汪艷

[摘? 要] 空間距離問題是立體幾何中的典型問題之一，能夠全面考查學(xué)生對空間距離的理解，以及空間幾何觀.? 空間距離問題的類型較多，垂線段法、等體積法和空間向量法是最為常用的方法，同時其方法思想具有一定的代表性，文章對空間距離問題加以探討，并結(jié)合實例探究三種方法.

[關(guān)鍵詞] 空間距離;垂線段;等體積法;向量法;思想

問題綜述

空間距離是刻畫空間中的點、線、面相對位置數(shù)量關(guān)系的一個重要的量，也是立體幾何部分重要的研究問題. 縱觀歷年高考，主要以求解點到點、點到線、點到面、線到線、線到面的距離為核心，空間距離的求解一般將其轉(zhuǎn)化為計算線段長，問題難點主要集中在以下幾個方面：一是如何處理圖形特點與相關(guān)概念的關(guān)聯(lián)，即理解問題條件;二是如何對空間元素的距離進行轉(zhuǎn)化，尤其是線面距離、異面直線距離;三是空間距離的求解方法較多，如何根據(jù)方法步驟來構(gòu)建轉(zhuǎn)化思路. 下面將對點到平面、線到平面的距離以及異面直線距離的解法舉例探究.

方法概述

求解空間距離的方法有很多，對于點到平面、線到平面的距離的解法可以歸為以下四種：①垂線段法，即直接作點或直線到平面的垂線段，問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的線段長問題;②等體積法，根據(jù)立體幾何中高的定義可知，高為頂點或上平面到底面的距離，而對于同一幾何體，可以從不同的視角來構(gòu)建體積模型;③向量法，該方法是建立在空間坐標系上的一種特殊方法，充分利用了向量射影長的距離內(nèi)涵. 而對于異面直線距離問題，可以將其轉(zhuǎn)化為點到平面或直線到平面之間的距離，在實際求解時需要結(jié)合具體的問題特點來合理選定方法，確保過程簡捷，思路清晰，作答準確.

舉例探究

點到平面、線到平面的距離是其中的難點問題，其方法在處理空間距離問題中具有一定的代表性，下面舉例探究垂線段法、等體積法和向量法的解析技巧和解題思路的構(gòu)建.

解法一：垂線段法

垂線段法即是從定義出發(fā)直接求距離的方法，相對于后續(xù)兩種方法較為直接，從空間距離的問題本質(zhì)來看，實則就是求空間元素之間的垂線段，因此若能直接作出垂線段，則可以采用此方法. 垂線段的作法有多種方式：①若過該點的直線同時垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則該直線垂直于目標平面，就可以在該直線上截取垂線段;②也可以過直線作目標平面的垂直平面，可得兩平面的交線，將其轉(zhuǎn)化為兩平行線之間的距離，顯然很容易獲得垂線段.

例1：如圖1所示，已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E為線段PD的中點，試回答下列問題.

（1）證明：PB∥平面AEC;

（2）若AP長為1，AD長為■，且三棱錐P-ABD的體積為■，求點A到平面PBC的距離.

分析：第（2）問求點A到平面PBC的距離，分析可知只需要過點A作平面PBC的垂線段即可. 基本思路是確定垂直于平面PBC且過點A的平面，則過點A作兩平面交線的垂線，則垂足到點A的距離就為所求的垂線段.

解：已知AP=1，AD=■，三棱錐P-ABD的體積可以表示為V=■PA·AB·AD，代入可得AB=■，根據(jù)勾股定理可得PB=■=■. 由于PA⊥平面ABCD，則PA⊥AD. 又知四邊形ABCD為矩形，則AB⊥AD. 綜上可知AD⊥平面PAB，又知AD∥BC，則BC⊥平面PAB. 又知BC平面PBC，故平面PAB⊥平面PBC，過點A作PB的垂線，垂足為點H，如圖1所示，可證AH⊥平面PBC，則AH長就為點A到平面PBC的距離. 將AH放在△PAB中，其中∠PAB=90°，由等面積可知PA·AB=PB·AH，則AH=■=■，即點A到平面PBC的距離為■.

解法二：等體積法

等體積法同樣適用于空間距離求解，該方法與等面積法的構(gòu)建思路是一致的，即從不同的視角來構(gòu)建幾何體的體積，利用體積相等來求解其中的線段長. 等體積法一般適用于規(guī)則幾何體，且高為所求距離的值. 解析時首先轉(zhuǎn)化視角確定幾何體的底面，然后結(jié)合線段長來構(gòu)建代數(shù)方程.

例2：如圖3所示，正三棱柱ABC-A■B1C1的底面邊長為8，對角線B1C的長為10，點D為AC的中點，試回答下列問題.

（1）求點B1到直線AC的距離;

（2）求直線AB1到平面C■BD的距離.

分析：（1）問求點到直線距離，圖中所示幾何體為特殊的正三棱柱，點D為AC的中點，有BD⊥AC，則DB1就為所求垂線段，后續(xù)將其放在三角形求解即可.

（2）設(shè)直線BC1與B1C交于點E，分析可知AB1∥DE，則AB1∥平面BDC1，所以AB1到平面BDC1的距離就等于點A到平面BDC1的距離，同時就等于點C到平面BDC1的距離，后續(xù)就可以在三棱錐C-BDC1中利用等體積法求解.

解析：（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因為點D為AC的中點，所以有BD⊥AC，連接B1D，由三垂線定理可知B1D⊥AC，則B1D就為所求距離. 在Rt△BB1D中，已知BB1=6，BD=4■，由勾股定理可得B1D=■=2■.

（2）設(shè)BC1與B1C交于點E，由于AB1∥DE，則AB1∥平面BDC1，所以A到平面BDC1的距離等于點C到平面BDC1的距離. 對于三棱錐C-BDC1，可將其視為以點C為頂點、平面BDC1為底面的三棱錐，則V■=■hS■（h表示點C到底面BDC1的距離），同時可將其視為以點C1為頂點，以平面BDC為底面的三棱錐，則V■=■·CC1·S■. 由等體積可知hS■=CC1·S■，則h=■，即直線AB1到平面C1BD的距離為■.

解法三：空間向量法

向量法是求解空間幾何問題的常用方法，該方法具有簡潔直觀的優(yōu)點. 求解時可以按照空間向量的分析步驟進行，即首先建立空間直角坐標系，然后求出關(guān)鍵點的空間坐標，推導(dǎo)其中的線段向量，最后結(jié)合公式d=■ （其中點P為平面α內(nèi)的一點，n為平面α的法向量）即可確定點A到平面α的距離.

例3：如圖4所示，在多面體ABCDE中，平面ABD⊥平面ABC，已知AB⊥AC，AE⊥BD，DE∥AC，DE=■AC，且AD和BD的長均為1，試回答下列問題.

（1）求AB的長;

（2）若2≤AC≤4，求點E到平面BCD距離的最大值.

分析：（1）略;（2）在多面體ABCDE中，無法直接確定點E到平面BCD的垂線段，此時可以建立空間直角坐標系，利用空間向量來求點到平面的距離.

解：由于AD=BD，則△ABD為等腰三角形，取BD的中點為O，平面ABD⊥平面ABC，OD⊥平面ABC，過點O作AC的平行線，與BC交于點Y. 以點O為空間坐標原點，分別以O(shè)B，OY，OD為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，如圖5所示.

記AC=2a，則1≤a≤2，則A-■，0，0，B■，0，0， C-■，2a，0，D0，0，■，E0，-a，■，■=（-■，2a，0），■=-■，0，■. 可推算出平面BCD的法向量n=■，■，■. 又知■=（0，-a，0），則點E到平面BCD的距離可以表示為d=■=■. 其中1≤a≤2，分析可知當a=2時，d可取得最大值■，即點E到平面BCD距離的最大值為■.

解后思考

1. 回歸教材基礎(chǔ)，系統(tǒng)梳理方法

空間距離是高中數(shù)學(xué)的重點問題，也是數(shù)學(xué)教材探討的重點內(nèi)容. 對該問題的探究剖析需要回歸教材，把握教材的基礎(chǔ)知識，包括線面垂直、面面垂直、線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，深刻理解空間距離中垂線段構(gòu)建的原理及思路. 空間距離問題的類型較為多樣，方法也存在差異，學(xué)習(xí)時需要對其中的典型方法進行系統(tǒng)梳理，可以采用對比歸納的方式，對方法的原理、特點、優(yōu)劣、適用題型和構(gòu)建思路進行整理，從而形成自我的解題策略. 例如上述呈現(xiàn)的三種方法適用題型有如下特點，其中垂線段法適用于容易作出垂線段的問題，等體積法適用于幾何結(jié)構(gòu)規(guī)則且垂線段為高的問題，空間向量法具有一般性. 對方法的梳理實則就是對問題特點的剖析，同時也是考題探究的必要環(huán)節(jié)，有助于提升學(xué)生的解題能力.

2. 探究方法思想，重視方法反思

空間距離問題屬于三維問題，對于學(xué)生而言較為抽象，上述方法是通過降維或轉(zhuǎn)化的方式來簡化問題. 如垂線段法和空間向量法是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，等體積法是將其轉(zhuǎn)化為方程問題，其中隱含著重要的數(shù)學(xué)思想. 開展方法探究需要重視反思方法本質(zhì)，關(guān)注方法的指導(dǎo)思想，尤其是降維思想和轉(zhuǎn)化思想，這兩種思想是求解空間距離問題的關(guān)鍵，也是空間距離問題思路構(gòu)建的內(nèi)在原理. 另外，在方法反思教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生對問題進行多視角剖析，對于某些問題可以采用多種方法求解，在反思過程中有必要開展一題多解，使學(xué)生深刻認識方法聯(lián)系，多視角理解方法思想的內(nèi)涵，最大化激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展解題思維.