許 志，史 偉，唐 碩

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072；2. 陜西省空天飛行器設(shè)計重點實驗室，西安 710072)

0 引 言

臨近空間高超聲速武器具有大空域、速度快、機動性強等飛行特性，給防空系統(tǒng)的攔截中制導(dǎo)帶來了新的挑戰(zhàn)[1-5]，具體表現(xiàn)為：1)當(dāng)?shù)退俚姆揽諏?dǎo)彈攔截高速的臨近空間飛行器時，中-末制導(dǎo)交班時導(dǎo)彈只有處于目標(biāo)的逆軌狀態(tài)時，才能有效降低末制導(dǎo)的需用過載[6]；2)彈-目以一定交會角碰撞可有效提高對目標(biāo)的毀傷效果。同時當(dāng)中-末制導(dǎo)交班時滿足零控攔截條件時，可有效降低末制導(dǎo)段的攔截難度；3)防空導(dǎo)彈在臨近空間飛行時可用過載有限，需要降低全程過載并保證終端過載收斂。上述特點使得防空導(dǎo)彈的中制導(dǎo)必需滿足的約束是使導(dǎo)引頭穩(wěn)定捕獲目標(biāo)、有效降低中制導(dǎo)段的需用過載以及滿足逆軌攔截的要求。

目前國內(nèi)外學(xué)者多針對彈-目速度比處于優(yōu)勢條件下的中制導(dǎo)律研究，常用的設(shè)計方法有滑模導(dǎo)引律[7-8]、最優(yōu)導(dǎo)引律[9-12]、比例導(dǎo)引法及其變形[13-14]等。文獻[7]設(shè)計了一種滿足控制能量最小和中末制導(dǎo)交班時速度前置角最小的最優(yōu)滑模中制導(dǎo)律。文獻[9-10]提出了一種滿足終端位置與角度約束的中制導(dǎo)律，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出II脈沖點火時刻。文獻[13]推導(dǎo)了基于零控脫靶量的變系數(shù)預(yù)測比例導(dǎo)引法，并提出了剩余時間估計方法。上述方法主要是針對低速目標(biāo)的攔截任務(wù)，臨近空間目標(biāo)特性打破了防空導(dǎo)彈的速度、過載優(yōu)勢，極快的彈-目相對速度導(dǎo)致這些方法難以保證多約束條件下的過載收斂性問題。并且，按照一定交會角攔截目標(biāo)保證毀傷效果，更降低了這些方法的適用性。而針對目標(biāo)的精確打擊，在中-末制導(dǎo)交班時進入零控攔截流形，有效降低末制導(dǎo)的攔截難度，對中制導(dǎo)算法的設(shè)計具有重要價值。文獻[15-17]研究了滿足零控攔截條件下的彈-目相對運動關(guān)系，無法適用于滿足特定航跡角約束條件下的零控攔截流形解算。

本文以具有雙脈沖發(fā)動機的防空導(dǎo)彈攔截臨近空間高超聲速目標(biāo)為攔截場景，在文獻[11]的基礎(chǔ)上改進推導(dǎo)了一種保證終端過載收斂的ZEM-ZEV制導(dǎo)律，基于文獻[15-17]設(shè)計了三維帶航跡角約束的零控攔截流形，并以此為中制導(dǎo)終端約束，改進了上述制導(dǎo)方法無法適用于對交會角的約束；通過在線動態(tài)生成的最優(yōu)初-中制導(dǎo)交班速度方向與II脈沖發(fā)動機開機時刻，進一步降低中制導(dǎo)段的需用過載，滿足飛行時間約束。

1 防空導(dǎo)彈多約束問題

防空導(dǎo)彈采用姿、軌控發(fā)動機與雙脈沖發(fā)動機的方案來提高攔截能力，典型飛行時序如圖1所示。在攻防雙方的飛行特性要求下，防空導(dǎo)彈中制導(dǎo)算法面臨新的困難與挑戰(zhàn)：

1)采用逆軌攔截的方式增加了中-末交班約束條件。由于極快的彈-目相對速度，有效攻擊區(qū)十分狹窄，需要攔截彈具備航跡角、視線角速率約束的逆軌攔截條件，大大增加了中制導(dǎo)技術(shù)難度。典型末制導(dǎo)的攔截條件如圖2所示，由于導(dǎo)引頭視場、機動能力等限制因素，末制導(dǎo)段的捕獲域急劇減小，對中-末制導(dǎo)交班時的速度偏差要求苛刻。因此將防空導(dǎo)彈導(dǎo)引至帶航跡角約束的零控攔截流形是最有效的中制導(dǎo)方式之一。

2)初-中制導(dǎo)交班條件約束。攔截彈采用姿、軌控發(fā)動機的方案來提高初制導(dǎo)轉(zhuǎn)向能力，當(dāng)交班條件超出范圍時，導(dǎo)彈需要付出較大過載才能調(diào)整飛行狀態(tài)，這會使得攔截彈在臨近空間無法提供足夠的過載而導(dǎo)致脫靶。

圖1 典型防空導(dǎo)彈飛行時序示意圖Fig.1 Typical launch process of a interceptor

圖2 典型末制導(dǎo)攔截條件Fig.2 Typical terminal guidance interception condition

3)可調(diào)II脈沖發(fā)動機開機時刻成為重要的中制導(dǎo)設(shè)計參數(shù)之一。II脈沖發(fā)動機開機時刻決定攔截彈的動力分配，影響全段飛行時間，使攔截彈具備動態(tài)調(diào)整彈-目遭遇點的能力。

由圖2可知，防空導(dǎo)彈需要采取逆軌攔截方式才能保證對臨近空間高超聲速目標(biāo)的攔截效果。因此本文從以下幾個方面開展工作：首先，利用最優(yōu)控制原理推導(dǎo)滿足多約束的中制導(dǎo)律；其次，設(shè)計帶航跡角約束的零控攔截流形，并作為中-末制導(dǎo)交班約束；最后，在剩余時間高精度估計的基礎(chǔ)上，設(shè)計防空導(dǎo)彈初-中制導(dǎo)交班條件與II脈沖發(fā)動機開機時刻的迭代邏輯，達到降低中制導(dǎo)段需用過載的目的。

2 多約束中制導(dǎo)算法

2.1 基于中-末制導(dǎo)交班約束的ZEM-ZEV制導(dǎo)算法

零控脫靶量(Zero-Effort-Miss，ZEM)定義為零過載條件下飛行器飛行至終端時的位置偏差；零控速度偏量(Zero-Effort-Velocity，ZEV)定義為零過載條件下飛行器飛行至終端時的速度偏差。基于中-末制導(dǎo)交班約束的ZEM-ZEV算法[11]研究制導(dǎo)指令與零控脫靶量、零控速度偏量的關(guān)系，具體推導(dǎo)如下。

在發(fā)射坐標(biāo)系下的防空導(dǎo)彈質(zhì)心運動方程為：

(1)

式中：r和V分別為是導(dǎo)彈的位置矢量和速度矢量，a是除重力外的合外力T(推力及氣動力)產(chǎn)生的加速度，本文將其視為控制量。

設(shè)計帶時變權(quán)重的全程控制能量最小為性能指標(biāo)，可有效降低全程過載，并保證過載的收斂性：

(2)

引入中-末制導(dǎo)交班的位置矢量與速度矢量約束，作為中制導(dǎo)終端約束：

(3)

通過求解式(4)的兩點邊值問題可得制導(dǎo)律，引入拉格朗日乘子將終端約束與性能指標(biāo)結(jié)合，有：

(4)

由式(4)可得，該性能指標(biāo)對應(yīng)的哈密爾頓函數(shù)：

(5)

式中：λr，λV分別為位置速度矢量r，V對應(yīng)的協(xié)態(tài)向量。由變分法求解最優(yōu)控制問題，可得：

(6)

由式(6)可得，控制量與協(xié)態(tài)向量的關(guān)系為：

(7)

式中：tgo=tf-t，表示剩余飛行時間。將式(7)得到的控制量解析模型帶入式(1)質(zhì)心運動方程，通過式(3)的終端約束可得最優(yōu)控制的解：

(8)

進一步將重力加速度簡化為常值，可得：

(9)

引入考慮重力加速度的零控脫靶量Rzem與零控速度偏量Vzev，有：

(10)

聯(lián)立式(9)、(10)，可得制導(dǎo)指令與零控脫靶量、零控速度偏量的關(guān)系：

(11)

式(11)是基于中-末制導(dǎo)交班位置、速度約束的ZEM-ZEV制導(dǎo)算法，其核心思想是在飛行過程中修正預(yù)測位置、速度偏差來適應(yīng)終端約束，是一種基于預(yù)測-校正的制導(dǎo)律。

2.2 帶航跡角約束的零控攔截流形

將攔截彈送入至零控攔截流形可有效降低末制導(dǎo)的過載，是最有效的中制導(dǎo)方式之一。當(dāng)彈-目距離較近時，可忽略重力加速度對零控攔截流形影響較小[15-17]。

圖3 目標(biāo)彈道坐標(biāo)系下的彈-目運動關(guān)系Fig.3 Missile-target motion relationship in target ballistic coordinate system

滿足零控攔截條件的彈-目運動關(guān)系如圖3所示，采用目標(biāo)彈道系Txyz作為參考系，引入航跡夾角Δθ與航跡偏角Δψ可將彈-目運動分解為兩個平面的運動：Tx-M組成的等效縱向平面和側(cè)向平面Tyz。

圖4 在Tx-M面下的彈-目運動關(guān)系Fig.4 Missile-target motion relationship in Tx-M surface

等效縱向平面運動如圖4所示，引入總視線角q與總彈道傾角θn可得，防空導(dǎo)彈的總彈道傾角為：

θn=Δθ

(12)

由彈-目運動關(guān)系可得碰撞三角形約束，可得滿足零控攔截條件的總視線角與總彈道傾角關(guān)系：

(13)

因此，保證零控攔截條件的彈-目相對位置矢量與導(dǎo)彈速度矢量滿足如下關(guān)系：

(14)

式(14)為Tx-M組成的等效縱向平面運動關(guān)系，保證了帶航跡夾角約束下的零控攔截分布圓條件，需要引入側(cè)向平面Tyz來描述分布圓上點的關(guān)系。

圖5 在Tyz面下的彈-目運動關(guān)系Fig.5 Missile-target motion relationship in Tyz surface

Tyz面的彈-目相對運動關(guān)系如圖5所示，彈-目相對運動在Tyz面的分量指向原點T可保證三維零控攔截條件：

(15)

聯(lián)立式(14)、(15)，可得目標(biāo)彈道坐標(biāo)系下帶航跡角約束的零控攔截流形，將上式轉(zhuǎn)化為發(fā)射坐標(biāo)系下，有：

(16)

式中：L(ψVT,θT)為發(fā)射系與目標(biāo)彈道系的轉(zhuǎn)換矩陣。式(16)是帶航跡角約束的零控攔截流形，是防空導(dǎo)彈在中-末制導(dǎo)交班時需要滿足的條件。

3 中制導(dǎo)算法求解

3.1 制導(dǎo)參數(shù)迭代算法

以帶航跡角約束的零控攔截流形作為中制導(dǎo)終端約束，依靠當(dāng)前飛行狀態(tài)預(yù)測終端位置、速度偏差生成制導(dǎo)指令，是本文所提多約束中制導(dǎo)的核心思想，因此需要解算三項內(nèi)容：剩余時間tgo、零控脫靶量Rzem、零控速度偏量Vzev。

圖6 ZEM-ZEV制導(dǎo)算法基本原理Fig.6 Basic principle of ZEM-ZEV guidance algorithm

制導(dǎo)參數(shù)的矢量關(guān)系如圖6所示。將式(1)簡化為關(guān)于法向過載n的攔截彈狀態(tài)微分表達式，引入軌跡預(yù)示的目標(biāo)狀態(tài)微分表達式，組成彈-目運動狀態(tài)方程：

(17)

式中：XM，XT分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的運動學(xué)參量。將零控條件下的狀態(tài)微分方程積分來預(yù)測未來防空導(dǎo)彈的飛行狀態(tài)，有：

(18)

引入導(dǎo)引頭探測距離R，當(dāng)彈-目距離小于R時視為中-末制導(dǎo)交班完成。以附加零控攔截流形的目標(biāo)預(yù)示信息作為時變中制導(dǎo)終端約束，即：

(19)

聯(lián)立式(17)，(19)，積分至防空導(dǎo)彈距中制導(dǎo)終端位置最近時，作為迭代結(jié)束標(biāo)志，即：

(VT f-VMf)·(rT f+R′-rMf)=0

(20)

式中：rMf，rTf分別是彈、目終端位置矢量，VMf，VTf分別是彈、目終端速度矢量，R′是帶航跡角約束的零控攔截流形中距離矢量。由式(20)迭代終端時刻tf與當(dāng)前飛行時刻t，可以得到中制導(dǎo)剩余時間高精度估算結(jié)果，即：

tgo=tf-t

(21)

因此，制導(dǎo)算法中的Rzem與Vzev分別為：

(22)

聯(lián)立式(21)和(22)，可得制導(dǎo)算法中的剩余時間tgo，零控脫靶量Rzem，零控速度偏量Vzev。通過引入標(biāo)稱零控導(dǎo)彈運動模型與目標(biāo)預(yù)示模型解算的制導(dǎo)參數(shù)，提高中制導(dǎo)剩余時間估計精度，保證終端偏差收斂至0。

3.2 交班參數(shù)及點火時間的計算

保證初-中制導(dǎo)交班平緩是降低中制導(dǎo)需用過載的必要條件之一。將采用直接力轉(zhuǎn)彎后的彈體轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)化為速度轉(zhuǎn)向，簡化轉(zhuǎn)彎后的初制導(dǎo)為零控飛行，因此初-中制導(dǎo)交班條件可轉(zhuǎn)化為保證交班平緩的初始速度方向優(yōu)化問題。本文根據(jù)研究對象的特性，利用具備實現(xiàn)容易、精度高、收斂快等特點的粒子群算法，設(shè)計初中制導(dǎo)交班點速度方向迭代邏輯。

以來襲目標(biāo)的初始方向為射向，將初始彈道傾角與彈道偏角作為粒子群算法的控制量，即：

u=(θ,ψV)

(23)

引入式(11)的制導(dǎo)律，建立控制量與初-中制導(dǎo)交班處法向過載的關(guān)系：

(24)

以交班處的法向過載最小作為性能指標(biāo)：

(25)

根據(jù)各個粒子的性能，計算個體最優(yōu)位置pi,j與全局最優(yōu)位置gj，根據(jù)粒子群算法進行迭代：

(26)

式中：r為更新粒子時所使用的隨機數(shù)，c為全局最優(yōu)與粒子最優(yōu)所占比重。通過上式將粒子群不斷迭代至滿足精度要求為止，即：

(27)

在設(shè)計II脈沖發(fā)動機開機時刻時，通過引入剩余時間估算方法，以全段飛行時間偏差的指標(biāo)來設(shè)計II脈沖發(fā)動機開機時刻，并引入牛頓迭代法作為迭代基本方法，有：

(28)

當(dāng)II脈沖開機時間迭代至滿足精度要求時，停止當(dāng)前步驟迭代；當(dāng)動態(tài)生成的開機時刻與飛行時間匹配時，II脈沖發(fā)動機點火。

4 逆軌攔截中制導(dǎo)算法的仿真驗證

本文以某臨近空間高超聲速滑翔飛行器作為攔截對象，初始位置為(300 km，60 km，0 km)，初始速度3500 m/s，初始彈道傾角、偏角為(-22°，180°)，在臨近空間作“S”形機動，飛行過程中伴隨著大幅度機動減速。

4.1 標(biāo)稱條件下多彈攔截機動目標(biāo)仿真校驗

本文通過設(shè)置不同飛行時間與航跡角約束的飛行任務(wù)來校驗算法對終端任務(wù)的適應(yīng)性。假設(shè)目標(biāo)軌跡預(yù)示準(zhǔn)確，設(shè)計標(biāo)稱條件下的多彈組網(wǎng)攔截場景：三枚防空導(dǎo)彈相隔4 s發(fā)射，全程飛行時間88 s，按照不同航跡角進行組網(wǎng)攔截。同時引入預(yù)測比例導(dǎo)引法(PPN)與本文所提方法進行對比。

表1 標(biāo)稱條件下機動目標(biāo)多彈攔截仿真結(jié)果Table 1 Simulation results of maneuverubf target mutielastic intercept under nominal conditions

圖7 機動目標(biāo)無偏攔截飛行參數(shù)曲線Fig.7 Maneuvering target interception flight parameter curve under unbiased condition

標(biāo)稱條件下各項飛行參數(shù)的仿真曲線如圖7所示。圖7(a)飛行軌跡曲線中，兩種算法的中-末制導(dǎo)交班點重合，但本文所提算法的脫靶量更小，表明本文所提算法保證將防空導(dǎo)彈送入零控攔截流形中，可有效降低末制導(dǎo)過載；圖7(b)、(c)彈道方向與過載曲線中，設(shè)計的初始速度方向保證了初-中制導(dǎo)平緩交班，在降低全程過載的同時能夠使過載具有收斂性，對比預(yù)測比例導(dǎo)引法具有明顯優(yōu)勢；圖7(d)預(yù)測飛行余時間與真實飛行時間重合，表明本文提出的剩余時間求解算法高精度地估算出中制導(dǎo)段飛行時間，根據(jù)攔截任務(wù)在線動態(tài)生成II脈沖發(fā)動機開機時刻。根據(jù)表1給出時間偏差、視線角速率、零控脫靶量等仿真結(jié)果可知，本文所提方法能夠同時滿足終端位置、速度方向與飛行時間約束，進而將導(dǎo)彈導(dǎo)引至帶航跡角約束的零控攔截流形中，在有效降低中制導(dǎo)段需用過載的同時，保證了過載的收斂性。對比預(yù)測比例導(dǎo)引法，由于無法引入速度方向約束，會引起較大的脫靶量。

4.2 偏差條件下算法魯棒性驗證

為檢驗本文所提制導(dǎo)方法的制導(dǎo)精度及魯棒性，針對防空導(dǎo)彈總體參數(shù)的偏差散布(如表2所示)進行Monte Carlo打靶方法仿真檢驗。引入偏差條件下的攔截場景：10 s時攔截彈按照解算的初始速度方向(53.56°，-17.38°)發(fā)射，以預(yù)定終端航跡角(10°,90°)攔截目標(biāo)，通過動態(tài)調(diào)整Ⅱ脈沖發(fā)動機開機時刻來滿足全程任務(wù)飛行時間(80 s)。

表2 防空導(dǎo)彈總體參數(shù)偏差配置表Table 2 Air defense missile overall parameter deviation configurationTable

圖8 偏差條件下機動目標(biāo)攔截飛行參數(shù)曲線Fig.8 Maneuvering target interception flight parameter curve under biased condition

偏差條件下各項飛行參數(shù)的仿真曲線如圖8所示，不同偏差散布下算法通過動態(tài)調(diào)節(jié)II脈沖發(fā)動機的開機時刻，保證飛行時間約束。由圖8(b)、(c)可以看出在初-中制導(dǎo)交班點等典型飛行時刻的過載曲線出現(xiàn)較大階躍，這是由于存在總體參數(shù)偏差，使用標(biāo)稱值解算制導(dǎo)參數(shù)時會帶來額外的機動，但仍保證了在全程過載較小的前提下的終端過載收斂；圖8(d)中制導(dǎo)預(yù)測飛行時間散布在±2 s以內(nèi)，參數(shù)偏差降低中制導(dǎo)預(yù)測時間的精度，影響II脈沖開機時刻，但預(yù)測飛行時間偏差散布較小，仍舊具備重要的應(yīng)用價值。

由表3給出統(tǒng)計結(jié)果可知，本文所提中制導(dǎo)算法對總體參數(shù)偏差具有強魯棒性、制導(dǎo)精度高，在偏差條件下完成預(yù)定攔截任務(wù)。

5 結(jié) 論

1) 本文基于最優(yōu)控制理論，推導(dǎo)滿足中-末制導(dǎo)交班位置、速度方向約束與過載收斂的最優(yōu)中制導(dǎo)律，設(shè)計帶航跡角約束的零控攔截流形作為中制導(dǎo)終端約束；

表3 攔截任務(wù)與蒙特卡洛仿真統(tǒng)計結(jié)果表Table 3 Intercept task and Monto Carlo simulation statisticsTable

2) 通過引入彈-目軌跡預(yù)示信息，采用剩余時間高精度估計方法，實時迭代中制導(dǎo)律相關(guān)參數(shù)；根據(jù)初-中制導(dǎo)平緩與飛行時間約束，動態(tài)生成初始速度方向與II脈沖發(fā)動機的點火時間，提高算法對不同任務(wù)的適應(yīng)性；

3) 通過蒙特卡洛仿真，檢驗了本文所提出的中制導(dǎo)算法魯棒性好、精度高，具備重要的研究意義與應(yīng)用價值。但由于本文所提方法引入了目標(biāo)軌跡預(yù)示的信息，未來將結(jié)合軌跡預(yù)示方法，對該制導(dǎo)算法做進一步的優(yōu)化設(shè)計，以驗證算法對預(yù)示偏差的適應(yīng)能力。