孫波

[摘 要] 研究導數(shù)概念教學設計。針對傳統(tǒng)教材教法過于單調、抽象的缺陷，設計了易于理解和接受的通俗化教法。主要手段和特色是增加平均速度導入過程，加入市場營銷等社會經(jīng)濟背景。

[關鍵詞] 導數(shù);通俗化;平均速度;經(jīng)濟背景

[作者簡介] 孫 波（1965—），男，湖南澧縣人，博士，湖南科技學院理學院教授，主要從事應用數(shù)學與教育數(shù)學研究。

[中圖分類號] G642.0? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）40-0295-02? ? [收稿日期] 2020-03-09

一、引言

高等數(shù)學或微積分主要由微分和積分兩大塊構成。這里的微分泛指導數(shù)及其應用，當然也包含光滑函數(shù)局部線性近似的微分。簡單說來，導數(shù)就是函數(shù)的瞬時變化率。其嚴格定義則是函數(shù)值改變量與自變量改變量之比的極限（自變量改變量趨于零時）：

二十年以前這么一講就完了，學生基本都能理解和掌握。但今天的大眾化教育跟以前的精英教育大不一樣了，學生心里還想著手機玩具呢！這已不是個別現(xiàn)象，而是普遍教學現(xiàn)象和社會問題。當然，加強課堂管理、強調教學紀律可以提高授課效果，但不可能完全解決問題。現(xiàn)在的高學歷教師已占很大比例，授課水平應該是沒得話說，可就是有那么多學生稀里糊涂，聽了跟沒聽一個樣。

其實只要稍微推敲一下哲學和教育心理學，就會明白快刀斬亂麻的教法有問題。任何事物都須經(jīng)歷量變積累方可達到質變，瞬時變化率概念的形成也是一樣。只是我們原來沒想這么多，把沉重的思維負擔強加給了學生。而在高等教育從精英型轉化為大眾型的過程中主流高數(shù)教材教法不僅沒有相應轉型，反而變本加厲：把書越寫越復雜，使教材教法和生源質量之間的矛盾越來越突出。

改革開放四十年來，我國市場經(jīng)濟的形成和發(fā)展拓寬了微積分應用面，經(jīng)濟學背景成了數(shù)學的半邊天?？紤]到社會經(jīng)濟現(xiàn)象和概念就在人們日常生活中，更容易被學生理解，本文參照歐美應用微積分教材把社會經(jīng)濟素材作為背景引入微積分概念，補充導數(shù)引入過程，并適當增加平均速度引入過程[4，5]。

二、教學設計

基于上述鋪墊，筆者在教學實踐中做了如下改革設計：首先以一家三口外出郊游為例引入平均速度概念：一家三口開車外出郊游，小孩每半小時記一下從家里出來的里程，前三小時的數(shù)據(jù)如下：其中時間單位為小時，里程單位為公里。

課件開頭可考慮播放一小段開車視頻以吸引學生興趣和注意力。

用f表示出發(fā)t小時的里程，則表中數(shù)據(jù)可表示為函數(shù)值

汽車速度一般隨時間變化，僅憑一組里程數(shù)據(jù)算不出每時每刻的速度，但可計算一段時間內的平均速度，公式為平均速度=距離÷時間

其他時間段內的平均速度亦可類似計算，如下表：

上述平均速度計算公式還可抽象上升為一般函數(shù)的平均變化率。接著構造1～2個經(jīng)濟學例子，如一家公司同時在兩個地方做為期三個月的推銷活動，以此預測市場。下面是那兩個地方日銷售量走勢圖，橫軸表示月份，縱軸表示日銷售量。

從圖像可以看出，盡管前三個月活動1的銷售量一直高于活動2，但它后來往下走。相反，活動2一路攀升。

在時間區(qū)間[2，4]上，促銷1的變化率等于

而促銷2的變化率等于

活動1的負結果表明，在所統(tǒng)計的這兩個月內銷售量以每月10，000件的速度下降;而活動2的正結果則表明其銷售量以每月12，500件的速度增長。這兩個促銷活動的結果說明市場二未來更強勢，故應放棄市場1。

還可構造幾個類似例子，如某款新手機上市后單位利潤隨時間變化函數(shù)。計算某些時間段的平均變化率以說明其增減情況，最后說明平均變化率還是不能細致反映函數(shù)值隨自變量的變化情況，說明瞬時變化率的必要性。

若想知道它某一時刻的運行速度如第10秒末的運行速度，就只能通過第10秒附近短時間間隔內的平均速度來估算了：

學生從表中列出的三個平均速度顯然能看出汽車在第10秒末的運行速度是23米/秒。

然后趁熱打鐵，整出個絕對可靠的說法。先用h表示某個很小的正數(shù)，則汽車在第10秒到第10+h秒內的平均速度等于

這就進一步證實了我們從上面那個數(shù)據(jù)表看出的精確速度。我們稱此極限為瞬時速度。

接著將上述瞬時速度概念和計算方法提升為函數(shù)在某點的變化率：

三、結語

筆者首次在二類本科院校q按上述方式講述導數(shù)概念，大部分學生都能聽懂并掌握。教學班級為工程管理專業(yè)四個行政班130名學生，期末試題量為五大題22小題，在教研室統(tǒng)一命題且沒有針對性復習的前提下格率達80%以上，說明學生理解了微積分基本理論?？磥恚嘁暯锹R頭引入抽象數(shù)學概念更適合大眾化教育。

參考文獻

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學（本科少學時類型）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]Gilbert Strange，Calculus，Wellesley-Cambridge Press.

[5]M.L.Lial，Calculus with applications，Springer-Verlag，2010.