郭愛麗, 左建軍

(貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 理學(xué)院, 貴州畢節(jié)551700)

§1 引 言

廣義Nekrasov矩陣是一類廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟數(shù)學(xué), 控制理論及工程數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的特殊矩陣(見[1-11]), 例如數(shù)值計算中遇到的大型線性方程組AX=b, 當(dāng)系數(shù)矩陣A為廣義Nekrasov矩陣時許多經(jīng)典的迭代算法均是收斂的; 又如數(shù)學(xué)物理中考察迭代矩陣譜半徑時, 當(dāng)所考察的矩陣為Nekrasov矩陣時其迭代矩陣的譜半徑比其為對角占優(yōu)矩陣時的譜半徑更精確. 因此, 探究廣義Nekrasov矩陣簡單實用的判別法具有重要的理論和實踐意義, 文[5]在弱Nekrasov矩陣的前提下, 利用子矩陣和鏈對角占優(yōu)給出廣義Nekrasov矩陣的一個充分判定; 文[12-17]利用矩陣元素的性質(zhì), 針對矩陣元素下標(biāo)區(qū)域的不同劃分, 給出廣義Nekrasov矩陣的若干判別法. 本文對一般任意給定的矩陣, 通過對其下標(biāo)集給予不同的遞進式劃分, 利用定義構(gòu)造特殊的正對角矩陣,結(jié)合不等式的放縮, 給出廣義Nekrasov矩陣的兩個充分條件, 并以此為理論基礎(chǔ), 進而獲得廣義Nekrasov矩陣的兩個迭代算法, 改進和推廣了已有相關(guān)結(jié)果.

則A是廣義Nekrasov矩陣.

顯然, 若N1= ?, 則A ∈N, 由引理1.1[4]知A ∈N?; 若N2= ?, 由引理1.2[5]知A/∈N?,此外, 若矩陣A的主對角線元素中存在零元, 由引理1.3[8]知A/∈N?. 因而, 這里總假設(shè)數(shù)集N1,N2皆非空, 且矩陣A的主對角線元素均非零.

§2 廣義Nekrasov矩陣的判別法

下面通過對方陣行下標(biāo)集不同的區(qū)域劃分, 構(gòu)造特殊的正對角矩陣因子, 結(jié)合不等式的放縮技巧, 給出廣義Nekrasov矩陣兩個新的判別法.

由(14)-(15)式知, 對?i ∈N1,j ∈N2, 都有(|bii|?αi(B))(|bjj|?βj(B))>βi(B)αj(B), 從而由引理1.6[18]知B=AX1∈N?, 故存在正對角矩陣X2, 使得BX2=AX1X2∈N, 而X1X2=X仍是正對角矩陣, 所以A ∈N?, 即A為廣義Nekrasov矩陣.

§3 廣義Nekrasov矩陣的迭代算法

定理3.1如果算法經(jīng)過有限步迭代后終止,且產(chǎn)生一個正對角矩陣,則A是廣義Nekrasov矩陣.

證 若算法經(jīng)過m步迭代后停止, 且產(chǎn)生一個正對角矩陣, 則說明已獲得一個Nekrasov矩陣A(m)=A(0)X(1)X(2)···X(m?1)=AX, 其中X=X(1)X(2)···X(m?1)是一個正對角矩陣, 從而A是廣義Nekrasov矩陣.

§4 數(shù)值算例

下面用數(shù)值算例說明本文定理2.1和2.2互不包含, 且所得結(jié)果推廣了文[12]定理1.

例4.1設(shè)

由Matlab數(shù)值實驗得N1={1,2},N2={3,4,5},N(2)1=N(1)2={1,2},N(1)1=N(2)2= ?,矩陣A滿足定理2.1條件, 所以,A為廣義Nekrasov矩陣. 但是

(1) 當(dāng)i=2,j=4時,

容易驗證A不滿足本文定理2.1和引理1.4[12], 但矩陣A滿足定理2.2的條件, 所以, 可判斷A為廣義Nekrasov矩陣.