高鳴蕾 劉 毅 宋余慶

（江蘇大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與通信工程學(xué)院 鎮(zhèn)江 212013）

1 引言

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）作為一種強(qiáng)大的時頻分析工具已經(jīng)被廣泛應(yīng)用［1～3］。EMD方法基于信號本身的局部時間特征尺度，把復(fù)雜的信號分解成了有限的本征模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF），由于該方法基于信號自身的特征進(jìn)行分解，不需要預(yù)先定義基函數(shù)，也無需采用信號的先驗(yàn)知識，所以具有很好的自適應(yīng)性。在多數(shù)情況下，通過EMD 得到的結(jié)果都符合人類的直觀感覺，但當(dāng)信號中存在著間斷的跳躍性變化或信號間相互作用時，將直接導(dǎo)致EMD 分解產(chǎn)生不期望的模態(tài)混疊問題（Mode Mixing Problem，MMP）［4］。所謂的模態(tài)混疊，就是指不能依據(jù)時間特征尺度有效地分離出不同的模態(tài)分量，使原本不同的模態(tài)分量出現(xiàn)在同一個模態(tài)分量中的現(xiàn)象，而且模態(tài)混疊一旦出現(xiàn)，將影響后續(xù)分量的分解，最終導(dǎo)致EMD 的分解結(jié)果失去物理意義。解決MMP對于獲得更有意義的結(jié)果很重要。

Wu 等［5］提出了集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD），該算法利用噪聲的隨機(jī)特性，將信號多次添加隨機(jī)噪聲的EMD 分解結(jié)果取平均，以此來抵消噪聲部分。該EMD 分解結(jié)果取平均，以此來抵消噪聲部分。該算法疊加噪聲的次數(shù)越多，效果越好，但運(yùn)行時間增加，同時會產(chǎn)生剩余噪聲和虛假分量，不具有完備性，Yeh等［6］和Torres等［7］在EEMD 的基礎(chǔ)上進(jìn)了一些修改，分別提出了完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD）和基于自適應(yīng)白噪聲的完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise，CEEMDAN），有效地抑制了剩余噪聲和虛假分量。鄭近德等［8］在EEMD 的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了基于排列熵的隨機(jī)性檢測改進(jìn)方法（Modi—fled EEMD，MEEMD），然而基于EEMD 的方法，整體規(guī)模要求非常大，導(dǎo)致時間成本大大增加［9］。

受到隨機(jī)噪聲的幫助的啟發(fā)，開始探索從常規(guī)信號得到幫助的方法。Deering 等［10］提出了添加一對互補(bǔ)的正弦波解決MMP。Wang等［11～12］提出了增加一個高頻正弦信號來解決MMP 并詳細(xì)闡述了如何實(shí)現(xiàn)所添加的正弦曲線。然而，這些方法只能解決高頻IMFs 中出現(xiàn)的MMP。在此基礎(chǔ)上，Wang等［12］提 出 了RPSEMD（Regenerated Phase-Shifted Sinusoid-Assisted Empirical Mode Decomposition）算法。該算法根據(jù)信號的本征模態(tài)（Intrinsic Modes，IMs）進(jìn)行自適應(yīng)設(shè)計正弦信號，通過添加正弦信號，可以在不同尺度上解決MMP，正弦信號通過改變相位，能夠更好地保留每一個分離的IM 的細(xì)節(jié)。該算法的計算規(guī)模遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于EEMD，但重構(gòu)信號與原始信號的誤差較大，同時也會產(chǎn)生虛假分量。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該算法對因間斷事件引起的模態(tài)混疊問題解決效果很好，但因信號間相互作用產(chǎn)生的模態(tài)混疊解決效果并不好。

本文提出一種基于相關(guān)系數(shù)的RPSEMD 改進(jìn)算法。通過對RPSEMD 的分解結(jié)果IMF1和剩余各分量之間進(jìn)行循環(huán)去相關(guān)操作，將得到的結(jié)果作為最終的IMF1 分量，有效解決IMF1 中由于信號間相互作用產(chǎn)生的模態(tài)混疊問題，然后將原始信號去除IMF1 分量，對剩余信號重復(fù)上述步驟，依次得到其他的IMF分量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，該算法在有效解決MMP的同時，重構(gòu)信號與原始信號的誤差更小。

2 RPSEMD算法

2.1 EMD算法及模態(tài)混疊問題

EMD 算法是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的自適應(yīng)分解方法，特別適用于非線性非平穩(wěn)信號的分析處理，將目標(biāo)信號建模為一系列具有物理意義的固有模式函數(shù)（IMFs）和一個殘差信號。一個IMF 需要滿足兩個條件：1）在整個數(shù)據(jù)序列中，極值點(diǎn)的數(shù)量和過零點(diǎn)的數(shù)量必須相等，或者最多相差不多于一個；2）在任一時間點(diǎn)上，上下包絡(luò)線的局部均值必須為零。

當(dāng)混合信號的頻率比和幅度比滿足式（3）的要求時，EMD可以將兩個頻率分量分解到不同的IMF中，否則將發(fā)生模態(tài)混疊現(xiàn)象，即分解得到的第一個IMF將包含有高頻分量和一部分低頻分量。

2.2 RPSEMD算法

在RPSEMD 算法中，通過在EMD 分解過程中添加不同的正弦信號，以在不同尺度上解決模態(tài)混疊問題。正弦信號根據(jù)信號的固有模式（IMs）進(jìn)行自適應(yīng)設(shè)計并且在分解的每個階段，正弦信號通過改變相位，以更好地保留每一個分離的IM的細(xì)節(jié)。

RPSEMD算法主要包括三個新觀點(diǎn)。

1）將一種通用型正弦信號作為輔助信號

通過對混合信號中組合分量信號不滿足可使兩個信號正確分離的條件和信號中存在間斷性的高頻弱信號產(chǎn)生的模態(tài)混疊問題的實(shí)驗(yàn)分析，發(fā)現(xiàn)該算法對因間斷事件引起的模態(tài)混疊問題解決效果很好，但因信號間相互作用產(chǎn)生的模態(tài)混疊解決效果并不好。

仿真信號1：以仿真信號1 說明RPSEMD 在不滿足EMD 中可使兩個信號正確分離的條件時，會產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象。

其中，a1=6，f1=90Hz ；a2=5，f1=60Hz 采樣頻率Fs=500Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1000。

圖1給出了仿真信號1經(jīng)RPSEMD分解后的結(jié)果及其頻譜，兩個正弦信號疊加的合成信號經(jīng)過RPSEMD得到了c1～c6 個IMF和一個殘余分量r，其中c3～c6 沒有實(shí)際物理意義，為虛假分量。而在第一個IMF 分量c1 中，尺度跨越了兩個正弦信號的頻率，在包含了f1=90Hz 的分量中同時包含了f2=60Hz 的分量，出現(xiàn)了明顯的模態(tài)混疊問題。

仿真信號2：利用仿真信號2 說明信號中含有間斷高頻弱信號的干擾時，RPSEMD 可以有效解決模態(tài)混疊問題。

圖2給出了仿真信號2經(jīng)RPSEMD分解后的結(jié)果和對應(yīng)頻譜，RPSEMD 在混合信號中含有間斷高頻弱信號的情況下，能夠正確分解間歇性高頻弱信號c1 和低頻正弦信號c2，但同時會產(chǎn)生虛假分量c3～c7。

通過圖1 和圖2 的結(jié)果可知，RPSEMD 算法對因間斷事件引起的模態(tài)混疊問題解決效果很好，但因信號間相互作用產(chǎn)生的模態(tài)混疊解決效果并不好。

圖1 仿真信號1通過RPSEMD得到的結(jié)果

圖2 仿真信號2通過RPSEMD得到的結(jié)果

3 基于相關(guān)系數(shù)的RPSEMD 改進(jìn)算法

通過對圖1 和圖2 中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，我們發(fā)現(xiàn)每一個IMF 分量都與其后的每一個IMF 分量存在一定的相關(guān)關(guān)系，本文引入相關(guān)系數(shù)的概念，提出了一種基于相關(guān)系數(shù)的RPSEMD改進(jìn)算法

IRPSEMD，即對原信號進(jìn)行RPSEMD 分解，計算第一個IMF 分量和剩余各IMF 分量的相關(guān)系數(shù)，進(jìn)行循環(huán)去相關(guān)操作，保證第一個IMF分量與剩余各分量的相關(guān)系數(shù)小于給定的閾值，將得到的結(jié)果作為第一階IMF，用原信號減去第一階IMF，得到的結(jié)果重復(fù)上述步驟，依次得到一系列相關(guān)系數(shù)小于給定閾值的IMF分量。

通過在RPSEMD 的過程中嵌入循環(huán)去相關(guān)操作，有效地解決了由于信號間相互作用引起的模態(tài)混疊問題，一定程度上抑制了虛假分量的產(chǎn)生，減小了實(shí)際信號經(jīng)RPSEMD 算法分解之后的重構(gòu)誤差，對于該算法進(jìn)一步的實(shí)際應(yīng)用有很大的意義。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

在本節(jié)中，我們將進(jìn)行一些仿真來評估本文提出的方法，用幾個常規(guī)使用的指標(biāo)將該方法的性能與一些先進(jìn)的方法相比較。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，我們設(shè)定的閾值δ 為0.001，這是一個經(jīng)驗(yàn)值。我們首先采用仿真信號1 和仿真信號2 分別驗(yàn)證本文所提出的方法對于解決因信號間相互作用或信號中存在著間斷的跳躍性變化引起的模態(tài)混疊問題的有效性，然后為進(jìn)一步驗(yàn)證新方法的有效性，非平穩(wěn)信號的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)使用心電信號處理領(lǐng)域最常用的開源數(shù)據(jù)庫MIT-BIH 中的Arrhythmia Database，取其中第100 號記錄作為待分析信號來進(jìn)行心電圖信號的分析，驗(yàn)證本文所提出的方法對于解決非平穩(wěn)非線性信號中模態(tài)混疊問題的有效性。

本文主要根據(jù)均方誤差（MSE），將所提出的方法與EMD、EEMD、RPSEMD 方法進(jìn)行了性能比較比較，其中均方誤差（MSE）的計算公式如下：

圖3 給出了仿真信號1 經(jīng)IRPSEMD 分解后的結(jié)果及其頻譜，兩個正弦信號疊加的合成信號經(jīng)IRPSEMD 得到了c1～c2 個IMF 和一個殘余分量r，從結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)第一個IMF 分量c1 中只包含了f1=90Hz 的分量，第二個IMF 分量c2 中只包含了f2=60Hz 的分量，明顯地解決了由于信號間相互作用引起的模態(tài)混疊問題，同時有效地抑制了虛假分量的產(chǎn)生。

圖4 給出了仿真信號2 經(jīng)IRPSEMD 分解后的結(jié)果和對應(yīng)頻譜，IRPSEMD 在混合信號中含有間斷高頻弱信號的情況下，正確分解間歇性高頻弱信號c1 和低頻正弦信號c2 的同時，雖然產(chǎn)生了虛假分量c3～c5，但與RPSEMD 分解結(jié)果相比，也抑制了虛假分量的產(chǎn)生。

圖3 仿真信號1通過IRPSEMD得到的結(jié)果

圖4 仿真信號2通過IRPSEMD得到的結(jié)果

圖5給出了ECG 信號，用于驗(yàn)證本文所提出的方法對于解決非平穩(wěn)非線性信號中模態(tài)混疊問題的有效性。

圖5 ECG信號

圖6 分別顯示了非平穩(wěn)非線性信號ECG 在不同方法下的分解結(jié)果，圖6（a）顯示了ECG 信號經(jīng)EMD 分解得到的結(jié)果圖，圖6（b）顯示了ECG 信號經(jīng)EEMD 分解得到的結(jié)果，圖6（c）顯示了ECG 信號經(jīng)RPSEMD 分解得到的結(jié)果，圖6（d）顯示了ECG 信號經(jīng)IRPSEMD 分解得到的結(jié)果。通過對比發(fā)現(xiàn)，本文方法給出了更為理想的結(jié)果，有效解決了模態(tài)混疊問題。

ECG 信號在不同方法下的MSE 如表1所示，從表1 中可以看出，本文所提出的方法有效地減少了重構(gòu)信號與原始信號的重構(gòu)誤差，具有更好的分解性能。

表1 ECG信號在不同方法中的性能比較

圖6 ECG信號經(jīng)（a）EMD，（b）EEMD（c）RPSEMD 和（d）IRPSEMD分解得到的結(jié)果

5 結(jié)語

為了進(jìn)一步改進(jìn)RPSEMD算法的分解性能，本文提出來了基于相關(guān)系數(shù)的RPSEMD 改進(jìn)算法。通過在RPSEMD過程中嵌入循環(huán)去相關(guān)操作，保證了最終獲得的各IMF 分量之間的相關(guān)系數(shù)小于設(shè)定的閾值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，該算法能夠有效地解決模態(tài)混疊問題，與RPSEMD 算法相比，重構(gòu)誤差更小，同時能夠抑制虛假分量的產(chǎn)生。