吳菲

【摘要】? 復習課怎么上才能達到復習的效果，一方面要引起學生的興趣，另一方面要做到知識的溫故知新。新授課、習題課與復習課在教學上互有分工，教學要求層層遞進。作者利用一堂復習課案例來探究函數(shù)復習課背后的數(shù)學核心素養(yǎng)能力培養(yǎng)方法。

【關鍵詞】? 一次函數(shù) 線系方程 學生生成 素養(yǎng)訓練

【中圖分類號】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】? A 【文章編號】? 1992-7711（2020）25-163-02

一直以來，復習課由于所受知識學生已經(jīng)學過，老師不容易調動學生興趣，并且課堂知識點多而雜，而被很多老師都認為不好上。因此我在送課的時候老師們經(jīng)常會希望我上復習課，方便一起探究復習課更好的上課方式。

要上好復習課，首先得區(qū)分好新課、習題課、章節(jié)復習課、和中考復習課的區(qū)別。如果用數(shù)學中簡單的運算法則來形容，“新課”好比加法，在學生的大腦中進行知識的擴充或積累?！傲曨}課”好比加減混合運算。一方面，增加學生運用相關知識解決各種問題的方法及運用知識的角度，另一方面，又將同類習題進行整合，去表象而求實質?！罢鹿?jié)復習課”好比減法，將整章看似零散的知識點，用學習代數(shù)、幾何、解析幾何、統(tǒng)計的通用方法來進行知識的串聯(lián)和整合，讓學生對本章的知識體系越來越清晰。拋開題與題之間列式的不同，去尋求題與題之間解題思路、解題能力及所用數(shù)學思想上的關聯(lián)或一致性。“中考復習課”就好比除法，將所有知識點的能力目標進行分類，將章節(jié)復習課的學習方法運用到相關章節(jié)上，進行更大的知識體系連接，復習總結出四套學習方法，分別解決代數(shù)、幾何、解析幾何、統(tǒng)計相關知識。今天就以一節(jié)章節(jié)復習課的案例，與大家分享解析幾何——函數(shù)研究方法的探究，供大家參考。

一、教學目標

1.讓學生體會研究函數(shù)的三個角度：點、線、面，體驗劃歸思想。

2.讓學生學會幾何語言與代數(shù)語言的相互轉換，進一步體驗數(shù)形結合思想的運用。

3.讓學生在合作探究過程中感受動態(tài)問題中參數(shù)的幾何意義，提高學生處理參數(shù)的能力，會利用相關線系解決具體問題，提高計算能力。

4.能將所學的一次函數(shù)研究方法遷移到其他函數(shù)模型上，突破解析式的限制，看到函數(shù)研究的通法，培養(yǎng)函數(shù)研究的持續(xù)能力。

二、教學重點

1.從“點”、“線、“面”三個角度研究函數(shù);

2.“定點”、“動點”、“交點”、“線系”相關知識的運用。

三、教學難點

1.含參一次函數(shù)中定點的求法;

2.線系方程的運用。

四、教學過程

一、開放式命題引入

已知一次函數(shù)y=mx+3m，添加一個條件求出函數(shù)解析式。

【素養(yǎng)訓練】開放命題，調動學生已有學科知識：1.求解析式的實質是求解析式中的參數(shù);2.需要幾個條件求取參數(shù)？條件個數(shù)與參數(shù)個數(shù)之間又怎樣的關系？3.有哪些形式能給出求參數(shù)的條件？

【學生生成1】添加條件：過某個點，例如函數(shù)圖象經(jīng)過點（-1，2）

【知識鏈接1】常見的給點方式有哪些？

1.過點（-1，2）

2.當x=-1時，y=2

3.在函數(shù)圖象上給出點

4.用表格形式給點

【學生生成2】添加條件：與某直線平行（垂直）。例如與直線y=2x-5平行

【學生生成3】添加條件：已知與坐標軸圍成的三角形面積。例如與坐標軸圍成的三角形面積為9.

【設計意圖】從點、線、面的角度給出求參數(shù)的條件。引導學生將函數(shù)研究方向聚焦到研究與函數(shù)有關的點、線、面上。在點、線、面三方面中，研究與函數(shù)有關的點尤其重要。

二、探究與函數(shù)有關的點

例1已知一次函數(shù)y=mx+3m，過點（-1，2），

（1）求出函數(shù)解析式。

（2）求該函數(shù)與坐標軸交點坐標;

求該函數(shù)與y=-x交點坐標;

（3）若點P為該一次函數(shù)圖象上的動點，則P點坐標可表示為__________.

【素養(yǎng)訓練】在具體問題中感知函數(shù)圖象上的已知點、交點、動點的具體運用及呈現(xiàn)方式。訓練學生歸納、計算、消參的能力。

【知識鏈接】函數(shù)中常見的點及對應的運用方法（適用于所有函數(shù)）：

1.函數(shù)圖象上的已知點

處理方法：將已知點坐標代入解析式，消參。

2.交點

處理方法：1.求交點：聯(lián)立解析式，求方程組的解;

2.已知交點：可代入多個解析式消參。

3.圖象上的動點

處理方法：直線y=kx+b上動點P的坐標可表示為P（x，kx+b）

（1）求出函數(shù)解析式;

（2）求該函數(shù)與直線y=-x的交點坐標;

（3）若P為該函數(shù)圖象上一點，過P作PH垂直x軸于點H，

求△OPH的面積。

【設計意圖】任何函數(shù)圖象都是又具有某一特征的點構成，在研究函數(shù)圖象上的相關運用時可打破一次函數(shù)的限制，引導學生進行知識遷移，培養(yǎng)學生用已知探究未知的能力，授之以漁。該探究亦適用于高中函數(shù)學習，進行初高中數(shù)學學習能力銜接。

三、拓展探究

（4）已知一次函數(shù)y=mx+3m，過點（-3，0），你有什么發(fā)現(xiàn)？

【學生生成】代入點（-3，0）得，-3m+3m=0等式恒成立，與參數(shù)m無關。

【知識鏈接】1.帶參函數(shù)上的定點：使含參解析式恒成立的點

2.求含參函數(shù)圖象上定點的方法及步驟：

（1）轉換主元：以參數(shù)為主元整理解析式

（2）尋找恒成立條件：令參數(shù)的系數(shù)為0時，所得方程若恒成立即有定點，若無法恒成立，則無定點。

注：此方法步驟適用于所有函數(shù)

【例題解析】

【變式訓練】

【設計意圖】含參動態(tài)問題中的定值問題是研究含參問題中最有研究價值的一類問題，往往也是解題或優(yōu)化解題方法的突破口。轉換主元的方法適用于所有在特殊的含參解析式中尋找定點，為后續(xù)函數(shù)中定點的尋求作思想和能力的鋪墊。

【結論】只含一個參數(shù)的一次函數(shù)圖象一定過某個定點。

四、探究與一次函數(shù)有關的線系

【學生生成】第（3）問可利用垂直系方程求解，也可利用等腰三角形的三線合一的性質，由中點坐標公式得到。

【素養(yǎng)訓練】鞏固訓練函數(shù)圖象上點的運用方法，鞏固消參的能力，引入線系的思想，承上啟下。

【知識鏈接】

【設計意圖】從線系的角度，再次直觀詮釋一次函數(shù)中常數(shù)k、b的幾何意義。會根據(jù)題目已知條件合理設出線系方程。

直線y=2x+d呢？

【設計意圖】平行線系的運用

變式：點C為直線AB與x軸的交點，若直線y=kx+4與△OCD有交點，求k的取值范圍。直線y=nx+10呢？

【設計意圖】定點線系的運用

【遷移訓練】根據(jù)學生情況，以下內容選擇性教學或作為課后學生探究作業(yè)。

結合求含參函數(shù)圖象所過定點的方法，探究過定點（1，2）的線系方程應該如何表示？過定點（x1，y1）的線系方程呢？

【素養(yǎng)訓練】多角度理解“定點”的用法，進行知識和能力上的遷移，培養(yǎng)學生深入研討，多角度運用、分析概念的能力。培養(yǎng)學生觸類旁通，開放思維，大膽質疑的能力。

五、探究與一次函數(shù)有關的面

（5）點E坐標為（4，0），P是直線y=-x+6上的點，設△OPE的面積為S，當S=10時，求P點坐標。

【素養(yǎng)訓練】訓練數(shù)形結合思想，幾何條件與點坐標、線解析式之間的轉換。

【知識鏈接】與函數(shù)圖象有關的面積問題的分析策略：

1.制定求面積的方法

（2）所求三角形三邊都不與坐標軸平行時，選擇割補法（用與坐標軸平行的直線進行割補，轉化為（1）的情況處理）。

2.用坐標表示“底”和“高”。

六、一次函數(shù)點、線、面知識綜合運用

（6）Q是直線y=-x+6上的一個動點，當Q運動到何處時，△OQE的周長為C最小？

【素養(yǎng)訓練】本題涉及到了“直線上已知點”、“直線上動點”、“垂直線系”、“交點”、“中點”、“對稱點”、“軸對稱”、“最短路徑”等相關知識。