古詩中不僅有山水人物家國情懷，還有數(shù)學(xué)題呢，它是古算家智慧的光芒，在感受古詩詞的美的同時(shí)也體會(huì)到了數(shù)學(xué)的奧妙，啟迪我們的心智。用編程解決這樣的古算詩題會(huì)更容易更有趣。本章我們將學(xué)習(xí)用編程解決數(shù)學(xué)里的一元一次方程和二元一次方程。

所謂一元一次方程，就是在含有未知數(shù)的等式中，未知數(shù)的種數(shù)有一種，并且未知數(shù)的最高次方為一次。所謂二元一次方程，就是在含有未知數(shù)的等式中，未知數(shù)的種數(shù)有兩種，并且未知數(shù)的最高次方為一次。

一、牧童分杏問題

牧童分杏

牧童分杏各競(jìng)爭(zhēng)，不知人數(shù)不知杏;

三人五個(gè)多十枚，四人八枚兩個(gè)剩。

牧童和杏各幾何？

1. 題意分析：有一群牧童爭(zhēng)著分杏，如果按照每3個(gè)人分5個(gè)杏子就會(huì)剩下10個(gè)，但是按照每4個(gè)人分8個(gè)杏子就會(huì)剩下2個(gè)，請(qǐng)問牧童有多少人？有多少杏子？

2. 題意轉(zhuǎn)換：由于保持恒定不變的是杏子的總數(shù)，所以假設(shè)牧童的個(gè)數(shù)為X，則可以通過兩個(gè)含有未知數(shù)的式子算出杏子的個(gè)數(shù)：5個(gè)杏子分給3個(gè)人，一人分5/3個(gè)，剩余10個(gè);第二種，8個(gè)杏子分給4個(gè)人，一人分8/4個(gè)，剩余2個(gè)。

3. 數(shù)學(xué)求解

5/3*X+10=8/4*X+2;

5/3*X-2*X=-8;

-1/3*X=-8;

X=-8×-3;

X=24;

求解出答案，牧童人數(shù)為24，得出杏子總數(shù)為8/4*24+2=50個(gè)。

4. 程序推理

用程序解方程和數(shù)學(xué)求解思路并不相同，一般用例舉方程所有可能解的方法——枚舉法。當(dāng)一個(gè)問題有有限種解的情況，我們將這個(gè)有限種情況一一列舉，并加以驗(yàn)證，枚舉的極限情況就是完全歸納法（找出了所有可能情況進(jìn)行驗(yàn)證）。枚舉這是一種樸素的思維方法，卻有著強(qiáng)有力的邏輯內(nèi)涵，同時(shí)也切實(shí)有效，與計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)算能力極其相配。

先假設(shè)牧童有1個(gè)（X=1），判斷5/3*X+10=8/4*X+2條件是否成立，若成立則找到答案，若不成立，假設(shè)牧童有2個(gè)（牧童增加1），判斷5/3*X+10=8/4*X+2條件是否成立，若成立則找到答案，若不成立……以此類推求出答案。這樣將變量的所有可能的取值依次去檢驗(yàn)的算法就是枚舉算法，我們?cè)谟贸绦蚯蠼夥匠痰慕獾臅r(shí)候枚舉算法是經(jīng)常被采用的方法之一。

運(yùn)用循環(huán)和變量就可以實(shí)現(xiàn)枚舉求解，程序如下圖。

二、 二元一次方程通用解法

二元一次方程，就是含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次方為一次的整式方程。所有二元一次方程都可化為aX+bY+c=0（a、b≠0）的一般式與ax+by=c（a、b≠0）的標(biāo)準(zhǔn)式，例如我們常見的雞兔同籠問題。

一個(gè)二元一次方程通常可以如此表示：

經(jīng)過求解可得求根公式：

有了這個(gè)公式，我們用程序?qū)⒐奖磉_(dá)出來，計(jì)算時(shí)輸入abcdef的值就可讓程序幫忙計(jì)算了。

比如一個(gè)方程：

那么依次填入a=3，b=1，c=4，d=2，e=2，f=0，按空格就可以計(jì)算出x=2，y=-4。