(shù).

1.2 自由端有集中質(zhì)量的懸臂梁

自由端具有集中質(zhì)量的懸臂梁結(jié)構(gòu)如圖1所示.

懸臂梁的四個(gè)邊界條件分別由撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力推導(dǎo)獲得.其中，固定端撓度、固定端轉(zhuǎn)角和自由端彎矩均為零.振動(dòng)時(shí)，自由端的質(zhì)量塊會(huì)產(chǎn)生慣性力，因此，振動(dòng)時(shí)的自由端剪力等于質(zhì)量塊的慣性力.上述可表示為

圖1 自由端具有集中質(zhì)量的懸臂梁結(jié)構(gòu)Fig.1 Cantilever structure with concentrated mass at free end

再將方程（2）、（3）代入方程（6），整理可得到由模態(tài)函數(shù)表示的邊界條件

將邊界條件方程代入模態(tài)的通解方程，所得方程組由矩陣形式表示為

其中，λ=m/ρAL為質(zhì)量塊質(zhì)量與梁質(zhì)量的比.將P1i，P2i，P3i，P4i和方程（12）代回方程（11），進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到其頻率方程為

方程（13）可利用數(shù)值方法獲得βi的解，再將所得解和方程（12）代回方程（8）～（10）便可求得系數(shù)矩陣Ci.最后，將βi與Ci代回通解（5）方程，可得到對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)

此外，由模態(tài)的正交性可知，固有頻率ωi滿足：

2 集中質(zhì)量對(duì)固有頻率與彎曲應(yīng)力的影響

2.1 固有頻率

為研究質(zhì)量比λ對(duì)各階模態(tài)下固有頻率的影響，令λ為變量.通過關(guān)系式λ=m/ρAL和方程（15）可知，固有頻率ωi為關(guān)于λ的因變量且成反比.對(duì)固有頻率進(jìn)行無量綱處理，表示為

則方程（15）可變換為

結(jié)合所得模態(tài)函數(shù)（16）和方程（17），可得到質(zhì)量比λ和頻率比μi的關(guān)系如圖2所示.其中，梁的相關(guān)物理參數(shù)為：長(zhǎng)L=1 m，寬b=0.1 m，厚h=0.02 m，密度ρ=2 700 kg/m3，彈性模量E=7.1×1010Pa.

圖2 自由端集中質(zhì)量對(duì)各階固有頻率影響Fig.2 Influence of free end concentrated mass on natural frequencies

由圖2可看出，隨著集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比λ的增加，各階模態(tài)下的μi隨之增加并逐漸趨于平緩.當(dāng)λ=2時(shí)，一階固有頻率比μ1=0.344；在相同條件下，μ2、μ3、μ4和μ5分 別 為0.769、0.856、0.896和0.919.由此可知，λ對(duì)高階固有頻率影響小于低階固有頻率，且一階固有頻率受λ影響遠(yuǎn)大于其他階固有頻率.

2.2 應(yīng)力分析

由邊界條件矩陣Z可知，自由端集中質(zhì)量的存在也會(huì)影響最終求解的模態(tài)函數(shù).再結(jié)合材料力學(xué)[14]知識(shí)可得，懸臂梁彎曲時(shí)的表面應(yīng)力為

顯然，由方程（18）可知，模態(tài)的二階導(dǎo)函數(shù)φi″（x）為懸臂梁彎曲振動(dòng)的表面應(yīng)力分布曲線.以前三階模態(tài)為例，取與圖2同一研究對(duì)象求解并繪制圖像如圖3所示.

圖3 前三階模態(tài)的二階導(dǎo)函數(shù)（應(yīng)力分布）曲線Fig.3 The second derivative function（stress distribution）curve of the first three modes

由圖3可看出，自由端集中質(zhì)量會(huì)使得懸臂梁彎曲振動(dòng)時(shí)的表面應(yīng)力分布更為均勻，但各階模態(tài)下，梁所受的最大應(yīng)力仍為固定端，即x=0處.當(dāng)λ=0和λ=0.5時(shí)，一階模態(tài)的φ1″（0）分別為3.03和1.24，變化率為59.1%；相同條件下，二階模態(tài)的φ2″（0）分別為18.96和10.54，變化率為44.4%；三階模態(tài)的φ3″（0）分別為53.1和30.76，變化率為42.1%.顯然，質(zhì)量比λ對(duì)一階模態(tài)的影響最為顯著.此外，隨著質(zhì)量比λ的增加，一階模態(tài)下的φ1″（0）仍有著較為明顯的變化，而φ2″（0）與φ3″（0）在λ＞0.5后幾乎再不受質(zhì)量比λ的影響.

3 頻率響應(yīng)

考慮存在阻尼的條件下，梁的橫向受迫振動(dòng)方程可由方程變換，得

式中，c為阻尼，δ為狄拉克函數(shù)，設(shè)外激加速度f（x，t）=Fsin（Ωt）.將方程（2）、方程（3）和方程（15）代入方程（19），并對(duì)變量x從0→L積分，整理得

其中，

方程（20）可利用復(fù)指數(shù)法[15]求解，將方程右側(cè)的外激勵(lì)項(xiàng)替換為復(fù)指數(shù)形式，則方程改寫為

將方程（23）代回方程（22），求解可得

其中，φ為相位角，Bi為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅，即Bi的模，有

將方程（14）和方程（25）的代回方程（2），整理可得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下的撓度位移方程

為分析集中質(zhì)量對(duì)振動(dòng)頻率響應(yīng)的影響，取x=L，且令sin（Ωt-φ）=1并代入方程，所得解記為yL.繪制前三階模態(tài)下yL的頻率響應(yīng)曲線，其中，ζi=0.075.由圖4可看出，各階模態(tài)下的撓度振幅yL都會(huì)隨著自由端集中質(zhì)量的增大而增大.當(dāng)質(zhì)量比較小時(shí)（0≤λ＜0.5），三階模態(tài)下的撓度振幅隨λ的增大而急劇增加；相同質(zhì)量比區(qū)間內(nèi)，二階模態(tài)下的撓度振幅也有著顯著的提升；然而，一階模態(tài)的撓度振幅在該區(qū)間內(nèi)的變化并不明顯.與此相反，當(dāng)質(zhì)量比較大時(shí)（1≤λ＜2），撓度振幅變化最大的為一階模態(tài)，其次為二階模態(tài)，而三階模態(tài)下的撓度振幅變化最小.此外，圖4（a）中也可看出，盡管質(zhì)量比λ較小時(shí)，一階模態(tài)振幅變化并不顯著，但固有頻率卻明顯減小.因此，懸臂梁自由端施加較小的集中質(zhì)量，可滿足在對(duì)振幅較小影響條件下，有效的降低一階固有頻率.

圖4 前三階模態(tài)下的自由端撓度yL的頻率響應(yīng)曲線Fig.4 Frequency response curve of free end deflection yL in the first three modes

4 結(jié)論

本文研究了懸臂梁自由端集中質(zhì)量對(duì)橫向振動(dòng)下，固有頻率、彎曲應(yīng)力和頻率響應(yīng)等相關(guān)振動(dòng)特性的影響.結(jié)果表明，固有頻率會(huì)隨著集中質(zhì)量的增加而逐漸減??；集中質(zhì)量對(duì)低階固有頻率影響大于高階固有頻率，且一階固有頻率受集中質(zhì)量的影響遠(yuǎn)大于其他階固有頻率.在彎曲應(yīng)力方面，各階模態(tài)下的分析均表明，自由端集中質(zhì)量可有效將應(yīng)力分布的更為均勻.其中，一階模態(tài)下，懸臂梁的應(yīng)力分布受集中質(zhì)量的影響最為顯著；高階模態(tài)下，梁的應(yīng)力分布在質(zhì)量比λ≥0.5后，基本不再受集中質(zhì)量變化的影響.此外，結(jié)果還表明了，較小的集中質(zhì)量（0≤λ＜0.5）對(duì)高階模態(tài)下頻率響應(yīng)的影響更為明顯；與此相反，低階模態(tài)下，頻率響應(yīng)受較大的集中質(zhì)量則更為顯著.