常建偉

[摘? 要] 平面解析幾何綜合題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算過程復(fù)雜，方法靈活多變. 有的學(xué)生在解題過程出現(xiàn)思路受堵，運(yùn)算煩瑣. 學(xué)會借助預(yù)判思維指引解題，通過目標(biāo)預(yù)判，明確解題方向;通過方法預(yù)判 優(yōu)化解題策略;通過結(jié)果預(yù)判，修正解題過程，從而有助于既快又準(zhǔn)地解題.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;預(yù)判思維;圓錐曲線

平面解析幾何綜合題可與函數(shù)、方程、不等式、三角、向量、平面幾何等知識交匯考查，往往題目綜合性強(qiáng)，運(yùn)算過程復(fù)雜，方法靈活多變. 解此類題型時，有的學(xué)生思維方向容易迷失，無從下手;有的學(xué)生方法選擇不當(dāng)、運(yùn)算準(zhǔn)確性不夠. 若在解題過程中能合理運(yùn)用預(yù)判思維，有助于引領(lǐng)思路，優(yōu)化解題過程，甚至達(dá)到事半功倍的效果. 下面就以解答平面解析幾何綜合題為例，從三個方面談?wù)勵A(yù)判思維在解題中如何合理使用，希望對學(xué)生的解題有所啟示.

目標(biāo)預(yù)判，明確解題方向

在解決存在性、探索性等問題時題目未明確給出結(jié)論時，我們要充分挖掘題目條件，整體建構(gòu)好解題思路，采用特殊化、極端化等方法預(yù)判出可能結(jié)論，將不確定性問題進(jìn)行目標(biāo)明確化，再進(jìn)行結(jié)果驗證.

例1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：■+■=1的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q是橢圓C上的兩個動點(diǎn).

（1）如圖1，當(dāng)P，O，Q共線時，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)，求證：■·■為定值;

（2）設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1k2=-1時，證明：直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)R.

試題分析：本題第一問求■·■是定值，可以通過特殊法先預(yù)判出定值結(jié)果，由于P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動變化性，不妨取P，Q兩點(diǎn)為短軸的兩端點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)即為M，N兩點(diǎn)，得■·■=1. 具體寫解題過程時可設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），Q（-x0，-y0），再將M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)求出，可得■·■=4+■=1. 第二問若采用一般性解法，先設(shè)斜參求出直線PQ的方程，然后化簡方程，結(jié)合直線系的思想與參數(shù)無關(guān)進(jìn)行求解定點(diǎn)，不少學(xué)生解題時往往在最后求定點(diǎn)時“卡殼”，因方程復(fù)雜，目標(biāo)定點(diǎn)不明確，無從下手，少數(shù)學(xué)生的運(yùn)算基本功扎實、式子處理能力強(qiáng)也能求解.若能結(jié)合預(yù)判思維，問題便能迎刃而解.由橢圓的對稱性可預(yù)判直線PQ過定點(diǎn)，在x軸上，采用特值探求，可令xp=xq或令k1=1，k2=-1，則可求出直線PQ與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，既直線PQ過定點(diǎn)-■，0，最后用一般化方法驗證. 驗證的過程便體現(xiàn)了解析幾何的思想：用代數(shù)的方法研究幾何問題.

例2：如圖2，過橢圓C：■+■=1內(nèi)一點(diǎn)A（0，1）的動直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，是否存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B，使得對任意過點(diǎn)A（0，1）的動直線l都滿足■·■=■·■？若存在，求出定點(diǎn)B的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

試題分析：本題是探索性問題，按常規(guī)思路設(shè)點(diǎn)直接求解，參數(shù)較多，運(yùn)算復(fù)雜，解題很難走到最后.若能打開思維，充分挖掘條件中蘊(yùn)含的幾何特征，便能預(yù)判出可能的結(jié)論. 假設(shè)點(diǎn)B存在，先取直線l平行于x軸時，由幾何特征知點(diǎn)B在線段MN的垂直平分線即y軸上，再取直線l垂直于x軸，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)只可能是（0，2），然后進(jìn)行一般性驗證.本題中的一般問題特殊化是破題的關(guān)鍵，也是解析幾何直觀性的體現(xiàn).

方法預(yù)判，優(yōu)化解題策略

解答解析幾何綜合題時為優(yōu)化解題，降低運(yùn)算難度，常會面臨著點(diǎn)參、斜參、角參的選擇. 學(xué)生在解題時要掌握解析幾何的思維特征和基本思想，根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)，結(jié)合自身已有方法經(jīng)驗選擇合適的參變量、公式、坐標(biāo)系進(jìn)行解題預(yù)判，從而做出更合理的解題策略選擇.

例3：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：■+■=1，過橢圓的左頂點(diǎn)A作直線l⊥x軸，點(diǎn)M為直線l上的動點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)B為橢圓右頂點(diǎn)，直線BM交橢圓C于點(diǎn)P，求證：AP⊥OM.

試題分析：問題中要證明AP⊥OM，斜率積和向量數(shù)量積兩個角度都可以刻畫垂直關(guān)系，但都需求出點(diǎn)P和點(diǎn)M的坐標(biāo)，此處涉及參數(shù)的選擇的問題，可直接設(shè)點(diǎn)參求解，也可設(shè)斜率參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo). 本題解題方法比較多，如何選擇相對能優(yōu)化解題過程，減少運(yùn)算？可做出以下解題方向預(yù)判. 若設(shè)點(diǎn)參解題，則選擇點(diǎn)M較好，由于點(diǎn)M橫坐標(biāo)已知，然后求出直線BM與橢圓交點(diǎn)P;若設(shè)斜率參解題，則直接將點(diǎn)P通過斜率參表示出來求解;若能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，由圓錐曲線“第三定義”知kPA·kMB=kPA·kPB=-■，可直接將直線AP，BM用同一個參數(shù)k表示，則本題可得到快速求解.不過還是要提醒學(xué)生注意，一旦解題目標(biāo)確定，預(yù)判方法可行，就要堅持算下去，有時堅持比方法更重要.

例4：已知橢圓■+■=1，設(shè)直線l：y=kx+m（k≤■）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|OP|的取值范圍.

試題分析：本題是直線與橢圓的綜合問題，求OP的取值范圍需將點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來. 在平行四邊形OAPB中，■=■+■，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（xA+xB，yA+yB）. 將直線代入橢圓方程得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合條件列出|OP|關(guān)于k，m的函數(shù)，進(jìn)行求解處理時發(fā)現(xiàn)再消參困難，運(yùn)算煩瑣，容易出錯，甚至解題受阻. 那用設(shè)點(diǎn)法能不能處理呢？做出以下預(yù)判，將題目條件重新組合，通過點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)想到點(diǎn)差法，可將點(diǎn)P的坐標(biāo)與斜率k的關(guān)系找出來，再結(jié)合橢圓方程即可求解點(diǎn)P的坐標(biāo). 本題答案：■≤OP≤■.

結(jié)果預(yù)判，驗證解題過程

對解題過程中的一些階段性結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行預(yù)判，若與解題目標(biāo)不符，則及時修正調(diào)整.

例5：已知圓A的方程為（x+1）2+（y-2）2=20，過點(diǎn)B（-2，0）的動直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P，直線l1的方程為x+2y+7=0.（1）當(dāng)MN=2■時，求直線l的方程. （2）■·■是否為定值？如果是，求出其定值;如果不是，請說明理由.

試題分析：有的學(xué)生在第一問出現(xiàn)少解情況，錯誤的原因是設(shè)直線方程時未考慮斜率不存在的情況. 其實解題過程中通過結(jié)果預(yù)判可及時發(fā)現(xiàn)錯誤.因為點(diǎn)B在圓內(nèi)部，而弦MN不是直徑，所以這樣的直線肯定有兩條. 我們平時在解題時需要適當(dāng)停頓，借助幾何直觀，明確算理，多一點(diǎn)思考，便會少出錯.本題的第二問可以采用特殊法進(jìn)行結(jié)果預(yù)判檢驗運(yùn)算的準(zhǔn)確性. 本題答案： （1）x=-2或3x-4y+6=0;（2）■·■為定值-5.

例6：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓■+y2=1，左、右兩個頂點(diǎn)分別為A1，A2. 過點(diǎn)D（1，0）的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，直線A1M與NA2的交點(diǎn)為G，求證：點(diǎn)G在一條定直線上.

試題分析：本題首先可以進(jìn)行解題目標(biāo)預(yù)判，若過點(diǎn)D的直線交橢圓于M，N關(guān)于x軸對稱的M′，N′兩點(diǎn)，則直線A1M′與A2N′的交點(diǎn)為G′，由橢圓的對稱性，可得GG′所在定直線應(yīng)是與x軸垂直的直線. 由于A1，A2是橢圓左、右頂點(diǎn)，可分別設(shè)直線A1M與A2N的方程，并與橢圓聯(lián)立方程組求出M，N的坐標(biāo)，利用M，D，N三點(diǎn)共線寫出兩斜率關(guān)系，進(jìn)一步得到點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是定值.為了驗證運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，可取MN垂直于x軸時將點(diǎn)G的坐標(biāo)求出驗證. 本題也可以采用先特殊再一般的方法求解，由橢圓的對稱性先預(yù)判定直線為x=4，然后設(shè)直線MN的方程為x=my+1. 再證明對于任意的實數(shù)m，直線A1M與直線A2N的交點(diǎn)G均在直線x=4上.

綜上所述，預(yù)判思維在解答解析幾何綜合題的過程中有著顯著的作用，當(dāng)然預(yù)判的結(jié)論不一定都是對的，學(xué)生需要平時加強(qiáng)知識經(jīng)驗的積累和方法的總結(jié)，以便做出相對準(zhǔn)確合理的預(yù)判，從而有助于指引解題的方向，優(yōu)化解題的策略，修正解題的結(jié)果，實現(xiàn)既準(zhǔn)又快地解題.