康 珅，趙 洪，卜奎晨，高 峰，鐘婧佳

（中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

0 引 言

近年來隨著飛行器性能的提升，對飛行器航跡規(guī)劃的要求日益提高，某些特殊場景中，既要求飛行器從特定的方向到達(dá)目標(biāo)點，又希望控制飛行器的飛行時間。針對多約束航跡規(guī)劃需求，本文重點研究視場角受限情況下的飛行時間和末端傾角控制導(dǎo)引律。

相對于分別研究末端兩項運(yùn)動學(xué)約束的文獻(xiàn)，針對同時滿足飛行時間和末端傾角約束的導(dǎo)引律研究相對較少。文獻(xiàn)[1]、[2]中提出的方法采用相似的多約束導(dǎo)引律設(shè)計思路，首先設(shè)計最優(yōu)末端傾角控制導(dǎo)引律，之后估計該導(dǎo)引律的飛行時間，再根據(jù)估計飛行時間與期望飛行時間之差進(jìn)行反饋，形成飛行時間控制回路。文獻(xiàn)[3]設(shè)計了二階滑?？刂坡捎糜诟櫰谕囊暰€角曲線，并對視線角曲線進(jìn)行航跡成型設(shè)計，從而同時滿足了飛行時間和末端傾角約束。文獻(xiàn)[4]采用彈目距離擴(kuò)展多項式生成導(dǎo)引指令，并通過線性化模型將期望約束與多項式系數(shù)關(guān)聯(lián)從而求解系數(shù)表達(dá)式。文獻(xiàn)[5]采用滑模導(dǎo)引律跟蹤虛擬目標(biāo)的方法實現(xiàn)了對移動目標(biāo)點的飛行時間和末端傾角約束導(dǎo)引。

本文采用任意階時間多項式設(shè)計前置角變化曲線并將飛行時間和末端傾角約束轉(zhuǎn)化為多項式邊界條件，形成了帶有飛行時間和末端傾角約束的導(dǎo)引律，相比現(xiàn)有文獻(xiàn)中方法，主要有如下優(yōu)點：a）飛行控制總消耗更接近最優(yōu)解；b）用戶可調(diào)參數(shù)物理意義明確；c）導(dǎo)引律結(jié)構(gòu)簡潔，有利于實現(xiàn)視場角約束。

1 問題描述

本文考慮二維質(zhì)點運(yùn)動，以縱向平面為例，考慮飛行器M 和目標(biāo)點T ，二者相對運(yùn)動關(guān)系如圖1 所示。

圖1 飛行器-目標(biāo)點相對運(yùn)動幾何關(guān)系示意Fig.1 Engagement Geometry of Planar Guidance

飛行器法向加速度a 垂直于飛行器速度矢量，不改變其數(shù)值大小V 。前置角ε 與視線角、傾角之間的關(guān)系可表示為

則飛行器的運(yùn)動可由如下微分方程描述：

式中 r 為飛行器至目標(biāo)點相對距離。

本文探討飛行時間和末端傾角約束導(dǎo)引律，設(shè)計導(dǎo)引律控制飛行器以期望的傾角、在期望的飛行時間到達(dá)目標(biāo)，即設(shè)計導(dǎo)引指令γ˙，對于給定的期望傾角 γd和期望飛行時間 td，當(dāng)且僅當(dāng)t = td時有r= 0，且同時滿足 γ = γd。

2 前置角多項式與導(dǎo)引指令

本文采用時間多項式設(shè)計前置角變化規(guī)律。由于所處理的問題帶有末端傾角和飛行時間兩個隱式約束，因此提前預(yù)留兩個多項式系數(shù)進(jìn)行用于滿足該約束，將前置角變化規(guī)律定義為n+2 階時間多項式：

式中 n 為正整數(shù)； κn+2,κn+1, …κ0為待定系數(shù)。為確定這些系數(shù)，需給出適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。首先式（5）必須滿足前置角初始條件，即：

式中iε 為前置角初始值。其次，為保證命中目標(biāo)，需定義前置角終端條件：

除去飛行時間和末端傾角預(yù)留的兩項系數(shù)和邊界條件式（6）、式（7），式（5）中剩余n ?1 個系數(shù)待定，因此補(bǔ)充前置角終端條件如下：

至此，除可確定n+ 2階多項式中n 個系數(shù)，剩余2 個用于滿足期望約束。由式（1）可知，可以通過量測獲得時，生成導(dǎo)引指令γ˙僅需要前置角變化率?？紤]式（5）對時間的導(dǎo)數(shù)，并認(rèn)為和，將其改寫為閉環(huán)形式：

顯然為得到ε˙需確定 κ1。將多項式最高階項系數(shù)κn+2和次高階項系數(shù)κn+1視為自由系數(shù)，用于控制飛行時間和末端傾角。則將邊界條件代入式（5）得到閉環(huán)前置角變化率與多項式階數(shù)n 的關(guān)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法得到：

式中 td為期望命中時間。

式（10）對時間積分，并代入初始條件式（6）得到前置角函數(shù)為

為控制飛行時間以及末端傾角，后續(xù)步驟需上述兩約束確定式（11）中的系數(shù)κn+1和κn+2，即導(dǎo)引系數(shù)。

3 導(dǎo)引律設(shè)計

3.1 線性化導(dǎo)引系數(shù)

線性化導(dǎo)引模型需要假設(shè)飛行器速度在水平方向上恒定不變，飛行器僅在垂直方向進(jìn)行修正機(jī)動，如圖2 所示。

圖2 線性化導(dǎo)引模型示意Fig.2 Linearized Engagement Geometry

定義y 為垂直偏差，則傾角與視線角可表示為

綜合式（11）、（13）～（15），并令t =td可得到傾角表達(dá)式為

上式準(zhǔn)確表達(dá)了線性化模型中的末端傾角約束。繼續(xù)建立飛行時間約束方程并確定κn+1。

將飛行軌跡長度表示為

式中 xf為距離目標(biāo)點的水平長度。之后假設(shè)飛行時間與水平距離線性相關(guān)，可解得：

綜上，κn1+和κn+2確定后，前置角多項式（5）中所有系數(shù)均確定。

3.2 導(dǎo)引系數(shù)更新

對于準(zhǔn)確描述實際問題的非線性導(dǎo)引模型，直接應(yīng)用經(jīng)過上述簡化計算而得出的結(jié)果，難免引入線性化誤差，對各項導(dǎo)引控制品質(zhì)造成負(fù)面影響，導(dǎo)致導(dǎo)引精度降低。因此本節(jié)中給出導(dǎo)引系數(shù)κn1+和κn+2的在線更新方法。

考慮當(dāng)前時刻視線坐標(biāo)系中的距離關(guān)系，有：

以當(dāng)前時刻為時間零點，則期望的飛行時間應(yīng)扣除已飛行時間，有：

同時，以當(dāng)前時刻飛行器各狀態(tài)的當(dāng)前值替換初始值：

期望的末端傾角應(yīng)變換至當(dāng)前視線坐標(biāo)系，根據(jù)角度關(guān)系有：

應(yīng)用上述替換，式（19）、式（17）和給出的導(dǎo)引系數(shù)可改寫為

可解得以當(dāng)前狀態(tài)更新的導(dǎo)引系數(shù)κn+1和κn+2，從而使導(dǎo)引律式（12）閉環(huán)。

4 仿真結(jié)果

4.1 視場角約束設(shè)置

本文認(rèn)為飛行器攻角相對于前置角較小，將飛行器視場角約束近似為航跡前置角約束。給出如下切換條件用于實現(xiàn)視場角約束：

其中ε˙由式（10）計算得到。式（29）的物理意義如圖3 所示，當(dāng)前置角的值進(jìn)入寬度為ρ 的限制區(qū)域內(nèi)，并且有繼續(xù)發(fā)散的趨勢，將前置角的變化律置零，導(dǎo)引指令退化為；當(dāng)前置角變化率趨于收斂，允許式（12）生成的導(dǎo)引指令繼續(xù)控導(dǎo)引彈。

圖3 視場角約束示意Fig.3 Concept of Field of View Constraint

4.2 仿真算例

4.2.1 時間和傾角控制

本組算例中，飛行器的期望飛行時間固定為td=30 s，各子算例期望傾角和控制總消耗dt如表1 所示。子算例在導(dǎo)引律中均使用n=1，并與控制總消耗最優(yōu)結(jié)果進(jìn)行對比，表中k/k'分別表示本文所提出方法和數(shù)值計算最優(yōu)結(jié)果。由表可知，各仿真條件中，所提出的導(dǎo)引方法控制總消耗與最優(yōu)結(jié)果僅相差7%以內(nèi)。彈道、傾角、前置角、加速度曲線分別如圖4～7所示。

表1 仿真算例1 控制總消耗結(jié)果Tab.1 Total Control Effort of Case1

圖4 算例1 彈道曲線Fig.4 Trajectory of Case 1

圖5 算例1 彈道傾角曲線Fig.5 Flight Path Angle Profile of Case 1

圖7 算例1 加速度曲線Fig.7 Acceleration Profile of Case 1

4.2.2 帶有視場角約束的時間和傾角控制

本組算例中，期望飛行時間 td=30 s，期望傾角γd= 0。視場角限制設(shè)置為 εmax=?εmin=50°，限制區(qū)域ρ=2°。飛行器自動駕駛儀延遲時間常數(shù)設(shè)置為τ =0.2 s。飛行器飛行時間誤差和期望傾角誤差如表2所示。其中2-1 開啟視場角約束式（29），2-2 關(guān)閉視場角約束。彈道及視場角曲線分別如圖8、圖9 所示。由圖8 可知，約2 s 時，視場角達(dá)到預(yù)設(shè)值，2-1 將視場角限制在了50°之內(nèi)，而2-2 超出了視場角限制。由表2 可知，視場角約束方法式（29）對飛行時間和末端傾角的影響較小。

表2 仿真算例2 導(dǎo)引誤差結(jié)果Tab.2 Summary of Guidance Error

圖8 算例2 彈道曲線Fig.8 Trajectory of Case 2

圖9 算例2 視場角曲線Fig.9 Look Angle Profile of Case 2

5 結(jié) 論

本文采用時間多項式設(shè)計前置角變化規(guī)律，提出了帶有飛行時間和末端彈道角約束的導(dǎo)引律。引入前置角初始條件和命中目標(biāo)的終端條件，使多項式中待定系數(shù)減少至兩個，用于控制飛行時間和末端傾角。之后在線性化模型的基礎(chǔ)上，引入末端彈道角作為終端約束，建立了兩個系數(shù)之間的聯(lián)系，使待定系數(shù)減少至1 個。采用在線更新導(dǎo)引系數(shù)的方式，根據(jù)碰撞幾何及彈目相對運(yùn)動關(guān)系的變化不斷更新線性化模型，得到了閉環(huán)形式導(dǎo)引律。仿真結(jié)果表明，所提出的導(dǎo)引律在控制總消耗上十分接近最優(yōu)結(jié)果，能夠在視場角受約束情況下，有效實現(xiàn)對飛行時間和末端傾角的控制。