◇ 金玉明

直線的方程有點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式等多種形式，直線的參數(shù)方程是同一坐標(biāo)系中直線方程的另外一種表示形式，其本質(zhì)是借助參數(shù)變量來表示直線上的點．參數(shù)方程的引入為解析幾何問題的求解又提供了一種重要的途徑．本文就直線參數(shù)方程學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵點及其應(yīng)用進(jìn)行例析，以供學(xué)生學(xué)習(xí)參考．

1 關(guān)注參數(shù)t的幾何意義

設(shè)直線l過點M0(x0，y0)，傾斜角為

直線l上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離為|t|，若M在M0上方，則t＞0；若M在M0下方，則t＜0；若M與M0重合，則t＝0．因此點M(x，y)的坐標(biāo)可表示為這就是直線l的參數(shù)方程，其中t為參數(shù)．應(yīng)用參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義可簡捷處理直線與曲線相交問題中的弦長、弦的中點等問題．

例1在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C:y2＝2px(p＞0)，過點(－2，－4)且斜率為1的直線l．設(shè)曲線C與直線l交于M1，M2，若求p．

設(shè)直線l參數(shù)方程為為參數(shù))，設(shè)M1，M2的參數(shù)分別為t1，t2，將l的參數(shù)方程代入C:y2＝2px，得0，Δ＞0，所以

假設(shè)直線l與曲線y＝f(x)交于兩個點M1，M2，對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，M0(x0，y0)為直線l上一定點，則

2 關(guān)注參數(shù)方程一般式與標(biāo)準(zhǔn)式的區(qū)別

直線l的參數(shù)方程為 參 數(shù))，(x0，y0)為直線l所過的定點．若a2＋b2＝1，則為參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，否則為一般形式，一般方程中的參數(shù)，不具有t的幾何意義．欲應(yīng)用參數(shù)t的幾何意義進(jìn)行解題，需將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式．

例2直線l的參數(shù)方程為為參數(shù))，直線l與圓C:(x＋3)2＋(y－1)2＝6交于點A，B，求|AB|的值．

將直線l的一般參數(shù)方程為參數(shù))化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得為參數(shù))．將

本題求解中若直接將l的參數(shù)方程為參數(shù))代入圓C:(x＋3)2＋(y－1)2＝6的方程求解，則會得出錯誤結(jié)論．一般方程為參數(shù))化為標(biāo)準(zhǔn)方程得

本題的求解也可將直線的參數(shù)方程化為普通方程，利用平面幾何知識求解．

3 關(guān)注參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化

直線的參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化具有相互性，解題中并不局限于一定要將參數(shù)方程化為普通方程，也可根據(jù)題目條件，將普通方程化為參數(shù)方程，再利用參數(shù)的幾何意義往往可使解題過程化繁為簡．

例3已知曲線C1的方程為x2＋y2＝1(y≥0)，曲線C2的方程為x2＋y2＋2y＝0．若P是C1上任意一點，過點P的直線l交C2于點M，N，求|PM|·|PN|的取值范圍．

方法1設(shè)P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2,y2)．若l的斜率不存在，則

若l的斜率存在，設(shè)l方程為y＝k(x－x0)＋y0，與C2的方程聯(lián)立得

消去y得kx0)2－1＝0．由根與系數(shù)的關(guān)系得

所以

方法2設(shè)P(x0，y0)，l的傾斜角為θ，則l的參數(shù)方程為為參數(shù))．設(shè)M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將代入C2的方程得

由參數(shù)t的幾何意義得所以

方法1直接利用曲線的直角坐標(biāo)方程進(jìn)行求解，思路直觀，學(xué)生容易想到，但涉及的計算量較大．方法2借助直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解，計算簡捷．

總之，直線的參數(shù)方程是直線方程的重要組成部分，參數(shù)方程的應(yīng)用不僅提升了學(xué)生的解題能力，通過對題目條件的分析、構(gòu)造參數(shù)模型，還培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識．