秦武韜，陸小科，邢曉勇

（南京電子技術(shù)研究所，南京 210039）

隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，各主要國(guó)家的反導(dǎo)系統(tǒng)日臻完善[1,2]，傳統(tǒng)彈道導(dǎo)彈的突防能力持續(xù)下降，在此背景下，以臨近空間內(nèi)高速滑翔為標(biāo)志的臨近空間飛行器逐漸成為遠(yuǎn)程戰(zhàn)略打擊武器研發(fā)的重要方向[3,4]。美國(guó)于1987年率先開始了高超聲速滑翔式飛行器(Hypersonic Glide Vehicle,HGV)項(xiàng)目的研究，近十年更是多次進(jìn)行了HTV-2、X-51A 等臨近空間飛行器的飛行試驗(yàn)，俄羅斯則提出了“冷”和“鷹”的研究計(jì)劃，德國(guó)、日本、印度也開展了相關(guān)研究[5]。因此，研究針對(duì)臨空目標(biāo)的軌跡跟蹤方法具有極大的理論和實(shí)際意義。與常規(guī)的軌道目標(biāo)不同，臨近空間飛行器不僅擁有10 馬赫以上的飛行速度，還可在大氣層內(nèi)利用氣動(dòng)力進(jìn)行大范圍的機(jī)動(dòng)飛行，其典型的跳躍式軌跡更是給雷達(dá)的高精度穩(wěn)定跟蹤帶來(lái)了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)[6]。

在機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤中，準(zhǔn)確的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型是精確穩(wěn)定跟蹤的基礎(chǔ)[7,8]。例如針對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)的常速度模型(Constant Velocity,CV)和針對(duì)勻加速度運(yùn)動(dòng)的常加速度模型(Constant Acceleration,CA)；對(duì)于轉(zhuǎn)彎目標(biāo)的跟蹤問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]則給出了協(xié)同轉(zhuǎn)彎模型(Constant Turn,CT)。但CV、CA 和CT 模型均屬于理想化的建模，為了應(yīng)對(duì)跟蹤過(guò)程中目標(biāo)隨時(shí)可能出現(xiàn)的轉(zhuǎn)彎、加減速等突發(fā)機(jī)動(dòng)情況，Singer 把機(jī)動(dòng)控制項(xiàng)作為相關(guān)噪聲進(jìn)行建模，提出了Singer 模型，該模型在處理機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)具有良好的跟蹤效果。文獻(xiàn)[10]則專門針對(duì)臨近空間飛行器周期性跳躍的特點(diǎn)提出了正弦波模型(Sine Wave,SW)，較好地描述了臨空目標(biāo)跳躍運(yùn)動(dòng)的周期特性，其結(jié)果表明該方法具有比Singer 模型、Jerk模型更高的跟蹤精度，文獻(xiàn)[11]則對(duì)SW 模型做了進(jìn)一步的分析和研究，并基于X-51A 軌跡驗(yàn)證了SW 模型的跟蹤精度。

然而，以HTV-2 為代表的無(wú)動(dòng)力臨近空間飛行器在進(jìn)行跳躍滑翔時(shí)，其能量不斷減少，跳躍幅度逐漸降低，各周期的相關(guān)性持續(xù)減弱，又呈現(xiàn)出衰減性的特點(diǎn)。SW 模型在進(jìn)行建模時(shí)僅考慮到了臨近空間飛行器跳躍滑翔的周期性，而忽視了其衰減性，導(dǎo)致其在跟蹤無(wú)動(dòng)力臨空飛行器時(shí)跟蹤精度較低。因此，本文基于一種二階時(shí)間自相關(guān)的零均值隨機(jī)過(guò)程，借鑒“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的思想，提出了一種自適應(yīng)衰減震蕩模型(Adaptive Damped Oscillation,ADO)。該模型通過(guò)衰減參數(shù)和震蕩參數(shù)的合理調(diào)配，實(shí)現(xiàn)了周期性和衰減性的有機(jī)統(tǒng)一，較好地描述了臨空滑躍目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)?？紤]到臨空目標(biāo)機(jī)動(dòng)范圍大的特點(diǎn)，論文在地理坐標(biāo)系下推導(dǎo)建立了目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型，利用無(wú)跡卡爾曼濾波算法設(shè)計(jì)了跟蹤濾波器，并通過(guò)數(shù)學(xué)仿真對(duì)所提算法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 臨近空間跳躍滑翔飛行器運(yùn)動(dòng)描述及特性分析

1.1 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)描述

由于臨近空間飛行器具有機(jī)動(dòng)范圍廣的顯著特點(diǎn)，為直觀地對(duì)其運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述，本文擬在地理坐標(biāo)系下對(duì)其進(jìn)行描述，即以經(jīng)度、緯度和高度表示目標(biāo)位置，以速度大小、飛行路徑角和航向角表示目標(biāo)速度。其中，飛行路徑角γ表示速度矢量與當(dāng)?shù)厮矫娴膴A角，航向角ψ表示速度矢量在當(dāng)?shù)厮矫嫔系耐队芭c正北方向的夾角。

由飛行路徑角及航向角的定義，有

式中，V為合速度大小，vE、vN和vU分別為東向、北向和天向速度。

圖1 地理系下位置與速度關(guān)系Fig.1 The relation of position and velocity in GEO

圖1給出了經(jīng)度、緯度、高度變化與東、北、天速度的關(guān)系，有:

式中，λ、L和h分別表示經(jīng)度、緯度和高度，Re表示地球半徑。

將式(1)帶入式(2)，可得

1.2 運(yùn)動(dòng)特性分析

與傳統(tǒng)彈道導(dǎo)彈不同，臨近空間高速滑翔飛行器可以依靠氣動(dòng)力在大氣層內(nèi)進(jìn)行高速滑翔，根據(jù)滑翔時(shí)高度方向的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)大致可以劃分為平衡滑翔和跳躍滑翔兩種模式，其中平衡滑翔模式下目標(biāo)高度方向機(jī)動(dòng)較小，跟蹤難度較低，而跳躍滑翔模式的跟蹤難度更大，因此，本文將主要對(duì)這一類型的臨空目標(biāo)跟蹤問(wèn)題進(jìn)行研究。

圖2 跳躍式滑翔目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.2 The trajectory of NSHV

呈“周期性衰減”式的跳躍滑翔是臨近空間飛行器所特有的飛行樣式，彈道導(dǎo)彈、飛機(jī)等傳統(tǒng)飛行器均無(wú)法做出類似機(jī)動(dòng)。在這種機(jī)動(dòng)模式下，臨近空間飛行器不斷上下跳躍，呈現(xiàn)出顯著的周期性（如圖2所示），此時(shí)，目標(biāo)的加速度和飛行路徑角也呈現(xiàn)出同樣的周期性，各個(gè)周期間的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)強(qiáng)相關(guān)。但與此同時(shí)，目標(biāo)又在氣動(dòng)阻力的作用下不斷消耗能量，其速度不斷下降，跳躍幅度逐漸降低，各個(gè)周期間的相關(guān)性持續(xù)減弱，表現(xiàn)出衰減特性。因此，臨近空間跳躍滑翔目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出周期性與衰減性相統(tǒng)一的特點(diǎn)。

2 基于自適應(yīng)衰減震蕩模型的縱向機(jī)動(dòng)建模

2.1 零均值衰減震蕩模型

由于臨空滑躍目標(biāo)飛行路徑角和加速度的變化規(guī)律相似，因此本文以加速度為例推導(dǎo)描述其衰減震蕩過(guò)程的運(yùn)動(dòng)方程。根據(jù)臨空滑躍目標(biāo)周期性運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，其t時(shí)刻的加速度a（t）與一個(gè)周期ΔTc后的加速度a（t+ΔTc）呈強(qiáng)相關(guān)。同時(shí)，隨著間隔周期數(shù)的增多，目標(biāo)加速度逐漸降低，該相關(guān)性逐漸減弱，表現(xiàn)出了相關(guān)衰減性的特點(diǎn)。為描述這一運(yùn)動(dòng)特征，可利用如下二階時(shí)間自相關(guān)隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行加速度建模，即

當(dāng)α和β取極限值時(shí)，有:

可以看出，在α逼近0 時(shí)，式(4)給出的衰減震蕩模型不再具備衰減性的特點(diǎn)，而僅表現(xiàn)出周期性，其退化為SW 模型[10]；當(dāng)β逼近0 時(shí)，衰減震蕩模型則喪失了周期性的特點(diǎn)，而僅表現(xiàn)出衰減性，其退化為Singer 模型。因此，通過(guò)參數(shù)α及β的調(diào)配，衰減震蕩模型可以實(shí)現(xiàn)周期性和衰減性的統(tǒng)一。

由式(4)所給出的相關(guān)函數(shù)Ra（τ），可得其譜密度為:

其中，ω表示角速率。

其中，W（ωj）表示白噪聲的傅里葉變換。

將G（ω）代入H（ωj）中，可得

令s=ωj，式(8)可化簡(jiǎn)為

由式(9)可得衰減震蕩模型下的加速度和加加速度狀態(tài)方程如下:

其中，wa是均值為零，方差為的高斯白噪聲，d（t）為加加速度。

2.2 自適應(yīng)衰減震蕩模型

對(duì)于式(10)所建立的加速度變化模型，可看作SW模型和Singer 模型的組合，其中SW 模型認(rèn)為目標(biāo)加速度以零為均值進(jìn)行周期性的跳動(dòng)，Singer 模型同樣認(rèn)為目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的均值為零。但事實(shí)上，臨空滑躍目標(biāo)在飛行過(guò)程中受氣動(dòng)力的作用不斷減速，其加速度均值并不為零，而是隨其氣動(dòng)外形、飛行速度和跳躍階段的變化而變化。為更準(zhǔn)確地對(duì)目標(biāo)的加速度變化規(guī)律進(jìn)行描述，本節(jié)將對(duì)式(10)所示模型做進(jìn)一步改進(jìn)，推導(dǎo)出自適應(yīng)均值衰減震蕩模型。

定義變量b（t）如下:

則有

由式(10)和(12)可得

其中，

將式(13)展開，有

同理，可得飛行路徑角的變化模型如下:

其中，ωγ（t）為飛行路徑角速度，（t）和（t）為上一周期中濾波器對(duì)γ及ωγ估計(jì)值的平均，wγ是均值為零、方差為的高斯白噪聲。

3 側(cè)向運(yùn)動(dòng)建模及狀態(tài)方程的構(gòu)建

3.1 側(cè)向運(yùn)動(dòng)模型

當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行側(cè)向機(jī)動(dòng)時(shí)，其航向角速度會(huì)隨之發(fā)生變化，但由于目標(biāo)飛行速度較快，受結(jié)構(gòu)及氣動(dòng)性能的限制，下一時(shí)刻的航向角速度的變化往往有限，僅能在當(dāng)前角速度的領(lǐng)域內(nèi)，這與“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型中關(guān)于機(jī)動(dòng)加速度的假設(shè)相一致。因此，本文借鑒“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的思想，建立起關(guān)于航向角速度的自適應(yīng)均值一階馬爾科夫模型如下:

其中，（t）服從零均值一階馬爾科夫過(guò)程，（t）為航向角速度的“當(dāng)前”均值，αψ為機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)，wωψ為零均值高斯噪聲。

根據(jù)式(16)，有

結(jié)合式(16)，(17)和(18)，可得航向角及航向角速度的狀態(tài)方程如下:

其中，航向角速度的方差為

其中，為ωψ的估計(jì)值，ωψmax為最大正航向角速度，ωψ-max為最大負(fù)航向角速度。由式(20)可以看出，方差的大小與ωψmax和ωψ-max密切相關(guān)，而又直接影響到過(guò)程噪聲方差陣Q 的大小。因此，為了獲得更好的跟蹤精度，在應(yīng)用過(guò)程中需要根據(jù)目標(biāo)側(cè)向機(jī)動(dòng)能力的大致情況選取合適的ωψmax和ωψ-max。

3.2 狀態(tài)方程

綜合上述分析，本文選取目標(biāo)狀態(tài)量x如下：

根據(jù)各狀態(tài)量的定義，結(jié)合式(3)(14)(15)和(19)，可建立狀態(tài)方程如下：

式中，0m×n表示m行n列的零矩陣。

4 跟蹤濾波器設(shè)計(jì)

現(xiàn)階段，可在大范圍內(nèi)對(duì)非合作目標(biāo)進(jìn)行連續(xù)探測(cè)的設(shè)備主要包括天基紅外預(yù)警衛(wèi)星和雷達(dá)，但對(duì)于臨空滑躍目標(biāo)，其飛行過(guò)程中的紅外特征不明顯，無(wú)法利用紅外衛(wèi)星對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定跟蹤。而雷達(dá)可以通過(guò)主動(dòng)發(fā)射電磁波進(jìn)行探測(cè)，且具有作用距離遠(yuǎn)的顯著優(yōu)勢(shì)，可以滿足對(duì)臨空滑躍目標(biāo)的跟蹤要求。因此，本文以雷達(dá)為探測(cè)傳感器建立測(cè)量模型。圖3給出了雷達(dá)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)的示意圖。

圖3 雷達(dá)探測(cè)示意圖Fig.3 The schematic diagram of the detection of radar

雷達(dá)通過(guò)獲得目標(biāo)的斜距和回波到達(dá)角對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位，因此測(cè)量量可定義為:

式中，γ為高低角，η為方位角，ρ為斜距。

則測(cè)量方程為

式中，vγ,vη和vρ表示雷達(dá)的測(cè)量誤差；xe,ye和ze表示目標(biāo)在雷達(dá)直角坐標(biāo)系中的位置分量，有

其中，地心系至雷達(dá)直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，有

由目標(biāo)在地理系下的位置信息，可得其在地心系下的位置［x,y,z］T為

同理，雷達(dá)在地心系下的位置［xr,yr,zr］T為

在式(30)中，［λr,Lr,hr］為雷達(dá)的經(jīng)緯高位置信息，可通過(guò)標(biāo)定獲得。

圖4 無(wú)跡卡爾曼濾波算法流程圖Fig.4 The flow chart of UKF

考慮到該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測(cè)量方程均具有較強(qiáng)的非線性，且雅克比矩陣求取困難，因此論文選用無(wú)跡卡爾曼濾波算法進(jìn)行濾波器的設(shè)計(jì)，圖4給出了無(wú)跡卡爾曼濾波的流程圖，其詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[12]。

5 數(shù)學(xué)仿真分析

本文以美國(guó)X-51A 及HTV-2 的試驗(yàn)軌跡為參考，設(shè)置跳躍滑翔跟蹤場(chǎng)景如圖5所示，其中，目標(biāo)的初始位置為[100°E,30°N,48000 m]，初始速度為4800 m/s，最大飛行高度為51108 m，最小飛行高度為46449 m，跳躍周期約為150 s，飛行時(shí)間為800 s，圖6給出了目標(biāo)的高度變化曲線，圖7給出了目標(biāo)的速度和飛行路徑角變化曲線。

圖5 跳躍滑翔目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.5 The trajectory of the NSHV

圖6 高度變化曲線Fig.6 Altitude-time curve

圖7 速度和飛行路徑角變化曲線Fig.7 The velocity-time and flight path angle-time curves

在仿真中，雷達(dá)位于[133 ° E,30 ° N，200 m]，其距離測(cè)量誤差σr=50m，高低角和方位角測(cè)量誤差為σγ=ση=0.1°，測(cè)量頻率為10 Hz。

各模型中的主要參數(shù)如下表所示:

表1 各模型中的主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of three models

基于上述仿真場(chǎng)景，獲得單次仿真結(jié)果如下:

圖8 東北天位置估計(jì)誤差Fig.8 Position estimated error of east-north-up direction

在上述仿真結(jié)果中，圖8給出了目標(biāo)在東北天方向的位置估計(jì)誤差，圖9則給出了速度、航向角和飛行路徑角估計(jì)誤差，可以看出目標(biāo)的位置跟蹤誤差在1000 m 以內(nèi)，速度跟蹤誤差在10 m/s 以內(nèi)，具有估計(jì)精度高，收斂速度快的特點(diǎn)。

圖9 速度、航向角和飛行路徑角估計(jì)誤差Fig.9 The estimation error of velocity,course angle and flight path angle

為進(jìn)一步對(duì)比分析該算法的精度，論文分別利用常速度模型、Singer 模型、SW 模型和本文提出的自適應(yīng)衰減震蕩模型對(duì)臨空目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，基于100 次獨(dú)立的蒙特卡洛試驗(yàn)，獲得仿真結(jié)果如圖10所示:

圖10 位置跟蹤誤差對(duì)比曲線Fig.10 The comparison of position estimation error between four algorithms

圖11 速度跟蹤誤差對(duì)比曲線Fig.11 The comparison of velocity estimation error between four algorithms

表2 各算法跟蹤誤差對(duì)比Tab.2 Comparison of tracking error of four algorithms

圖10和圖11分別給出了四種算法的位置和速度跟蹤誤差對(duì)比曲線，表2對(duì)跟蹤誤差進(jìn)行了匯總?？梢钥闯霰疚乃岢龅腁DO 算法具有最高的跟蹤精度，SW 模型次之，而CA 模型的跟蹤精度最差。這是因?yàn)镃A 模型簡(jiǎn)單地認(rèn)為目標(biāo)進(jìn)行勻加速直線運(yùn)動(dòng)，這與目標(biāo)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律并不符合，導(dǎo)致其跟蹤精度較低。同理，Singer 模型也難以對(duì)跳躍滑翔目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述。SW 模型認(rèn)為目標(biāo)進(jìn)行周期性的跳躍運(yùn)動(dòng)，這一點(diǎn)較為準(zhǔn)確地描述了跳躍滑翔目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特性，但其在推導(dǎo)過(guò)程中假設(shè)各個(gè)周期目標(biāo)的跳躍高度相等，這與臨空目標(biāo)的實(shí)際飛行過(guò)程不符，使得其跟蹤精度略為下降。而本文所提出的自適應(yīng)衰減震蕩模型，不僅對(duì)臨空滑翔目標(biāo)的周期運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了準(zhǔn)確描述，同時(shí)也考慮到了目標(biāo)飛行過(guò)程中的衰減特性，其對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的描述最為準(zhǔn)確，因而獲得了最高的軌跡跟蹤精度。ADO 算法其位置跟蹤精度和速度跟蹤精度較SW 模型分別提高了17.91%和26.33%。

6 結(jié) 論

針對(duì)臨近空間跳躍滑翔飛行器運(yùn)動(dòng)特性復(fù)雜，現(xiàn)有目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型描述失準(zhǔn)，跟蹤精度較低的問(wèn)題，本文基于二階時(shí)間自相關(guān)隨機(jī)過(guò)程提出了一種自適應(yīng)衰減震蕩模型，建立了地理系下的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型，準(zhǔn)確描述了臨近空間滑翔跳躍目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的周期性和衰減性。在此基礎(chǔ)上，論文給出了雷達(dá)的測(cè)量模型并利用無(wú)跡卡爾曼濾波算法完成了跟蹤濾波器的設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)仿真證明基于ADO 模型設(shè)計(jì)的跟蹤濾波器具有比CA模型、Singer 模型和SW 模型更高的跟蹤精度。