王曉

[摘? 要] 不等式問題是高考以及各模擬考試的考查熱點(diǎn)和難點(diǎn)所在，狹義的不等式問題是指直接考查不等式的計(jì)算和證明的問題，廣義上來說，它還包含諸如最值、取值范圍等隱含不等式計(jì)算證明的問題，文中的不等式問題指的是后者. 近幾年來基于函數(shù)背景的不等式問題日益受到命題專家的青睞，這類問題涉及的知識(shí)面較為廣泛，總體來說對(duì)學(xué)生的要求較高文章立足于具體例題，總結(jié)幾個(gè)常用的可用于解決不等式問題的函數(shù)構(gòu)造方法.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)不等式問題;函數(shù)構(gòu)造方法;變量分離法;整體代換法

前言

不等式問題是高考以及各模擬考試的考查熱點(diǎn)和難點(diǎn)所在，能夠有效地考查學(xué)生的推理分析、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、聯(lián)想遷移、概括歸納等相關(guān)綜合數(shù)學(xué)能力，可以成為一個(gè)重要的區(qū)分點(diǎn). 狹義的不等式問題是指直接考查不等式的計(jì)算和證明的問題，廣義上來說，它還包含諸如最值、取值范圍等隱含不等式計(jì)算證明的問題，本文中的不等式問題指的是后者. 我們不僅可以通過借助傳遞性、結(jié)合律等基本的不等式性質(zhì)解決不等式問題，還可以通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化等方式借助函數(shù)的思想方法解決問題. 近幾年來基于函數(shù)背景的不等式問題日益受到命題專家的青睞，這類問題涉及的知識(shí)面較為廣泛，需要學(xué)生能夠熟練運(yùn)用多個(gè)模塊的知識(shí)，并敏銳地挖掘出題目中涉及的隱含條件，靈活使用多種綜合方法轉(zhuǎn)化問題，總體來說對(duì)學(xué)生的要求較高. 本文中筆者將立足于具體例題，總結(jié)幾個(gè)常用的可用于解決不等式問題的函數(shù)構(gòu)造方法.

方法小結(jié)

（一）反向構(gòu)造法

有些不等式在形式上與某些常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相似，這時(shí)我們可以省去中間復(fù)雜的轉(zhuǎn)化過程，直接根據(jù)經(jīng)驗(yàn)反向構(gòu)造出所需函數(shù).

例題1：某定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），已知f（x）>f′（x）在R上恒成立且f（x）+2017的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f（x）+2017ex<0的解集為（? ）

A. （-∞，0） B. （0，+∞）

C. -∞，■？搖 D. ■，+∞

例題分析：根據(jù)f（x）>f′（x）這一條件，我們可以得到f′（x）-f（x）<0，這與F（x）=■的導(dǎo)函數(shù)F'（x）=■的分子部分一致.

例題解答：設(shè)定義在實(shí)數(shù)域上的函數(shù)F（x）=■，由f（x）>f′（x）可得其導(dǎo)函數(shù)F'（x）=■<0，即F（x）在定義域上單減. 又f（x）+2017的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即它是定義在實(shí)數(shù)域上的奇函數(shù)，則f（0）+2017=0，F(xiàn)（0）=-2017，故由f（x）+2017ex<0可得F（x）

方法簡(jiǎn)評(píng)：反向構(gòu)造法是一種需要調(diào)動(dòng)聯(lián)想能力的巧妙方法，學(xué)生需要熟悉求導(dǎo)法則，并能夠敏銳地將不等式與導(dǎo)函數(shù)聯(lián)系起來，教師可以在日常教學(xué)的過程中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注此類構(gòu)造，比如對(duì)于形如λf（x）+f′（x）>0的不等式，我們可以通過構(gòu)造函數(shù)F（x）=eλxf（x）來轉(zhuǎn)化研究問題.

例題2：設(shè)定義在全體實(shí)數(shù)域上的奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），且已知f（-1）=0，且當(dāng)x>0時(shí)，有xf′（x）-f（x）<0，則f（x）>0的解集為（? ）

A. （-∞，-1）∪（0，1）

B. （-1，0）∪（1，+∞）

C. （-∞，-1）∪（-1，0）

D. （0，1）∪（1，+∞）

問題分析：易知函數(shù)g（x）=■的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=■，本題中我們可以抓住不等式xf′（x）-f（x）<0反向構(gòu)造函數(shù).

問題解答：設(shè)定義在全體實(shí)數(shù)域上的函數(shù)g（x）=■，則可得g′（x）=x■，當(dāng)x>0時(shí)，g′（x）<0，所以可知g（x）在（0，+∞）恒減，g（-x）=■. 又f（-x）=-f（x），所以g（-x）=■=g（x），所以g（x）是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于縱軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，g（x）在（-∞，0）上恒增（結(jié)論1）;又因?yàn)閒（-1）=0，故可知g（-1）=g（1）=0（結(jié)論2），由兩個(gè)結(jié)論可知f（x）>0的解集為（-∞，-1）∪（0，1）.

方法簡(jiǎn)評(píng)：本題中出現(xiàn)的是f′（x）g（x）-f（x）g′（x）類條件，可以通過構(gòu)造分式函數(shù)轉(zhuǎn)化研究問題，不過需要注意的是位于分母的函數(shù)不可為0;對(duì)于f′（x）g（x）+f（x）g′（x）型條件，則可以構(gòu)造形如F（x）=f（x）g（x）的函數(shù).

（二）移項(xiàng)作差法

移項(xiàng)作差法構(gòu)造函數(shù)簡(jiǎn)便快速，可以將問題轉(zhuǎn)變?yōu)樽钪捣秶鷨栴}，有時(shí)也可以起到化簡(jiǎn)消元的作用，常用于不能直接求解的不等式問題的轉(zhuǎn)化.

例題3：已知f（x）=ln■，試證明f（x）>2x+■在（0，1）上恒成立.

問題分析：構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-2x+■，原問題可轉(zhuǎn)化為證明F（x）在（0，1）上的最小值大于0.

問題解答：設(shè)F（x）=f（x）-2x+■，則F′（x）=■，00，所以F（x）恒增，則F（x）>F（0）=0，即00恒成立，即f（x）>2x+■在（0，1）上恒成立，即證.

（三）變量分離法

有的不等式涉及多個(gè)變量，難以通過簡(jiǎn)單的方法構(gòu)造函數(shù)，此時(shí)我們可以先將不同的變量以移項(xiàng)的方式分離開，該方法常用于解決具有對(duì)稱形式的不等式問題.

例題4：易知f（x）=lnx，g（x）=■x2，則對(duì)于x■>x■>0，試求當(dāng)滿足m[g（x■）-g（x■）]>x■f（x■）-x■f（x■）時(shí)，參數(shù)m（m∈Z，m≤1）的取值.

問題分析：本題中存在兩個(gè)互相獨(dú)立的變量，利用移項(xiàng)分離變量的方法可以避免復(fù)雜的分析.

問題解答：移項(xiàng)將不等式轉(zhuǎn)化為mg（x■）-x■f（x■）>mg（x■）-x■f（x■）. 令q（x）=mg（x）-xf（x）=■x2-xlnx（x>0），對(duì)于任意x■>x■>0原不等式恒成立，即q（x■）>q（x■），所以q（x）在（0，+∞）上恒增，即q′（x）=mx-lnx-1≥0（x>0）恒成立. 分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為m≥■max.令h（x）=■（x>0），則h′（x）=■，則在（0，1）上，h′（x）>0，在（1，+∞）上，h′（x）<0，所以h（x）max=h（1）=1，則m≥1. 又m∈Z，m≤1，可得m=1.

例題5：已知f（x）=（a+1）lnx+ax2+1，（1）給出并證明f（x）在定義域上的單調(diào)性;（2）設(shè)a<-1，若對(duì)于任意大于0的x■，x■，都有f（x■）-f（x■）≥4x■-x■，求參數(shù)a的取值范圍.

問題解答：（1）省略;（2）不妨假設(shè)x■≥x■>0，則當(dāng)a<-1時(shí)，根據(jù)第一問的結(jié)論易知f（x）在（0，+∞）上恒減，則原不等式去絕對(duì)值可得f（x■）-f（x■）≥4（x■-x■），即f（x■）+4x■≥f（x■）+4x■（式1），則可構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+4x（x>0）. g′（x）=■+2ax+4，式1可以轉(zhuǎn)化為，對(duì)于x■≥x■>0，有g(shù)（x■）≥g（x■），即g（x）在定義域上單調(diào)遞減，即當(dāng)x>0時(shí)，■+2ax+4≤0，即a≤■=■=■-2恒成立，可得a≤-2（當(dāng)x=■時(shí)，取等號(hào)）.

（四）代換消元法

對(duì)于多變量的不等式問題，我們有時(shí)還可以采用代換消元的方式簡(jiǎn)化研究，特別是當(dāng)所需結(jié)論也是整體表達(dá)式時(shí)，這種方法格外高效，常見的可以整體代換的結(jié)構(gòu)有x■+x■，x■x■，■.

例題6：已知f（x）=lnx+x2+x，對(duì)于x■，x■>0，有f（x■）+f（x■）+x■x■=0，試證明x■+x■≥■.

問題解答：對(duì)于f（x■）+f（x■）+x■x■=0，將表達(dá)式f（x）=lnx+x2+x代入可得lnx■+x■+x■+lnx■+x■+x■+x■x■=0，

整理可得（x■+x■）2+（x■+x■）=x■x■-lnx■x■.

令t=x■x■，φ（t）=t-lnt（t>0），則可得φ′（t）=■，

易知φ（t）在（0，1）上恒減，在（1，+∞）上恒增，所以φ（t）≥φ（1）=1，所以（x■+x■）2+（x■+x■）≥1. 又x■+x■>0，所以可解得x■+x■≥■.

總結(jié)

函數(shù)不等式問題的解決方法靈活多變，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止上面這些，筆者在這里只給出了幾個(gè)較為常用和容易操作的方法，其他的手段還有利用常見不等式結(jié)論轉(zhuǎn)化問題、利用中間結(jié)論化簡(jiǎn)等. 破解函數(shù)不等式問題的關(guān)鍵之處在于敏銳挖掘并合理利用題目中給出的條件，并大膽聯(lián)想、類比，構(gòu)造出能夠有效解決問題的函數(shù). 這就要求學(xué)生要有扎實(shí)的函數(shù)基本功，對(duì)于求導(dǎo)法則能夠做到了然于心，對(duì)于函數(shù)的基本性質(zhì)（例如單調(diào)性、奇偶性）能夠熟練識(shí)別并運(yùn)用，教師在平時(shí)的教學(xué)中要多注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思考、反向思考.