莊皓琬，滕金芳，朱銘敏，羌曉青

(上海交通大學 航空航天學院，上海 200240)

在軸流壓氣機葉片的實際加工過程中，同一葉片在其不同葉高截面處會同時發(fā)生不同類型的幾何偏差，這種多維度的幾何變化會對壓氣機的氣動性能產(chǎn)生較大影響.為了研究葉片在不同葉高位置的加工公差對壓氣機氣動性能的影響，并在壓氣機氣動性能和加工成本之間尋求良好的平衡，需要在葉片不同葉高截面處將多個加工公差類型進行隨機組合造型，并通過計算流體力學(CFD)數(shù)值模擬方法進行氣動性能的量化分析.

由于葉片不同截面葉型的安裝角、位置(包括軸向和周向)和形狀輪廓等在加工中都會產(chǎn)生偏差，并且偏差的大小和分布均具有高度隨機性，開展試驗研究或采用抽樣建模的數(shù)值模擬方法將導(dǎo)致工作量大、成本高等問題.所以，通常采用抽取少量樣本和減少公差種類的方法研究帶有單一公差類型的葉片，如研究安裝角[1-5]、輪廓度[6-7]和位置度[8]等對壓氣機氣動性能的影響.但是，實際壓氣機葉片加工偏差的大小和發(fā)生位置均具有高度隨機性，以上研究無法滿足三維葉片實際加工公差對壓氣機氣動性能影響的評定要求.因此，基于不確定性量化法[9]的多種類加工公差影響研究逐漸得到發(fā)展，該研究采用三維測量方法獲得包括多種公差的真實葉片幾何參數(shù)的概率密度分布[10-11].在此基礎(chǔ)上，Lange等[10]基于蒙特卡洛法進行幾何誤差與性能間影響的統(tǒng)計處理；Schnell等[12]采用主元分析法(PCA)將樣本葉片的幾何誤差分解為多個模式，并采取蒙特卡洛法進行抽樣模擬.此外，非嵌入式多項式混沌法[13-15]和伴隨矩陣法[16-17]也可以用來研究由葉片幾何概率密度分布的不確定性所引起的壓氣機氣動性能的變化.

綜上所述，研究壓氣機葉片多種類加工公差對氣動性能的影響一般采用測量大量葉片的方法，得到實際葉片的三維實體，進而開展不確定性量化分析.針對一種新設(shè)計的壓氣機轉(zhuǎn)子葉片，基于實際加工誤差概率分布特點和航空工業(yè)標準，在葉片不同葉高截面處構(gòu)建葉型多種類加工公差的幾何模型，以模擬實際葉片；量化多維度加工公差對壓氣機氣動性能的影響程度；分析幾何誤差影響效率變化的原因，為壓氣機葉片的工程設(shè)計和加工制造提供指導(dǎo).

1 幾何模型和數(shù)值模擬方法

1.1 幾何模型

選取軸流壓氣機的單級轉(zhuǎn)子、靜子葉片作為研究對象，其設(shè)計點壓比、等熵絕熱效率和進口輪轂比分別為1.24、93.4%和0.913.其中，多維度公差葉片建模只針對轉(zhuǎn)子葉片，原型轉(zhuǎn)子葉片平均半徑截面的弦長為25 mm，展弦比和稠度分別為1.71和1.23.針對該原型的理想轉(zhuǎn)子葉片，根據(jù)工程中對實際葉片加工公差選取的指導(dǎo)原則，前期已經(jīng)開展了葉片軸、周向位置度、扭轉(zhuǎn)度和輪廓度單一公差類型對氣動性能影響的研究[18].葉片各類幾何公差定義如圖1所示，其中Z、Y、γ、C和P分別為截面葉型的軸向位置度、周向位置度、扭轉(zhuǎn)度、弦長和輪廓度.

圖1 葉片幾何公差示意圖Fig.1 Diagrams of blade geometric tolerances

基于原型理想轉(zhuǎn)子葉片，構(gòu)建多種類加工公差的真實葉片幾何模型，具體流程主要包括選取葉片控制截面、獲取截面控制點、控制點坐標變換和帶公差的葉片擬合等步驟.首先，選取轉(zhuǎn)子葉片控制截面為垂直于葉片徑向的15%、50%和85%葉高截面.然后，根據(jù)前后緣加密的原則，通過葉片造型軟件得到每個剖面葉型的控制點坐標.針對原型葉片的截面控制點坐標，采用幾何變換法在各控制截面處先后加入扭轉(zhuǎn)度、位置度和輪廓度公差，得到帶幾何公差葉片的截面控制點坐標.基于得到的截面控制點坐標，通過三次樣條插值得到各控制截面吸力面和壓力面的型線插值方程.最后，利用造型軟件放樣擬合得到帶公差葉片的吸力面和壓力面.該方法采用編程手段可以實現(xiàn)三維帶公差葉片的自動化批量生成，節(jié)省時間且人力成本低，實現(xiàn)了大量氣動性能數(shù)值模擬在不確定性量化分析中的應(yīng)用.

1.2 數(shù)值模擬方法

采用NUMECA商用軟件進行三維數(shù)值模擬.其中，采用AutoGrid模塊進行幾何建模和網(wǎng)格建立等前處理，數(shù)值求解器采用FINE/Turbo模塊對壓氣機進行設(shè)計點工況的定常計算，得出壓氣機的質(zhì)量流量、總壓比、等熵效率、軸向推力和轉(zhuǎn)矩共5個氣動性能結(jié)果，并采用CFView后處理模塊進行流場分析.數(shù)值計算采用Spalart-Allmaras(SA)湍流模型，空間離散采用中心差分格式，時間推進采用四階Runge-Kutta法加速迭代求解.進口邊界條件給定總溫、總壓和氣流角分布，出口邊界條件按徑向平衡方程給定平均靜壓，動靜交界面采用一維無反射邊界條件.計算網(wǎng)格采用O4H型的拓撲結(jié)構(gòu)，以保證網(wǎng)格的正交性；近壁面網(wǎng)格厚度設(shè)置為5×10-6m，以保證第一層網(wǎng)格的近壁面無量綱距離y+值小于10，與所選湍流模型匹配.由于研究對象相同，所以網(wǎng)格方案的驗證參見文獻[18].

為了確保帶公差葉片與原型理想葉片的計算結(jié)果之差僅受葉片幾何的影響，后續(xù)所有葉片樣本均采用與上述數(shù)值方法和網(wǎng)格方案完全相同的參數(shù)設(shè)置，網(wǎng)格總數(shù)均為185萬，以避免因計算設(shè)置不同導(dǎo)致的計算誤差.采用NUMECA軟件支持的Python腳本實現(xiàn)不同葉片模型的網(wǎng)格劃分和計算設(shè)置的自動化，以進行不確定性量化和敏感性分析.

2 數(shù)據(jù)分析方法

2.1 不確定性量化法

基于蒙特卡洛法，分3步對葉片幾何誤差的性能影響進行不確定性量化分析：① 基于高斯分布規(guī)律[19]構(gòu)造葉片幾何誤差的概率分布；② 從已知概率分布中抽樣，得到多維度誤差值樣本并進行氣動性能模擬計算；③ 通過統(tǒng)計方法對得到的氣動性能參數(shù)進行統(tǒng)計量計算和分布擬合.誤差值分布滿足概率密度分布函數(shù)：

(1)

式中：μ為高斯分布的期望，各誤差取值均為0；σ為高斯分布的標準差，幾何誤差的σ值根據(jù)加工公差確定.根據(jù)《葉片葉型的標注、公差與葉身表面粗糙度》標準[20]，確定位置度、扭轉(zhuǎn)度、輪廓度誤差分布的標準差分別為0.5 mm、0.5° 和0.05 mm.

確定誤差概率分布后，利用拉丁超立方抽樣法在3個截面和4種誤差組成的12個誤差維度空間中抽取N個誤差樣本，將每個誤差因子按概率等分為N個區(qū)間，在每個區(qū)間中各隨機抽取一個誤差值，隨后將各維度誤差值隨機組合，得到N個12維誤差樣本.該抽樣方法保證各概率范圍內(nèi)的因子在N個樣本點中只被研究一次，從而有效控制了低概率樣本出現(xiàn)的頻次，保證在抽樣數(shù)量較少時獲得更準確的結(jié)果，計算成本低.

經(jīng)CFD數(shù)值模擬得到樣本性能參數(shù)后，選取結(jié)果均值(μx)和樣本標準差(sx)作為不確定性量化指標，得到葉片幾何誤差對氣動性能參數(shù)的總體影響.

式中：xi為樣本性能參數(shù)計算值；N為樣本總數(shù).

性能參數(shù)的分布擬合以樣本的似然函數(shù)值為指標.連續(xù)型概率分布的函數(shù)值計算方法為

(4)

式中：L(θ)為似然函數(shù)值；θ為概率密度分布函數(shù)中的未知參數(shù)；fθ(xi)為概率密度函數(shù)值.通過求解偏導(dǎo)數(shù)方程可以得到使L(θ)達到極值時的θ值，并將其對應(yīng)的概率分布作為性能參數(shù)分布的擬合結(jié)果.

2.2 敏感性分析法

在多維度葉片幾何公差綜合影響下，進行壓氣機級性能敏感性分析.以斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)為判斷準則，比較各類幾何誤差與各性能參數(shù)間的相關(guān)性，并以此判斷影響性能參數(shù)的決定性因素.任意兩參數(shù)x′與y′的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)定義如下：

(5)

斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)是取值范圍為[-1,1]的無量綱數(shù)，用于衡量兩個參數(shù)間線性關(guān)系的強弱，其絕對值越大，則兩者線性關(guān)系越強.且當ρ>0時，x′與y′呈正相關(guān)；當ρ<0時，x′與y′呈負相關(guān)；當ρ=0時，x′與y′不相關(guān).

3 結(jié)果與分析

采用拉丁超立方法抽取200個誤差樣本進行誤差葉片幾何建模.計算得到各樣本的氣動性能結(jié)果，并進行不確定性量化和敏感性分析，得到轉(zhuǎn)子葉片各截面幾何誤差對壓氣機級各氣動性能參數(shù)的影響.

3.1 不確定性量化分析

表1 各氣動性能參數(shù)的相對誤差分布Tab.1 Relative errors of different aerodynamic performance parameters %

為了消除正、負抵消的影響并衡量幾何誤差帶來的壓氣機級性能平均偏差，需要對各性能參數(shù)的相對標準差進行分析.質(zhì)量流量、軸向推力和轉(zhuǎn)矩的相對誤差分布范圍較大，且轉(zhuǎn)矩最大，其σr=1.13%，表明轉(zhuǎn)子葉片的幾何誤差可以令葉片的部分性能參數(shù)出現(xiàn)相對顯著的變化.而總壓比和等熵效率的各數(shù)據(jù)分布范圍均較小，兩者的σr值均約為原型性能參數(shù)的0.1%.綜上可知：轉(zhuǎn)子葉片幾何誤差對壓氣機級的質(zhì)量流量、軸向推力和轉(zhuǎn)矩的總體影響更明顯.

針對誤差葉片模型樣本數(shù)值計算得到氣動性能參數(shù)，以式(4)所示的似然函數(shù)為指標，對氣動性能參數(shù)進行連續(xù)概率密度分布擬合.根據(jù)性能參數(shù)在均值附近分布較多、極值附近分布較少的特點，以及概率密度函數(shù)的實用性對擬合分布的類型進行初步篩選，確定高斯分布、極值分布、廣義極值分布、邏輯分布和韋伯分布共5類.利用偏微分方程的數(shù)值求解法得到各分布的似然函數(shù)極值及其對應(yīng)參數(shù)，并從中優(yōu)選得到函數(shù)取最大值時的對應(yīng)參數(shù).

表2為各性能參數(shù)在各類擬合分布下的似然函數(shù)最大值(L(θ)max).其中，qmr、pr和ηr分別為相對質(zhì)量流量、相對總壓比和相對等熵效率.針對不同類型的擬合分布，以L(θ)max作為擬合優(yōu)度的評判依據(jù)，L(θ)max越大則擬合優(yōu)度越好.圖2為各性能參數(shù)擬合優(yōu)度最佳的兩類擬合分布概率密度函數(shù)曲線及其對應(yīng)參數(shù).其中，φ為概率分布密度.在質(zhì)量流量的最優(yōu)分布中，雖然5種分布類型的差值低于1%，但是考慮以L(θ)max作為擬合優(yōu)度評判依據(jù)，最終選擇廣義極值分布和正態(tài)分布作為質(zhì)量流量的最優(yōu)擬合分布.

表2 各擬合分布似然函數(shù)最大值Tab.2 Maximum likelihood function values of different fitting distributions

圖2 各性能參數(shù)最優(yōu)擬合分布及其參數(shù)Fig.2 Optimal fitting distributions and parameters of different performance parameters

由表2和圖2可知，轉(zhuǎn)子葉片在多維度幾何誤差的綜合作用下，壓氣機級質(zhì)量流量、總壓比和等熵效率的最優(yōu)擬合均為廣義極值分布，質(zhì)量流量和等熵效率的次優(yōu)擬合為正態(tài)分布，總壓比的次優(yōu)擬合為韋伯分布.

3.2 敏感性分析

利用式(5)計算得到壓氣機性能參數(shù)與轉(zhuǎn)子葉片幾何誤差的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)，并以此衡量壓氣機級性能對各類葉片幾何誤差的敏感性強弱.按照設(shè)計工況下各參數(shù)間敏感性指標值由大到小進行排序，得到如圖3所示的相關(guān)系數(shù)圖，并以此建立轉(zhuǎn)子葉片幾何誤差與壓氣機級性能參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性.其中，ΔZ、ΔY、Δγ和ΔP分別對應(yīng)圖1(a)～(d)中的加工公差類型，下標t、m、b分別代表葉片的上、中、下橫截面，分別對應(yīng)85%、50%和15%葉高截面.

圖3 加工公差與氣動性能參數(shù)的關(guān)聯(lián)性Fig.3 Correlation between manufacturing tolerances and aerodynamic performance parameters

由圖3(a)和(b)可知，轉(zhuǎn)子葉片各幾何誤差對質(zhì)量流量和總壓比的影響幾乎相同.除上、中截面輪廓度和中、下截面軸向位置與質(zhì)量流量和總壓比呈正相關(guān)外，其他8個幾何誤差參數(shù)與以上兩性能參數(shù)均呈負相關(guān).其中，各截面扭轉(zhuǎn)度與兩性能參數(shù)的負相關(guān)關(guān)系最明顯，均有ρ<-0.3，其對質(zhì)量流量和總壓比的影響起主導(dǎo)作用.以上結(jié)論進一步說明了在多維度幾何誤差綜合作用下，質(zhì)量流量和總壓比變化的正相關(guān)關(guān)系，并明確了該關(guān)系是由于各幾何誤差對兩者的影響相近而產(chǎn)生的.

由圖3(c)可知，各幾何誤差參數(shù)中，轉(zhuǎn)子葉片的中、下截面軸向位置與等熵效率呈明顯的正相關(guān)，均有ρ>0.3.而中截面扭轉(zhuǎn)度和下截面周向位置則與等熵效率呈明顯的負相關(guān)，均有ρ<-0.4.以上四種幾何誤差參數(shù)對等熵效率的影響程度相近，其中，中截面扭轉(zhuǎn)度和下截面周向位置對等熵效率的影響起更主導(dǎo)的作用.此外，中截面周向位置和輪廓度與等熵效率的 |ρ| 均在0.01左右，與其他誤差類型相比可以忽略，說明這兩種幾何誤差參數(shù)與等熵效率的變化基本不相關(guān).

3.3 典型流場分析

為了進一步驗證統(tǒng)計規(guī)律并探究葉片加工誤差對壓氣機流場的影響，選取兩個典型帶幾何誤差的葉片案例進行流場分析，并與原型葉片進行比較，如圖4所示.

圖4 兩個典型帶誤差轉(zhuǎn)子葉片與原型葉片對比Fig.4 Comparison of two typical blades with errors and original blade

分別在案例1和2葉片的根、中、尖截面處加入幾何偏差，具體值如表3所示.案例1和2的等熵效率較原型的相對誤差分別為+0.31%和-0.46%，分別對應(yīng)表1中所有算例等熵效率的最大值和最小值；其質(zhì)量流量較原型的相對誤差分別為+1.09%和-1.02%；其總壓比較原型的相對誤差分別為+0.20% 和-0.21%.

由表3可知，案例1葉片的中、根截面均有較大的軸向正向位移，其葉中截面還具有較大的負向扭轉(zhuǎn)，而案例2則相反.此外，兩案例的3種幾何偏差量均屬于3.2節(jié)中與壓氣機級等熵效率相關(guān)性最大的4類幾何誤差，進一步說明了利用斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)進行敏感性分析的可靠性.

表3 兩個典型帶誤差葉片的幾何偏差Tab.3 Geometric deviations of two typical blades with errors

為了探究不同葉片截面上各類誤差的綜合作用影響等熵效率的原因，對轉(zhuǎn)子葉片出口截面周向平均后的相對總壓損失系數(shù)徑向分布進行分析，如圖5所示.案例1在徑向相對位置小于20%和大于70%范圍內(nèi)的總壓損失系數(shù)較原型有所降低，在葉尖和葉根相對總壓損失系數(shù)最大處較原型分別降低了0.71%和1.48%，說明案例1中各幾何誤差變化的綜合作用有利于減小葉尖和葉根處的摻混損失.而案例2中葉尖和葉根的相對總壓損失系數(shù)最大處較原型分別增加0.77%和0.76%，說明在葉片幾何誤差變化的綜合作用下，案例2的葉尖和葉根損失增加，造成轉(zhuǎn)子葉片等熵效率降低.

圖5 相對總壓損失系數(shù)徑向分布Fig.5 Radial distribution of relative total pressure loss coefficient

為了進一步探究葉片幾何誤差變化對相對總壓損失的影響機理，對轉(zhuǎn)子葉片出口截面的熵云圖分布進行分析，如圖6所示.

圖6 轉(zhuǎn)子出口截面熵分布Fig.6 Entropy distributions of rotor outlet

由圖6可知，由于葉根、葉中截面存在軸向位移以及葉中截面扭轉(zhuǎn)等葉片幾何誤差變化的影響，轉(zhuǎn)子葉片出口截面的熵增區(qū)域形狀較原型有較大不同，由于中、下截面存在較大軸向位置度的正向偏移且中截面存在負向扭轉(zhuǎn)，所以案例1中轉(zhuǎn)子葉片出口截面的熵增區(qū)域在周向上的影響范圍減小，說明葉片的幾何誤差變化使得出口流場產(chǎn)生相應(yīng)改變，有利于擴大均勻流動范圍、降低摻混損失.而案例2中的轉(zhuǎn)子葉片幾何誤差變化使得出口截面的熵增區(qū)域扭曲加劇，流場惡化，流動的摻混損失增加.

4 結(jié)論

針對軸流壓氣機的一級轉(zhuǎn)子葉片幾何公差對氣動性能參數(shù)的影響展開研究.基于蒙特卡洛和拉丁超立方法進行誤差葉片抽樣，在葉片不同葉高實現(xiàn)多種類幾何加工公差的三維建模，并對所得的200個誤差樣本進行CFD數(shù)值模擬計算，對計算結(jié)果進行不確定性量化和敏感性分析.最后選出效率最高和最低的兩個典型葉片幾何誤差案例，研究其對出口流場的影響.具體結(jié)論如下：

(1) 全部誤差葉片樣本的質(zhì)量流量、總壓比、等熵效率、軸向推力和轉(zhuǎn)矩等氣動性能的平均值與原型葉片的相對誤差均小于0.1%，所有轉(zhuǎn)子葉片樣本的幾何公差對壓氣機級的平均性能影響不大；而質(zhì)量流量、軸向推力和轉(zhuǎn)矩的相對誤差分布范圍較大，性能參數(shù)的相對誤差最大范圍為-2.90%～2.30%.因此，應(yīng)在葉片的設(shè)計與使用中重點關(guān)注以上性能參數(shù)的變化.

(2) 在位置度、扭轉(zhuǎn)度和輪廓度的葉片幾何誤差中，壓氣機級各氣動參數(shù)對葉片扭轉(zhuǎn)度的敏感性最強.此外，等熵效率除受葉中截面扭轉(zhuǎn)度影響較大外，還與葉中截面的軸向位置以和葉根截面的軸、周向位置度呈明顯相關(guān)性.因此，在實際加工中，應(yīng)嚴格控制葉片的扭轉(zhuǎn)度制造公差以及葉中、葉根截面位置度的公差選取.

(3) 在葉片位置度、扭轉(zhuǎn)度和輪廓度公差范圍內(nèi)的幾何誤差的綜合作用下，案例1和2的等熵效率較原型的相對誤差分別為+0.31%和-0.46%.兩案例明顯改變了轉(zhuǎn)子葉片出口截面的相對總壓損失徑向分布和通道出口熵云圖分布，進而影響了葉片通道內(nèi)氣流的流通和增壓能力，使得案例1和2較原型的質(zhì)量流量相對誤差分別為+1.09%和-1.02%，總壓比相對誤差分別為+0.20%和-0.21%.