王江

摘要：在一元函數(shù)泰勒公式的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)泰勒公式的產(chǎn)生背景、推導(dǎo)方法深入理解的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用泰勒公式解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 本文對(duì)泰勒公式的常用計(jì)算方法進(jìn)行了總結(jié).

關(guān)鍵詞：泰勒公式;數(shù)值計(jì)算

泰勒公式是在用簡(jiǎn)單的初等函數(shù)（多項(xiàng)式函數(shù)）逼近復(fù)雜函數(shù)（特別是無(wú)理函數(shù)和初等超越函數(shù)）的背景下產(chǎn)生的，只要誤差滿足要求，多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)復(fù)雜函數(shù)的性態(tài)和近似計(jì)算有著重要的實(shí)際應(yīng)用意義. 學(xué)生在學(xué)習(xí)了泰勒公式之后，碰到關(guān)于泰勒公式計(jì)算的問(wèn)題不知如何入手，本文主要總結(jié)了4個(gè)關(guān)于泰勒公式的計(jì)算方法。

泰勒定理? 若函數(shù)在含有的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一，有

上式稱(chēng)為函數(shù)在展開(kāi)的泰勒公式，其中稱(chēng)為佩亞諾型余項(xiàng)，（介于到之間）稱(chēng)為拉格朗日型余項(xiàng)。

1.直接法

利用直接導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行求解。

例1? 按的冪展開(kāi)多項(xiàng)式。

解：因?yàn)椋?，，，于?/p>

，，，，，所以

。

2.變量替換法

在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)用得較多的是泰勒公式在時(shí)的特殊情形（稱(chēng)為麥克勞林公式），掌握常用的麥克勞林公式對(duì)解題有很大的幫助。常見(jiàn)的麥克勞林公式有：

由的泰勒公式可得與（為常數(shù)，為自然數(shù)）的泰勒公式，只需令或即可。

例2? 求下列函數(shù)含佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式。

（1）;（2）。

3.分解法

將所求函數(shù)分解成已知的泰勒公式進(jìn)行計(jì)算。

例3? 求函數(shù)含有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式。

解：因?yàn)?/p>

4.待定系數(shù)法

設(shè)，將其改寫(xiě)為，若已知與的展開(kāi)式且可展成泰勒公式，可設(shè)，將他們代入，整理后通過(guò)比較系數(shù)求得，，。

例4求的帶佩亞諾余項(xiàng)的三階麥克勞林公式。

泰勒公式作為高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的工具，有著廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用泰勒公式計(jì)算實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是對(duì)泰勒定理的本質(zhì)理解透徹，然后靈活運(yùn)用，熟能生巧。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王志平. 高等數(shù)學(xué) [M]. 上海：上海交通大學(xué)出版社，2012.

[2] 劉玉璉，傅沛仁等. 數(shù)學(xué)分析講義（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.