張鵬飛，孫 穎，吳家駒，張永亮

（北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京，100076）

0 引 言

結(jié)構(gòu)動力學(xué)參數(shù)是航天器設(shè)計(jì)研制中重要的特性參數(shù)，可靠的動特性參數(shù)一般通過模態(tài)試驗(yàn)來獲得。傳統(tǒng)的模態(tài)試驗(yàn)中，使用力錘或者激振器對試驗(yàn)件進(jìn)行力激勵，通過測量激勵力和響應(yīng)加速度來計(jì)算頻響函數(shù)，然后使用模態(tài)識別算法對頻響函數(shù)進(jìn)行識別得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，目前該方法得到了廣泛的應(yīng)用[1]。但這種方法也存在一定不足，如當(dāng)結(jié)構(gòu)存在明顯非線性時(shí)，其動力特性與試驗(yàn)量級高度相關(guān)，傳統(tǒng)模態(tài)試驗(yàn)得到的頻率阻尼特性與真實(shí)使用環(huán)境下的特性相差很大。

基礎(chǔ)激勵模態(tài)試驗(yàn)方法通過對試驗(yàn)件施加基礎(chǔ)面激勵形成分布載荷，利用試驗(yàn)件界面的運(yùn)動參數(shù)識別邊界約束條件下的模態(tài)參數(shù)。基礎(chǔ)激勵方法實(shí)際上是慣性力激振，激振力分布作用于結(jié)構(gòu)，與試件真實(shí)使用環(huán)境的受力狀態(tài)相似，所以從受力形式上來說，基礎(chǔ)激勵方法更符合實(shí)際。當(dāng)結(jié)構(gòu)存在強(qiáng)非線性時(shí)，基礎(chǔ)激勵方法可以通過施加真實(shí)環(huán)境振動得到更加可靠的模態(tài)特性。

文獻(xiàn)[2]～[5]闡述了基礎(chǔ)激勵試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的方法，并用實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證，但都局限于單維振動激勵的情況。產(chǎn)品的實(shí)際使用環(huán)境一般為多維振動環(huán)境。多維振動試驗(yàn)相對于單維振動試驗(yàn)，能夠更真實(shí)的模擬產(chǎn)品的振動環(huán)境，激發(fā)出的振動響應(yīng)更接近產(chǎn)品工作時(shí)的狀態(tài)。但多維振動環(huán)境下結(jié)構(gòu)模態(tài)識別面臨新的問題，傳遞函數(shù)矩陣的估計(jì)需要避免各個(gè)自由度之間的相干影響導(dǎo)致的矩陣奇異。

本文深入研究多維振動基礎(chǔ)激勵模態(tài)分析試驗(yàn)方法，針對多維振動基礎(chǔ)激勵傳遞特性數(shù)據(jù)計(jì)算，提出了基于頻響比的傳遞矩陣估計(jì)方法，解決了多維振動環(huán)境下傳遞矩陣獲取的問題。設(shè)計(jì)典型試驗(yàn)對多維振動基礎(chǔ)激勵分析結(jié)果和傳統(tǒng)力激勵模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，重點(diǎn)分析了多維振動基礎(chǔ)激勵模態(tài)結(jié)果反映出的結(jié)構(gòu)頻率和阻尼的非線性特征。

1 多維振動基礎(chǔ)激勵試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析原理

運(yùn)動基礎(chǔ)激勵試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的基本原理是，如果以運(yùn)動基礎(chǔ)作為參考坐標(biāo)系，那么試驗(yàn)件受基礎(chǔ)激勵所產(chǎn)生的振動響應(yīng)，相當(dāng)于試驗(yàn)件與基礎(chǔ)的連接界面固支，而結(jié)構(gòu)上每個(gè)自由度被施加了一個(gè)大小與當(dāng)?shù)氐馁|(zhì)量和基礎(chǔ)的振動有關(guān)的分布力[6]。

圖1 為多維振動基礎(chǔ)激勵模態(tài)試驗(yàn)示意，試驗(yàn)件安裝在六自由度試驗(yàn)臺臺面上。在固定坐標(biāo)系下，試驗(yàn)臺面的加速度為，試件響應(yīng)的加速度為˙，試件與臺面的相對加速度為，它們之間存在如下關(guān)系：

式中 G 為轉(zhuǎn)換矩陣，包含6 列向量，即向量Gk，k=1，2，…，6，表示基礎(chǔ)每個(gè)自由度的單位位移所造成的試件剛體位移，向量包含基礎(chǔ)的3 個(gè)線運(yùn)動分量和3 個(gè)角運(yùn)動分量。

圖1 多維振動基礎(chǔ)激勵模態(tài)試驗(yàn)示意Fig.1 Modal Analysis by Means of Multi-axis Base Excitation

基于線性理論和粘性阻尼假設(shè)，可以寫出結(jié)構(gòu)的運(yùn)動微分方程：

式中 M，C，K 分別為試件的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。利用式（1）的運(yùn)動關(guān)系可得：

試件相對加速度與基礎(chǔ)振動加速度之間的關(guān)系在頻域有：

其中，傳遞率矩陣：

式中rω ，r? ，rψ 分別為第r 階模態(tài)頻率、模態(tài)阻尼比和振型，而 rm 為模態(tài)質(zhì)量：

從式（5）可以看出，傳遞矩陣T(ω)是由標(biāo)準(zhǔn)的加速度比力的頻響函數(shù)矩陣與質(zhì)量陣M 和轉(zhuǎn)換陣G 加權(quán)的頻響函數(shù)和，所以可使用標(biāo)準(zhǔn)的模態(tài)估計(jì)算法來進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別。傳遞矩陣可以從試驗(yàn)中測量出，從中可以識別出有效載荷邊界約束狀態(tài)的模態(tài)頻率、阻尼比和振型。如果要獲得模態(tài)質(zhì)量，還需要引入有限元模型的質(zhì)量矩陣，或者通過在試件與臺面之間串入測力裝置來測量界面力。

2 基于頻響比的傳遞矩陣估計(jì)方法

獲得傳遞矩陣T(ω)是進(jìn)行頻域法模態(tài)參數(shù)識別的基礎(chǔ)。六自由度基礎(chǔ)激勵一般采用隨機(jī)激勵的形式，這種激勵方式更接近試件的實(shí)際使用狀態(tài)，能夠更準(zhǔn)確獲得使用環(huán)境中的模態(tài)特性。常用的頻響函數(shù)估計(jì)方法是響應(yīng)比法[7]。首先在六自由度試驗(yàn)臺上生成六自由度隨機(jī)振動激勵，并采集臺面和試件上測點(diǎn)的響應(yīng)˙˙u，然后解算出臺面上的六自由度環(huán)境 ˙0˙u ，并根據(jù)式（1）計(jì)算出結(jié)構(gòu)的相對運(yùn)動˙˙v，那么傳遞率矩陣可直接算出

式中 GV˙˙U˙0(ω )和GU˙˙ 0U ˙˙0(ω )分別為輸入和響應(yīng)的互譜矩陣以及輸入的自譜矩陣。

矩陣能夠求逆的前提是矩陣 GU˙˙ 0U ˙˙0(ω )是正則矩陣，然而一般情況下，由于隨機(jī)振動在結(jié)構(gòu)傳遞的過程中相關(guān)性增強(qiáng)，即使將激振器的驅(qū)動信號設(shè)置為獨(dú)立隨機(jī)，六自由度激振系統(tǒng)加載臺面的6 個(gè)振動方向也存在一定程度的耦合，例如加載臺面的平動經(jīng)常與轉(zhuǎn)動相耦合。當(dāng)六自由度振動輸入之間不是完全線性獨(dú)立時(shí)，矩陣 GU˙ 0U ˙˙0(ω )的條件數(shù)很大，求逆計(jì)算精度不高。

本文考慮到六自由度試驗(yàn)系統(tǒng)的激振原理，提出了基于頻響比的傳遞矩陣估計(jì)方法。 e0為包含6 個(gè)激振器線性獨(dú)立隨機(jī)振動驅(qū)動信號的驅(qū)動向量，試件響應(yīng)與驅(qū)動信號之間的關(guān)系在頻域有

式中 H(ω)為響應(yīng)對驅(qū)動的傳遞函數(shù)，可用譜矩陣的方法進(jìn)行計(jì)算。傳遞率矩陣T(ω)可以這樣估計(jì)：

通過算例來說明式（7）和式（10）計(jì)算結(jié)果的區(qū)別。建立矩形截面梁的有限元模型，將梁劃分為20 個(gè)單元，在梁根部同時(shí)施加不相干的線運(yùn)動和角運(yùn)動隨機(jī)激勵，求解端部節(jié)點(diǎn)1 到中部節(jié)點(diǎn)16 的角運(yùn)動傳遞特性。雖然輸入的線角激勵不相干，但經(jīng)過結(jié)構(gòu)的傳遞，節(jié)點(diǎn)16 處的線角運(yùn)動響應(yīng)存在耦合。圖2 顯示了響應(yīng)比法中需要求逆的矩陣 GU˙ 0U ˙˙0(ω )和頻響比法中需要求逆的矩陣 HU˙0 E0(ω )在二范數(shù)下的條件數(shù)隨頻率的變化情況，后者的條件數(shù)遠(yuǎn)小于前者。圖3 中將頻響比法和響應(yīng)比法計(jì)算的結(jié)果與理論值進(jìn)行對比，可以看到基于頻響比的傳遞矩陣估計(jì)方法得到的結(jié)果更接近理論值。

圖2 矩陣條件數(shù)對比Fig.2 Compare of Condition Numbers

圖3 傳遞率估計(jì)結(jié)果比較Fig.3 Compare of Estimate Results of Transmission Rate

3 試驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證基于頻響比的傳遞矩陣估計(jì)方法，發(fā)展多維振動環(huán)境中結(jié)構(gòu)模態(tài)識別技術(shù)，進(jìn)行了典型試驗(yàn)件的六自由度基礎(chǔ)激勵試驗(yàn)。試驗(yàn)激勵設(shè)備為低頻液壓試驗(yàn)臺，試驗(yàn)加載臺面尺寸為2 m×2 m，由6 個(gè)液壓作動器進(jìn)行激勵。試件為錐形結(jié)構(gòu)，將試件底部通過轉(zhuǎn)接工裝連接在臺面上，并在試件的一條母線上布置加速度傳感器測點(diǎn)，試驗(yàn)系統(tǒng)組成見圖4。

圖4 試驗(yàn)系統(tǒng)組成Fig.4 Composition of Test System

對6 個(gè)液壓激振器輸入帶寬1～80 Hz 的全不相干隨機(jī)振動激勵，在臺面上產(chǎn)生六自由度運(yùn)動，隨機(jī)振動譜形見圖5。按照基于頻響比的傳遞矩陣估計(jì)方法，得到傳遞率矩陣T(ω)。圖6 為試件頂部測點(diǎn)在Y、Z 方向的振動傳遞率曲線，能夠清楚看到試驗(yàn)頻帶內(nèi)存在2 階共振頻率，傳遞率曲線光滑無噪聲，表明數(shù)據(jù)處理方法適用。

圖5 隨機(jī)振動功率譜Fig.5 Power Spectrum Density of Random Vibration

圖6 傳遞率試驗(yàn)結(jié)果Fig6 Test Results of Transmission Rate

使用頻域模態(tài)識別方法，識別出試件的頻率、阻尼比和振型，識別出的試件在激振頻率內(nèi)的2 階模態(tài)，結(jié)果見表1。為了便于比較，表1 列出了力激勵固支邊界模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果，并使用振型相關(guān)系數(shù)表征兩種試驗(yàn)方法識別出振型的相關(guān)性?？梢钥闯觯嗑S振動基礎(chǔ)激勵法與固支邊界力激勵法得到的模態(tài)振型一致性很好，但模態(tài)頻率更低，阻尼比更大。這一結(jié)果符合多維振動基礎(chǔ)激勵模態(tài)試驗(yàn)的規(guī)律。多維振動基礎(chǔ)激勵試驗(yàn)將慣性激振力分布作用于結(jié)構(gòu)，與力激勵模態(tài)的點(diǎn)激勵相比，結(jié)構(gòu)受力更大，大部分金屬結(jié)構(gòu)具有漸軟特性的非線性，因此頻率更低。多維振動基礎(chǔ)激勵試驗(yàn)中結(jié)構(gòu)振動位移大，產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)阻尼力更大，等效阻尼比也更大。

表1 模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Result of Modal Test

多維振動基礎(chǔ)激勵模態(tài)試驗(yàn)方法的優(yōu)勢還在于，對于大部分結(jié)構(gòu)件，在材料、連接等環(huán)節(jié)存在多種非線性因素，使得結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性與環(huán)境振動量級高度相關(guān)[8]，該試驗(yàn)方法能夠獲取模態(tài)特性與試驗(yàn)量級的相關(guān)性。在上述試驗(yàn)中，逐漸增大振動臺的激振量級，分別按原試驗(yàn)條件的+3 dB 和+6 dB 量級進(jìn)行振動加載和模態(tài)分析，模態(tài)頻率和阻尼比識別結(jié)果隨振動量級的變化見圖7。

圖7 模態(tài)頻率與阻尼比的非線性特征Fig.7 Nonlinear Feature of Modal Frequency and Damping Ratio

隨著振動量級的增大，模態(tài)頻率逐漸降低，阻尼比逐漸增大，結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出漸軟剛度非線性特性。例如，1 階模態(tài)頻率降低了2.67%，阻尼比增加了57.31%。一般地，可以使用3 次多項(xiàng)式剛度和阻尼非線性模型對結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，對頻率和阻尼結(jié)果進(jìn)行擬合。結(jié)果表明，試驗(yàn)件的非線性特性基本符合3 次剛度和阻尼假設(shè)，多維振動基礎(chǔ)激勵模態(tài)試驗(yàn)方法能夠很好的考核到模態(tài)特性的量級相關(guān)性。

4 結(jié) 論

a）本文提出基于多維振動基礎(chǔ)激勵的模態(tài)試驗(yàn)方法，獲得試件固支邊界下的模態(tài)特征，相比于力激勵法和單維振動基礎(chǔ)激勵模態(tài)試驗(yàn)，多維振動基礎(chǔ)激勵法試件的試驗(yàn)邊界和振動環(huán)境更接近其使用狀態(tài)，獲得的模態(tài)參數(shù)更接近實(shí)際工作狀態(tài)。

b）在多維振動傳遞率的計(jì)算中，基于頻響比的傳遞矩陣估計(jì)方法相對于響應(yīng)比法，能夠降低計(jì)算過程中矩陣的條件數(shù)，避免由于各個(gè)自由度之間的相干導(dǎo)致的矩陣奇異，從而獲得高質(zhì)量的傳遞矩陣。

c）對于非線性特性比較明顯的結(jié)構(gòu)，多維振動基礎(chǔ)激勵模態(tài)試驗(yàn)方法能夠考核到試驗(yàn)件模態(tài)特性的量級相關(guān)性，有助于提高結(jié)構(gòu)分析的精度?；诙嗑S振動基礎(chǔ)激勵的模態(tài)試驗(yàn)方法能夠得到更加可靠的試驗(yàn)結(jié)果，具有很好的實(shí)用價(jià)值和推廣意義。