榮吉利，宋逸博,2，劉志超，辛鵬飛

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2.中國運載火箭技術(shù)研究院, 北京 100076; 3. 空間物理重點實驗室，北京 100076；4. 北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094)

0 引 言

隨著航天器能源的供給要求以及航天器小型輕量化要求的提高，應(yīng)用于太空的空間可展開機構(gòu)得到了迅速發(fā)展[1-2]，出現(xiàn)了以日本IKAROS[3]為代表的薄膜太陽帆[4]，大型可展開桁架索網(wǎng)天線[5]以及可展開薄膜天線[6]等。2006年，美國ABLE(現(xiàn)為ATK)公司研發(fā)出一種圓形的柔性毯式太陽電池陣UltraFlex[7-9]如圖1所示，其具有結(jié)構(gòu)緊湊、質(zhì)量輕、功率質(zhì)量比高、轉(zhuǎn)動慣量低、展開剛度高和擴展性好等特點，有非常廣泛的應(yīng)用前景。然而由于其展開面積大，且地面試驗難以模擬太空環(huán)境，因此必須使用數(shù)值分析的方法對其進行仿真計算，并指導(dǎo)設(shè)計工作。2013年，NASA針對超柔性UltraFlex-175太陽翼[8-9]用有限元軟件ANSYS進行模態(tài)分析，充分考慮到重力懸吊系統(tǒng)及空氣作用的影響，得到了超柔性太陽翼的前三階全局模態(tài)，并進行了地面模態(tài)試驗進行驗證。但NASA的數(shù)值仿真缺少對展開過程的動力學(xué)分析。文獻[10-12]基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和有限元方法提出的絕對節(jié)點坐標法(ANCF)是柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)發(fā)展的一個里程碑，與傳統(tǒng)柔性多體系統(tǒng)建模方法相比，該方法在慣性坐標系下采用統(tǒng)一的插值函數(shù)描述柔體的剛體運動與彈性變形，非常適用于描述同時具有大轉(zhuǎn)動和大變形的柔體動力學(xué)。劉鋮[13]利用絕對節(jié)點坐標法對薄膜結(jié)構(gòu)進行建模，研究了薄膜的褶皺、屈曲等動力學(xué)特性，仿真結(jié)果與其他理論研究方法結(jié)果吻合得很好，并具有常數(shù)質(zhì)量矩陣、無科氏力和離心力等優(yōu)點。朱挺[14]利用絕對節(jié)點坐標法對薄膜結(jié)構(gòu)將經(jīng)歷大范圍剛體轉(zhuǎn)動與大彈性變形的剛?cè)狁詈线\動進行數(shù)值分析，對展開過程涉及薄膜間復(fù)雜的接觸/碰撞問題進行了分析，著重考慮了展開過程的接觸碰撞問題，但缺少對影響太陽翼展開平穩(wěn)性的參數(shù)分析及優(yōu)化設(shè)計指導(dǎo)。

本文對UltraFlex太陽翼建立了全尺寸模型，使用膜單元模擬柔性翼面，在充分考慮展開過程中剛?cè)狁詈弦蛩匾约氨∧ぷ越佑|碰撞問題的情況下，利用有限元軟件SAMCEF的隱式非線性分析方法對圓形薄膜太陽翼進行展開動力學(xué)分析。通過分析圓形薄膜太陽翼展開過程中能量變化曲線，研究了不同轉(zhuǎn)角控制函數(shù)對其展開穩(wěn)定性的影響，并給出了指導(dǎo)意見。利用非線性靜力學(xué)分析獲得的剛度矩陣及質(zhì)量矩陣，對鎖定狀態(tài)下圓形薄膜太陽翼進行模態(tài)分析，并將分析得到的結(jié)果與NASA的仿真數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)進行比對，驗證了SAMCEF含重力卸載彈簧太陽翼有限元數(shù)值模型的準確性和有效性。

圖1 UltraFlex太陽能電池陣列Fig.1 UltraFlex solar array configuration

1 動力學(xué)仿真

1.1 動力學(xué)建模

本文采用通用有限元軟件SAMCEF Field對圓形太陽翼的折疊結(jié)構(gòu)進行參數(shù)化建模。由于靜止導(dǎo)板和運動導(dǎo)板相對于支撐梁和薄膜結(jié)構(gòu)剛度較大，幾乎不發(fā)生變形，且其形狀對太陽翼展開過程無影響，因此將兩個導(dǎo)板簡化為兩個剛性梁。中心展開機構(gòu)的轉(zhuǎn)動鉸鏈簡化為相鄰支撐肋條之間的轉(zhuǎn)動副。通過第一類拉格朗日方程可以得到用于描述多體系統(tǒng)動力學(xué)特性的微分-代數(shù)方程組

(1)

式中：M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，q為系統(tǒng)的廣義坐標，F(xiàn)int,Q,Fc分別為彈性力、廣義外力以及廣義接觸力矩陣，Φ,Φq分別為系統(tǒng)約束方程及其對廣義坐標的Jacobi矩陣，λ為Lagrange乘子矩陣。

求解上述動力學(xué)方程的方法可分為顯式和隱式兩類方法。對于多柔體系統(tǒng)動力學(xué)問題，特別是具有大變形的多柔體系統(tǒng)動力學(xué)問題，顯式算法的條件收斂特性會帶來對積分步長的限制，故一般采用隱式算法求解?；谏鲜隹紤]，軟件分析類型選擇結(jié)構(gòu)分析(Structural Analysis)，求解器選擇SAMCEF求解器，求解方法為隱式非線性(Implicit Non Linear)。對于只有接觸力的線彈性系統(tǒng)，其動力學(xué)方程為：

(2)

采用中點法則對方程進行離散：

(3)

(4)

式中：B為線性應(yīng)變，τ為Kirchhoff應(yīng)力，Ω0為單元積分域，G為變形梯度，e為單元的廣義坐標，E為Green-Lagrange應(yīng)變張量，C為彈性張量，Gn+1/2是指由中點構(gòu)型φn+1/2所確定的變形梯度。

此外，在建模時充分考慮了使用殼(shell)單元和膜(membrane)單元對翼面展開特性的影響。薄殼單元有5個自由度，包括三個平動自由度和兩個轉(zhuǎn)動自由度，可以描述彎曲變形。而膜單元只有三個平動自由度，只能傳遞面內(nèi)張力，不能承受彎曲及剪切，變形較大，可以更好地反映出真實翼面的柔性大變形特性。

圖2和圖3分別給出了殼單元與膜單元折疊結(jié)構(gòu)展開過程的模擬。從圖2～3可以看出，由于殼單元的面外剛度較大，在折痕處產(chǎn)生了非常大的應(yīng)力，難以完全展開。當展開比例為99%時計算被終止，此時薄膜結(jié)構(gòu)折痕處應(yīng)力達到了19.94 MPa，而其他部分應(yīng)力較為均勻，約為0.25 MPa。采用膜單元時，由于沒有面外剛度，整個結(jié)構(gòu)自然展開，過程中出現(xiàn)了明顯的褶皺，與真實情況相一致。展開完成后，中間無折痕，整個薄膜結(jié)構(gòu)完全展開，薄膜表面的應(yīng)力比較均勻，約為8.8 MPa。由此可見，相比于殼單元，采用膜單元能夠更加真實地描述整個展開過程的翼面行為。

圖2 殼單元展開比例及應(yīng)力分布Fig.2 Expansion ratio and stress distribution of shell element

圖3 膜單元展開比例及應(yīng)力分布Fig.3 Expansion ratio and stress distribution of membrane element

根據(jù)圓形薄膜折疊結(jié)構(gòu)的幾何尺寸進行幾何模型構(gòu)建，圓形薄膜太陽翼結(jié)構(gòu)主要由12根支撐梁和10片折疊梯形膜片組成，支撐梁與膜片在共節(jié)點處綁定連接，折疊時支撐梁并排布置。薄膜厚度為0.5 mm，單根支撐梁長3000 mm，相鄰梁間距為6 mm。10片折疊的梯形膜片首尾相連，形成一個扇形的折疊結(jié)構(gòu)，在中心電機的驅(qū)動下展開后呈正十邊形。網(wǎng)格模型如圖4所示。

圖4 圓形薄膜太陽翼折疊、展開有限元模型Fig.4 Finite element model for the folding and unfolding circular thin film solar wing

1.2 展開過程模擬

圓形薄膜太陽翼展開過程中，薄膜與支撐梁之間存在接觸碰撞作用，且薄膜之間也會相互接觸碰撞。如果展開速度過快，薄膜運動幅度過大容易相互碰撞纏繞產(chǎn)生大量褶皺，加劇展開過程的振動，若膜面褶皺處應(yīng)力過大，極易使膜面遭到破壞，導(dǎo)致展開失敗。因此對圓形薄膜太陽翼展開過程中的位移變化和應(yīng)力變化進行研究，具有重要的工程意義。仿真模型考慮了膜面自接觸碰撞，動力學(xué)仿真從開始展開到完全展開共用時60 s，為了研究展開后的殘余振動，在完全展開后保持鎖定狀態(tài)6 s。

圖5為展開過程的Z向位移云圖。

圖5 圓形太陽翼展開過程Z向位移云圖Fig.5 Z-directional displacement of the circula solar wing

1.3 展開過程能量變化

圓形薄膜太陽翼在無重力條件下展開過程中，會涉及外力做功、應(yīng)變能與動能之間的相互轉(zhuǎn)化，本文進行圓形太陽翼展開動力學(xué)分析過程中沒有考慮部件之間的摩擦，因此只有前三種能量相互轉(zhuǎn)化，圖6給出了動能、外力做功、應(yīng)變能隨時間變化的曲線。由圖6可知，外部電機做功，將能量轉(zhuǎn)化為動能和應(yīng)變能。t=30 s時角速度達到最大，但動能未達到最大，這是由于電機驅(qū)動使太陽翼展開，到達最大速度后由于慣性太陽翼的速度繼續(xù)增大；t=35 s時，太陽翼的動能達到了最大，之后逐漸減小；t=56 s之前，太陽翼的應(yīng)變能幾乎為0，之后開始急劇變大，原因是薄膜急劇張緊，造成了膜結(jié)構(gòu)的變形；t=60 s至t=66 s之間，應(yīng)變能基本保持不變，太陽翼的動能逐漸減小。由圖6中總能量曲線可知，圓形薄膜太陽翼展開過程中符合能量守恒定律。

圖6 太陽翼展開過程中能量變化曲線Fig.6 Energy curve during the development of the solar wing

1.4 控制函數(shù)對穩(wěn)定性的影響

規(guī)劃完全展開的時間為60 s，展開角度為360°。為了滿足展開過程平穩(wěn)且展開后殘余振動小的需求，研究了不同控制函數(shù)對展開穩(wěn)定性的影響。

1.4.1多項式控制函數(shù)

多項式是最常見的軌跡控制函數(shù)，三次多項式能保證轉(zhuǎn)角以及角速度的光滑連續(xù)，但不能滿足角加速度的邊界條件；五次多項式能滿足角度、角速度以及角加速度的邊界條件，但是包含高階函數(shù)，容易引起振動。

1)低階轉(zhuǎn)角控制函數(shù)

低階轉(zhuǎn)角控制函數(shù)包括線性控制函數(shù)，二次多項式和三次多項式。低階控制函數(shù)需要參數(shù)少，控制方式簡單，但展開過程平順性不如高階控制函數(shù)。

2)五次多項式轉(zhuǎn)角控制函數(shù)

若初始時刻t=0以及結(jié)束時刻t=tf轉(zhuǎn)角、角速度以及角加速度已知，那么可采用五次多項式對轉(zhuǎn)角函數(shù)進行設(shè)定：

(5)

式中：a0,a1,a2,a3,a4,a5均為常系數(shù)。

1.4.2擺線運動轉(zhuǎn)角控制方程

擺線運動也可用來規(guī)劃太陽翼展開軌跡，這種規(guī)劃方法不僅計算簡單，而且運動軌跡連續(xù)平滑，并能在有限區(qū)間的端點產(chǎn)生零速度和零加速度，有效地保證了系統(tǒng)運動的平穩(wěn)性。

采用擺線運動來規(guī)劃太陽翼展開軌跡，展開軌跡如下：

(6)

式中：θ0為初始角度，θf為完全展開角度。

1.4.3余弦函數(shù)轉(zhuǎn)角控制方程

余弦函數(shù)轉(zhuǎn)角控制方程的形式如下：

(7)

為了研究不同的控制函數(shù)對太陽翼展開穩(wěn)定性的影響，圖7給出了幾種典型類型控制函數(shù)驅(qū)動下太陽翼展開過程中動能變化曲線。

圖7 不同控制函數(shù)驅(qū)動下動能變化曲線Fig.7 Dynamic curve of kinetic energy driven by different control functions

由圖7可知，當太陽翼展開的時間相同時，余弦控制函數(shù)使太陽翼獲得的最大動能最大，線性控制函數(shù)使太陽翼獲得的最大動能最小；線性控制函數(shù)使太陽翼展開過程中動能保持平穩(wěn)變化，有利于太陽翼的穩(wěn)定展開，但展開后期動能增幅很大，展開鎖定狀態(tài)下殘余振動非常劇烈，容易造成太陽翼的結(jié)構(gòu)破壞，因此整體來看不利于太陽翼的平穩(wěn)展開；二次控制函數(shù)與三次控制函數(shù)不滿足展開后角加速度為零的條件，但展開過程中動能幅值較小，且動能變化趨勢比較平滑，展開鎖定后殘余振動較小，整體來看有利于太陽翼的平穩(wěn)展開；五次控制函數(shù)與擺線控制函數(shù)使太陽翼展開過程中動能變化趨勢平滑，展開后期無動能的大幅值波動，展開鎖定狀態(tài)下對殘余振動的抑制效果也比較明顯，但從整體看，展開過程中以及展開鎖定后，擺線控制函數(shù)的抑振效果更強；余弦控制函數(shù)使太陽翼展開初始階段動能增長緩慢，后期快速增長至最大動能后又快速減小，但對殘余振動的抑制效果最優(yōu)。

綜合考慮太陽翼展開過程中和展開鎖定后動能的趨勢發(fā)現(xiàn)，在不超出動能限定范圍內(nèi)時，余弦控制函數(shù)能使太陽翼平穩(wěn)展開，并且具有最優(yōu)的殘余振動抑制效果。

2 懸吊狀態(tài)的太陽翼模態(tài)分析

圓形薄膜太陽翼在進行地面模態(tài)試驗時，為了模擬太空中的失重環(huán)境，需要對結(jié)構(gòu)的所受的重力進行卸載，將重力卸載彈簧的一端固定在支撐梁上，固定位置為支撐梁與相鄰兩個半翼片的重心處，然后，對懸吊點進行調(diào)平，當所有的支撐梁處于同一水平面時，認為恰好卸載了結(jié)構(gòu)所受的重力，此外，重力卸載彈簧還具有保護太陽翼結(jié)構(gòu)的作用。

實際的試驗過程中，重力卸載彈簧會對太陽翼結(jié)構(gòu)產(chǎn)生附加約束作用以及隨動質(zhì)量作用，因此對試驗結(jié)果會造成一定的影響，為了探究重力卸載彈簧對太陽翼模態(tài)的影響，本部分利用懸吊狀態(tài)的太陽翼有限元模型進行模態(tài)分析，由于有限元模型中的接地彈簧單元沒有質(zhì)量，因此分析過程中只考慮了卸載彈簧對太陽翼的附加約束作用。分析得到的前三階模態(tài)振型如圖8所示。表1給出了利用SAMCEF Field和ANSYS對太陽翼進行模態(tài)分析得到的前三階模態(tài)的固有頻率以及誤差百分比。

由表1可知，利用SAMCEF對懸吊狀態(tài)的太陽翼進行模態(tài)分析得出的前三階模態(tài)振型，與NASA利用ANSYS分析的模態(tài)振型基本完全一致；利用SAMCEF分析得到的太陽翼的前三階固有頻率與NASA仿真數(shù)據(jù)吻合極好，誤差控制在2%以內(nèi)；SAMCEF得到的前六階固有頻率值均低于ANSYS分析數(shù)據(jù)，原因是NASA對圓形薄膜太陽翼進行分析時，薄膜單元選的為殼單元(shell)，而利用SAMCEF Field進行分析時，選用的是膜單元(membrane)，膜單元沒有面外剛度，因此SAMCEF有限元模型柔性更大，因此得到的固有頻率略低于ANSYS分析數(shù)據(jù)。

為了驗證利用SAMCEF Field對懸吊狀態(tài)的圓形薄膜太陽翼進行模態(tài)分析的有效性，將SAMCEF模態(tài)分析得到的太陽翼的面內(nèi)振動頻率、“搖擺”模式諧振頻率以及“跳水板”模式諧振頻率與NASA在真空艙對UltraFlex-175太陽翼進行模態(tài)試驗得到的數(shù)據(jù)進行對比，結(jié)果如表2所示。

由表2可知，利用SAMCEF分析得到的頻率數(shù)據(jù)與NASA試驗測試數(shù)據(jù)吻合較好，搖擺模式諧振的固有頻率誤差最大，達到了6.34%，原因可能是實際試驗狀態(tài)下，激振器激振時的附加剛度、加速度傳感器和重力卸載系統(tǒng)的附加剛度以及隨動質(zhì)量，對太陽翼的模態(tài)造成了一定影響，而利用SAMCEF進行有限元建模時，沒有考慮到激振器、加速度傳感器以及重力卸載裝置的附加剛度和隨動質(zhì)量，因此產(chǎn)生了較大的誤差。

圖8 懸吊狀態(tài)的太陽翼前三階模態(tài)振型Fig.8 The first three modes of vibration of suspended solar wing

表1 懸吊狀態(tài)的太陽翼前六階模態(tài)固有頻率Table 1 The first six natural frequencies of suspended solar wing

表2 SAMCEF分析數(shù)據(jù)與NASA試驗數(shù)據(jù)對比Table 2 SAMCEF analysis data compared with NASA test data

3 結(jié) 論

本文采用有限元數(shù)值分析的方法，在NASA模態(tài)分析數(shù)值模型的基礎(chǔ)上，建立了圓形薄膜太陽翼展開動力學(xué)模型，以不同的展開控制函數(shù)為變量，研究了不同控制函數(shù)對展開平穩(wěn)性的影響，并對展開鎖定后的太陽翼進行了模態(tài)分析。該研究對于圓形薄膜太陽翼進行地面模態(tài)試驗以及結(jié)構(gòu)設(shè)計具有一定的指導(dǎo)意義和科學(xué)價值。

經(jīng)過研究獲得主要結(jié)論如下：

1)膜單元比殼單元在模擬薄膜類展開機構(gòu)時有更好的效果，更能反映真實情況。

2)通過使用膜單元對圓形薄膜太陽翼進行動力學(xué)分析可以發(fā)現(xiàn)，展開初期較為平穩(wěn)，但在展開后期由于翼面碰撞使得展開過程產(chǎn)生劇烈的振動，容易導(dǎo)致展開失?。槐∧埦o后翼面存在持續(xù)的顫動。

3)通過對太陽翼展開軌跡進行規(guī)劃可以發(fā)現(xiàn)，高階控制函數(shù)、擺線控制函數(shù)以及余弦控制函數(shù)均有利于太陽翼的平穩(wěn)展開，余弦控制函數(shù)使太陽翼獲得的動能最大，但具有最優(yōu)的殘余振動抑制效果，因此推薦使用余弦控制函數(shù)進行軌跡規(guī)劃。

4)在考慮重力、卸載彈簧因素的情況下，利用SAMCEF可以完成展開鎖定狀態(tài)下太陽翼的非線性靜力學(xué)分析以及模態(tài)分析，得到圓形薄膜太陽翼的固有頻率與NASA仿真結(jié)果相吻合。

5)有限元模型模態(tài)分析的結(jié)果與NASA的試驗結(jié)果相吻合，前三階模態(tài)振型基本相同，模態(tài)頻率分別相差-2.58%,6.34%和1.40%，符合美國TRL6的技術(shù)標準，因此驗證了SAMCEF懸吊狀態(tài)有限元數(shù)值模型準確性和有效性。