劉 邱，趙東亞

(中國(guó)石油大學(xué)(華東) 新能源學(xué)院，山東 青島 266580)

滑?？刂谱钤绯霈F(xiàn)于20世紀(jì)50年代，由Utkin提出[1].經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，滑模控制已成為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的研究分支，廣泛適用于線性和非線性系統(tǒng)、確定和不確定系統(tǒng)以及連續(xù)和離散系統(tǒng)等[2].隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，越來(lái)越多的場(chǎng)合利用計(jì)算機(jī)來(lái)控制，因此，離散滑?？刂频难芯康玫搅烁嗟年P(guān)注和發(fā)展.普通的滑模控制在跟蹤軌跡時(shí)，如果有外部擾動(dòng)，易產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，難以達(dá)到預(yù)期的性能指標(biāo).針對(duì)上述問(wèn)題，Slotine等[3]提出了一種積分滑?？刂破鞑呗裕ㄟ^(guò)該積分非線性滑模面削弱了系統(tǒng)抖振并減小了系統(tǒng)誤差.文獻(xiàn)[4]提出了一種可以更加自由地選取滑模面參數(shù)的一般形式積分滑模面.文獻(xiàn)[5]提出了一種新的積分滑?？刂品椒?，解決了對(duì)象的局限性問(wèn)題，并將其成功應(yīng)用于最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng).因?yàn)榉e分滑模良好的控制表現(xiàn)，越來(lái)越多的學(xué)者投身于積分滑模的研究.此外，積分滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)也得以推廣到帶有匹配以及非匹配不確定性連續(xù)或離散系統(tǒng)中[5-7].相對(duì)一般滑?？刂贫?，在積分滑模面中，系統(tǒng)具有和狀態(tài)空間一樣的維數(shù).在設(shè)計(jì)積分滑模控制器時(shí)，可以通過(guò)合理設(shè)計(jì)狀態(tài)初始值，保證系統(tǒng)的狀態(tài)軌線總是處于滑模面上，從而消除了不具備魯棒性的趨近階段，保證了系統(tǒng)的整體魯棒性[8].

預(yù)測(cè)控制是一種在工業(yè)應(yīng)用中發(fā)展起來(lái)的一種控制技術(shù)，其控制的3項(xiàng)基本組成為：預(yù)測(cè)模型、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正[9]，即通過(guò)狀態(tài)空間、階躍響應(yīng)這樣的預(yù)測(cè)模型得到未來(lái)的動(dòng)態(tài)行為，對(duì)未來(lái)的輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)以及在線優(yōu)化，對(duì)未來(lái)的誤差做出預(yù)測(cè)和補(bǔ)償[10].預(yù)測(cè)控制的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)模型的要求不高，簡(jiǎn)化了系統(tǒng)建模的工作，并且滾動(dòng)優(yōu)化的策略保證了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性.近年來(lái)，研究人員在預(yù)測(cè)控制在理論及應(yīng)用方面都取得了極其顯著的成果，突破了早期的框架，與魯棒控制、滑?？刂啤⒆赃m應(yīng)控制等相結(jié)合，形成了更為先進(jìn)的控制策略[11].文獻(xiàn)[12]將預(yù)測(cè)控制和滑?？刂平Y(jié)合，以系統(tǒng)名義模型為預(yù)測(cè)模型，將滾動(dòng)優(yōu)化、反饋校正的思想引入離散滑模控制器的設(shè)計(jì)中，既削弱了抖振又加強(qiáng)了魯棒性.文獻(xiàn)[13]將滑模控制與非線性模型預(yù)測(cè)控制結(jié)合，利用切換函數(shù)使滑動(dòng)模態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定，在有限預(yù)測(cè)時(shí)域的基礎(chǔ)上，對(duì)切換函數(shù)施加等式約束.結(jié)果顯示，該方法結(jié)合了預(yù)測(cè)控制處理約束和滑?？刂茖?duì)干擾不變性的優(yōu)點(diǎn).

考慮到滑?？刂婆c模型控制的特點(diǎn)，本文將離散積分滑?？刂婆c模型預(yù)測(cè)控制結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種離散積分滑模預(yù)測(cè)控制器，所提出的控制算法具有積分滑?？刂频膹?qiáng)魯棒性，削弱了預(yù)測(cè)控制的超調(diào)，還解決了滑?？刂撇荒芴幚砑s束的問(wèn)題.

1 離散積分滑模設(shè)計(jì)

考慮一個(gè)不確定離散系統(tǒng)

(1)

式中：x(k)∈Rn×1為狀態(tài)向量；u(k)為控制輸入；A∈Rn×n，B∈Rn×1可控；C∈R1×n；f(k)為輸入的干擾.

離散積分滑模設(shè)計(jì)：

σ(k)=Gx(k)-Gx(0)+b(k)

(2)

b(k)=b(k-1)-

[GBu0(k-1)+GAx(k-1)]

(3)

式中：σ∈R,b∈R,b(0)=0,G∈R1×n.

由式(2)和(3)可得

σ(k+1)=

Gx(k+1)-Gx(0)+b(k+1)

(4)

b(k+1)=

b(k)-[GBu0(k)+GAx(k)]

(5)

將式(5)代入式(4)得

σ(k+1)=Gx(k+1)-Gx(0)+b(k)-

[GBu0(k)+GAx(k)]

(6)

將等式(6)變形

σ(k+1)=Gx(k+1)+Gx(k)-

Gx(0)+b(k)-Gx(k)-

[GBu0(k)+GAx(k)]

(7)

由積分滑模性質(zhì)可知

σ(k+1)=σ(k)=0

(8)

則式(7)可化為

(9)

將u0(k)寫(xiě)為

u0(k)=u1(k)+u2(k)+u3(k)

(10)

式中：u1(k)由預(yù)測(cè)控制設(shè)計(jì)；u2(k)設(shè)計(jì)為狀態(tài)反饋的形式；u3(k)為克服干擾項(xiàng);I為單位矩陣.

(11)

式中：K∈R1×n，η∈R.這里狀態(tài)反饋增益K和滑?？刂圃鲆娌煌?

2 預(yù)測(cè)控制設(shè)計(jì)

基于模型預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)未來(lái)的動(dòng)態(tài)，默認(rèn)系統(tǒng)全部狀態(tài)可測(cè)，將狀態(tài)空間模型(式(1))改寫(xiě)為增量模型

(12)

式中：

Δx(k)=x(k)-x(k-1)

Δu(k)=u(k)-u(k-1)

預(yù)測(cè)控制的原理首先是以最新測(cè)量值為初始條件的，并基于模型(式(1))來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)系統(tǒng)狀態(tài).設(shè)控制時(shí)域?yàn)閙,預(yù)測(cè)時(shí)域?yàn)閜，且m

假設(shè)1在控制時(shí)域以外，控制量不變，即Δu(k+i)=0,m≤i

假設(shè)2可測(cè)干擾在k時(shí)刻后不變，即Δu(k+i)=0,1≤i

在當(dāng)前時(shí)刻k，可以預(yù)測(cè)未來(lái)p個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)增量：

Δx(k+1|k)=AΔx(k)+BΔu(k)

Δx(k+2|k)=

Δx(k+1)+BΔu(k+1)=

A2Δx(k)+ABΔu(k)+BΔu(k+1)

?

Δx(k+p|k)=

Δx(k+2)+BΔu(k+2)=

ApΔx(k)+Ap-1BΔu(k)+

Ap-2BΔu(k+1)+…+BΔu(k+p-1)

同理，可以預(yù)測(cè)未來(lái)p個(gè)時(shí)刻的輸出為

y(k+1|k)=CΔx(k+1|k)+y(k)=

CAΔx(k)+CBΔu(k)+y(k)

y(k+2|k)=CΔx(k+2|k)+y(k+1|k)=

(CA2+CA)Δx(k)+y(k)+

(CAB+CB)Δu(k)+CBΔu(k+1)

?

y(k+p|k)=

CΔx(k+p|k)+y(k+p-1|k)=

將預(yù)測(cè)輸出(p步)以及輸入(m步)寫(xiě)成向量的形式：

(13)

(14)

由此可以得到預(yù)測(cè)未來(lái)p步輸出的預(yù)測(cè)方程

Y(k+1|k)=

SΔx(k)+Iyy(k)+QΔU(k)

(15)

式中:

Q=

為求解控制律，選取目標(biāo)函數(shù)如下：

(16)

式中：r為參考軌跡.為方便求解，將式(16)寫(xiě)成矩陣向量形式

J=‖Γy(Y(k+1|k))-

R(k+1)‖2+‖ΓuΔU(k)‖2

(17)

式中：

Γy=diag(Γy,1,Γy,2,…,Γy,p)

Γu=diag(Γu,1,Γu,2,…,Γu,m)

為方便求解，定義輔助變量

(18)

則目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

J=ρTρ

(19)

將式(13)和(14)代入式(18)得

ρ=

Φz(mì)-Ω

(20)

E(k+1|k)=

R(k+1)-SΔx(k)-Iyy(k)

(21)

求解問(wèn)題在于使目標(biāo)函數(shù)最小化，即

minρTρ

(22)

對(duì)式(22)求導(dǎo)：

(23)

求得極值解為

z*=(ΦTΦ)-1ΦTΩ

(24)

二階導(dǎo)數(shù)

(25)

所以z*為目標(biāo)函數(shù)取得最小值的解.

則得到k時(shí)刻的最優(yōu)控制序列為：

ΔU*(k)=

(26)

根據(jù)模型預(yù)測(cè)控制的原理，只有最優(yōu)控制序列的第一個(gè)元素作用于系統(tǒng)，即：

(27)

為簡(jiǎn)化形式，定義控制增益為

(28)

則控制增量為

Δu(k)=KmpcE(k+1|k)

(29)

可得控制律：

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(30)

3 穩(wěn)定性分析

考慮系統(tǒng)的增量模型：

Δx(k+1)=AΔx(k)+BΔu(k)

(31)

推導(dǎo)閉環(huán)系統(tǒng)表達(dá)式，將式(21)和(28)代入式(29)可得

Δu(k)=

Kmpc[R(k+1)-SΔx(k)-Iyy(k)]=

KmpcR(k+1)-KmpcSΔx(k)-KmpcIyCx(k)

(32)

將式(32)代入(31)得

Δx(k+1)=

AΔx(k)+BKmpcR(k+1)-

BKmpcSΔx(k)-BKmpcIyCx(k)=

(A-KmpcS)Δx(k)+

BKmpc[R(k+1)-IyCx(k)]

(33)

由自動(dòng)控制穩(wěn)定性條件可知，如果矩陣(A-KmpcS)所有特征值都位于單位圓內(nèi)，則閉環(huán)系統(tǒng)(式(33))是名義漸近穩(wěn)定的.

4 仿真研究

研究如下的SISO系統(tǒng)：

(34)

當(dāng)采樣時(shí)間T=0.01 s時(shí)，

f(k)=0.5sin(kT)

(35)

(36)

預(yù)測(cè)時(shí)域p=30，控制時(shí)域m=4,

單純的預(yù)測(cè)控制仿真結(jié)果如圖1～4所示：?jiǎn)渭兊念A(yù)測(cè)控制能夠使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，但面對(duì)干擾系統(tǒng)控制不太平穩(wěn)，存在超調(diào)現(xiàn)象，控制輸入的波動(dòng)也比較大.

圖1 純預(yù)測(cè)控制無(wú)干擾的輸出Fig.1 Output of predictive control without disturbance

圖2 純預(yù)測(cè)控制無(wú)干擾的輸入Fig.2 Input of predictive control without disturbance

圖3 純預(yù)測(cè)控制有干擾的輸出Fig.3 Output of predictive control with disturbance

圖4 純預(yù)測(cè)控制有干擾的輸入Fig.4 Input of predictive control with disturbance

圖5 滑模預(yù)測(cè)控制無(wú)干擾的輸出Fig.5 Output of sliding mode predictive control without disturbance

圖6 滑模預(yù)測(cè)控制無(wú)干擾的輸入Fig.6 Input of sliding mode predictive control without disturbance

圖7 滑模預(yù)測(cè)控制有干擾的輸出Fig.7 Output of sliding mode predictive control with disturbance

圖8 滑模預(yù)測(cè)控制有干擾的輸入Fig.8 Input of sliding mode predictive control with disturbance

5 結(jié)語(yǔ)

滑模控制和預(yù)測(cè)控制算法都是工業(yè)應(yīng)用中比較成熟的控制算法.本文利用滑?？刂茖?duì)干擾的魯棒性和預(yù)測(cè)控制能夠利用豐富的動(dòng)態(tài)信息多步預(yù)測(cè)輸出狀態(tài)的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種積分滑模預(yù)測(cè)控制算法.該方法結(jié)合了兩種控制算法的優(yōu)點(diǎn)，具有控制平穩(wěn)、超調(diào)量小的優(yōu)點(diǎn)，為處理約束問(wèn)題和提高控制魯棒性提供了一種新的思路.