石伯翔 王 超 鄭先寶

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

無源定位系統(tǒng)通過截獲輻射源的信號實現(xiàn)對未知目標的定位與探測，由于系統(tǒng)本身不輻射電磁波，所以其具有探測距離遠、隱蔽性強的特點。對信號時差的測量是無源定位的測量基礎(chǔ)，通過測量信號到主站與副站之間的時間差實現(xiàn)對輻射源的定位[1]。在三維空間中對輻射源定位，時差定位系統(tǒng)至少由一個主站與三個副站構(gòu)成。理想情況下，四站之間測得的時間差在空間中可構(gòu)成三個單邊雙曲面，曲面的交點即為輻射源的位置。然而在實際的環(huán)境中，由于布站方式的不同和各種噪聲的存在，導(dǎo)致解算時出現(xiàn)多個交點或者雙曲面不存在交點的情況，此時定位就會出現(xiàn)模糊，甚至無解。時差定位的精度與多站排布的方式、站址誤差、時差測量誤差相關(guān)，常用"幾何稀釋因子"GDOP對其進行評估。

本文主要以三維空間四站時差定位系統(tǒng)為基礎(chǔ)，分析了定位模糊、無解區(qū)域的分布規(guī)律和影響定位精度的主要因素，為實際工程中采用何種布站類型提供了理論依據(jù)。

1 無源定位原理

1.1 定位原理

要在三維空間對輻射源進行定位，需要一個主站A(x0,y0,z0)，三個副站B(x1,y1,z1)、C(x2,y2,z2)、D(x3,y3,z3)構(gòu)成的無源定位系統(tǒng)。假設(shè)輻射源位置為(x,y,z)，Ri,i=0,1,2,3表示輻射源到四個站的距離，Δri表示輻射源到第i個副站與到主站的距離差，得到定位方程為

(1)

其中，c為光速， Δti為輻射源信號到達主站與到達第i個副站的時間差。對式(1)整理后可得

(x0-xi)·x+(y0-yi)·y+(z0-zi)·z
=ki+R0·Δri

(2)

其中，

由式(2)可知，其構(gòu)成了一個非線性方程組，為了求解該方程組，首先將R0看做已知量，可得到

AX=F

(3)

(4)

(5)

(6)

在四站時差定位系統(tǒng)中，如果rank(A)=3，則輻射源位置估計值為

(7)

輻射源估計值為

(8)

其中

(9)

將式(8)代入式(1)得

(10)

解一元二次方程得到R0后，帶入式(8)，即可得到輻射源目標位置估計值。

1.2 時差定位無解與模糊分析

由式(10)知，求解輻射源位置的關(guān)鍵是要求出輻射源到主站的距離R0，其構(gòu)成了一個關(guān)于系數(shù)a，b，c的一元二次方程。由該方程的性質(zhì)，求解的過程中必然會出現(xiàn)兩個根R01、R02，即存在模糊與無解的情況。式(10)中，根據(jù)判別式Δ=b2-a·c可以判斷輻射源位置是否處在模糊區(qū)或者無解區(qū)[2-3]。

1)當(dāng)Δ=b2-a·c<0，方程無解，定位無解；

2)當(dāng)Δ=b2-a·c=0，方程存在唯一解，定位不存在模糊；

3)當(dāng)Δ=b2-a·c>0，方程存在兩個解，定位可能存在模糊。

當(dāng)R01·R02<0，說明兩根一正一負，取正值即可，不存在定位模糊；當(dāng)R01·R02>0，說明兩根均為正值，此時存在定位模糊。

1.3 時差定位無解與模糊區(qū)仿真

以T形、Y形、菱形、不規(guī)則布站進行仿真，站址分布如表1所示；輻射源高度7 km，站址誤差30 m，時間差測量誤差30 ns，仿真結(jié)果如圖1至圖4所示。

圖中黑色區(qū)域為定位無解區(qū)，灰色區(qū)域為定位模糊區(qū)，白色區(qū)域為定位無模糊區(qū)，由仿真結(jié)果可知四種布站形式在整個定位區(qū)域基本都產(chǎn)生模糊或者無解。

表1 站址排布方式

圖1 T形站定位模糊—無解區(qū)

圖2 Y形站定位模糊—無解區(qū)

圖3 菱形站定位模糊—無解區(qū)

圖4 不規(guī)則布站定位模糊—無解區(qū)

1)T形站的無解區(qū)域主要分布在主站與第一副站、第二副站的延長線上并向遠區(qū)四周輻射。

2)Y形站無解區(qū)域主要分布在遠區(qū)四周，相比其余三種布站方式其無解區(qū)域范圍較小且分布稀疏，從定位解算的角度來看，Y形站是一種較為優(yōu)秀的布站方式。

3)菱形站的無解區(qū)域主要分布在主站與第一副站、第二副站的延長線和第三副站與第一副站、第二副站的延長線上并向遠區(qū)四周輻射。相比于T形站，其在延長線上分布更加集中。

4)不規(guī)則布站式改變了幾何中心的菱形布站，其無解區(qū)域的分布規(guī)律與菱形站相似，只是方向發(fā)生了旋轉(zhuǎn)。

1.4 影響時差定位模糊區(qū)與無解區(qū)因素仿真

由以上分析可知，產(chǎn)生模糊的主要原因是在解算過程中出現(xiàn)了兩個不同的正根R0，這樣會使得相交的雙曲面產(chǎn)生兩個交點；而無解區(qū)意味著沒有實數(shù)解R0，雙曲面沒有交點。在實際中因為各種噪聲的存在，會使得雙曲面發(fā)生偏轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致沒有交點。

依次改變基線長度、時差測量誤差、站址誤差和目標輻射源高度，仿真分析這些因素對時差定位模糊區(qū)與無解區(qū)的影響。T形站主站與副站之間基線拉長5 km，主站(0 km，0 km，0.01 km)，第一副站(-15 km，0 km，-0.01 km)，第二副站(15 km，0 km，-0.01 km)，第三副站(0 km，-17 km，-0.01 km)；Y形站時間測量誤差減小為5 ns；菱形站站址誤差減小為1 m；不規(guī)則布站定位高度變?yōu)?3 km；仿真結(jié)果如圖5至圖8所示。

圖5 改變基線長度T形站定位模糊—無解區(qū)

圖6 δt=5 ns，Y形站定位模糊—無解區(qū)

圖7 δs=1 m，菱形站定位模糊—無解區(qū)

圖8 h=13 km，不規(guī)則布站定位模糊—無解區(qū)

由仿真結(jié)果可知，定位無解區(qū)域得到了不同程度的改善。

1)改變基線長度后的T形站在基線延長線上和其遠區(qū)四周依然存在定位無解區(qū)，但無解區(qū)的范圍明顯減小。

2)減小時差測量誤差后的Y形站無解區(qū)基本消失，得到了一個較好的結(jié)果。

3)菱形站在基線對角線上的無解區(qū)有所減小，遠區(qū)四周的無解區(qū)分布變得稀疏。

4)改變定位區(qū)域的高度后，不規(guī)則布站延長線上無解區(qū)有所減小，遠區(qū)四周的無解區(qū)得到了明顯的改善。

由以上結(jié)果可知，基線長度、時差測量誤差、站址誤差、目標輻射源高度都是影響定位無解區(qū)的因素。

2 定位精度分析

2.1 定位精度理論分析

時差定位精度用GDOP(Geometruc Dilution Of Precision)表示[4-5]，GDOP值越大，定位精度越低，相反，則定位精度越高。

(11)

式(11)中δx、δy、δz為x、y、z方向上的標準差。

對式(1)中的Δri=Ri-R0求微分，化簡后得到

d(Δri)=(Fix-F0x)dx+(Fiy-F0y)dy+
(Fiz-F0z)dz+(ki-k0)，i=1,2,3

(12)

(13)

ki=Fix·dx+Fiy·dy+Fiz·dz

(14)

寫成矩陣形式為

dΔr=F·dR+ds

(15)

其中

(16)

對式(13)求偽逆，可得到輻射源的定位誤差

dR=(FTF)-1FT(dΔr-ds)

(17)

由式(14)知，定位誤差與站址誤差、時間測量誤差和站址排布有關(guān)。假設(shè)時間測量誤差經(jīng)系統(tǒng)修正后為零均值，站址測量誤差保持不變且站址誤差元素之間及各站址誤差之間互不相關(guān)，則定位誤差協(xié)方差矩陣為

PdR=E{dR·dRT}
=C{E{dΔR·dΔRT}+E{ds·dsT}}CT

(18)

其中C=(FTF)-1FT=[bij]3×3

(19)

(20)

(21)

則可得到

(22)

2.2 定位精度仿真

由上一節(jié)分析可知，時差定位精度與站址分布、時差測量精度、站址誤差等因素有關(guān)。以四站三維定位為例進行仿真分析。不同的布站方式對應(yīng)不同的定位誤差，站址排如布表2所示，時間測量誤差100 ns，站址誤差30 m，目標輻射源高度為3 km。

表2 站址排布方式

圖9 T形站GDOP分布圖

圖10 Y形站GDOP分布圖

圖11 菱形站GDOP分布圖

圖12 不規(guī)則布站GDOP分布圖

由仿真結(jié)果可知，不同的布站方式對應(yīng)的GDOP曲線存在較大差異。

1)Y形站GDOP曲線分布比較均勻，其在探測區(qū)域任意方向上定位精度基本一致，該布站方式適合搜索探測階段，可對未知輻射源進行全區(qū)域搜索定位。

2)T形站與菱形布站GDOP曲線有明顯的方向性，T形布站在站址正前方和正后方定位精度較高，主站與其兩側(cè)副站基線連線方向上定位精度較低；菱形布站定位精度與T形站類似，在站址的正前方、正后方及兩側(cè)定位精度較高，而在基線方向上定位精度較低。在相同條件下，T形布站和菱形布站在正前方和正后方的定位精度優(yōu)于Y形布站，所以這兩種布站方式適合對輻射源進行二次高精度定位。

3)不規(guī)則布站是改變幾何中心的菱形布站，其GDOP曲線也有明顯的方向性，但與菱形站GDOP曲線相比，方向發(fā)生了旋轉(zhuǎn)。若使用Y形布站對未知輻射源首次定位發(fā)現(xiàn)其分布在菱形布站GDOP曲線較差的方向上，可采用不規(guī)則布站的方式對其進行二次高精度定位。

2.3 影響定位精度的因素

依次改變基線長度、時差測量誤差、站址誤差和目標輻射源高度，仿真分析這些因素對定位精度的影響。T形站主站與各副站之間的基線拉長5 km，主站(0 km，0 km，0.01 km)，第一副站(-15 km，0 km，-0.01 km)，第二副站(15 km，0 km，-0.01 km)，第三副站(0 km，-17 km，-0.01 km)；Y形站時間測量誤差為1 ns；菱形站站址誤差3 m；不規(guī)則布站，目標輻射源高度10 km；仿真結(jié)果如圖13至圖16所示。

由仿真結(jié)果可知，基線長度、時差測量誤差、站址誤差和目標輻射源高度均會對定位精度產(chǎn)生影響。

1)主站與副站之間基線長度越長，定位精度越高。然而在實際應(yīng)用中，受站間通信、站址變換控制等因素的影響，基線長度不能過長。

圖13 改變基線長度T形站GDOP分布圖

圖14 δt=1 ns，Y形站形站GDOP分布圖

圖15 δs=3 m，菱形站GDOP分布圖

圖16 h=10 km，不規(guī)則布站GDOP分布圖

2)時差測量誤差越小，定位精度越高。

3)站址誤差越小，定位精度越高。

4)目標輻射源距離主站高度越高，定位精度越高。

3 結(jié)束語

本文介紹了四站空間時差定位解析算法并對定位方程進行了推導(dǎo)。分別從站址排布、基線長度、時差測量誤差、站址誤差、目標輻射源高度五個方面進行討論，通過仿真分析，總結(jié)了空間四站時差定位模糊、無解區(qū)的分布規(guī)律和影響時差定位精度的因素。為在實際工程應(yīng)用中采用何種站址排布對未知輻射源進行定位提供理論支持。