逯光輝

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅蘭州730070)

§1 引 言

眾所周知, Littlewood-Paleyg-函數(shù)作為調(diào)和分析中一類重要的算子, 在調(diào)和分析本身以及偏微分方程的研究中發(fā)揮著重要的作用(參見文獻(xiàn)[1-3]). 而Marcinkiewicz積分本質(zhì)上就是Littlewood-Paleyg-函數(shù). 在1958年, Stein在文獻(xiàn)[4]中引入了高維情形下的Marcinkiewicz積分, 其定義如下

此后, 關(guān)于Marcinkiewicz積分及其交換子在不同函數(shù)空間上的性質(zhì)得到了廣泛的關(guān)注和研究,例如文獻(xiàn)[5-9]及其相關(guān)的文獻(xiàn).

為了解決Coifman和Weiss意義下的齊型空間(見文獻(xiàn)[10-11])和非雙倍測(cè)度空間(見文獻(xiàn)[6,12-15])的統(tǒng)一問題, 2010年, Hyt¨onen在文獻(xiàn)[16]中引入了一類新的度量測(cè)度空間滿足所謂的幾何雙倍和上部雙倍條件(見以下定義1.1和1.2). 方便起見, 現(xiàn)將這類新的度量測(cè)度空間簡(jiǎn)稱為非齊型度量測(cè)度空間. 此后, 在這類空間上的相關(guān)研究受到了很多學(xué)者的廣泛的關(guān)注和研究. 例如,Lin和Yang在[17]中得到了以非齊型度量測(cè)度空間為底空間的Marcinkiewicz積分在Lebesgue空間上的一些等價(jià)有界性. Cao和Zhou在文獻(xiàn)[18]中給出了非齊型度量測(cè)度空間上Morrey空間的定義, 且建立了Hardy-Littlewood極大算子, Calder′on-Zygmund算子及Marcinkiewicz積分算子在Morrey空間上的有界性. Xie等在文獻(xiàn)[19]中證明了由雙線性θ型Calder′on-Zygmund算子Tθ與空間RBMO(μ)生成的交換子[b1,b2,Tθ]在Lebesgue空間Lp(μ)上的有界性. 關(guān)于這類新的度量測(cè)度空間上的進(jìn)一步研究和進(jìn)展可以參看文獻(xiàn)[20-29]及其相關(guān)的參考文獻(xiàn).

在給出本文的主要結(jié)構(gòu)之前, 首先回顧本文所需的一些概念. 以下的幾何雙倍和上雙倍條件的定義是由Hyt¨onen在文獻(xiàn)[16]中引入的.

§2 預(yù)備知識(shí)

§3 Lebesgue空間上的有界性

§4 Morrey空間上的有界性