楊 鍵，徐 雷，張國鋒，王 鑫

（四川大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都610000）

運(yùn)動穩(wěn)定性是移動衛(wèi)星跟蹤天線的關(guān)鍵技術(shù)，車載雷達(dá)天線在運(yùn)動過程中存在擾動，在此重點(diǎn)研究影響車載雷達(dá)天線穩(wěn)定性因素，以期為提升車載運(yùn)動過程中穩(wěn)定性提供參考價(jià)值。

天線與移動載體一體化建模是運(yùn)動控制分析與研究的前提。一體化系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)動過程中，準(zhǔn)確的姿態(tài)傾角檢測是衛(wèi)星跟蹤穩(wěn)定性研究的基礎(chǔ)。其次，環(huán)境干擾是雷達(dá)天線工程過程中的可變因素，需要考慮外界溫差、風(fēng)速等不同因素干擾對車載雷達(dá)天線通信穩(wěn)定性[1-4]的影響。文獻(xiàn)[5-7]提出通過坐標(biāo)變換修正軸傾角來提升平臺的運(yùn)動穩(wěn)定性，但未結(jié)合天線載體一體化分析，在實(shí)際運(yùn)動過程中很難排除載體傳遞給衛(wèi)星天線的干擾，未達(dá)到提升平臺的運(yùn)動穩(wěn)定性的目的。

針對上述穩(wěn)定性方式的不足，在此進(jìn)行天線載體一體化分析：建立車載雷達(dá)天線一體化模型；采用陀螺儀[8-9]對干擾進(jìn)行軸傾角量化；通過矢量變換數(shù)學(xué)模型對量化干擾軸傾角進(jìn)行修正；通過仿真分析天線波束指向穩(wěn)定性的影響因素。最終得出結(jié)論，為車載雷達(dá)天線在復(fù)雜工況下伺服控制系統(tǒng)運(yùn)動穩(wěn)定性研究提供參考。

1 建立車載雷達(dá)天線一體化模型

所研究的對象為龍伯透鏡（Luneburg lens）雙星跟蹤天線，如圖1所示。由于龍伯透鏡透鏡對平面波束的聚焦特性，可以跟蹤2 顆或多顆衛(wèi)星。在此設(shè)計(jì)的車載雷達(dá)天線，基于龍伯透鏡并結(jié)合2 個(gè)饋源，可實(shí)時(shí)跟蹤2 顆衛(wèi)星信號，天線平臺座架采用方位-俯仰式。龍伯透鏡雙星跟蹤天線平臺主要由2個(gè)重疊方位軸和俯仰軸、龍伯透鏡、4 個(gè)驅(qū)動電機(jī)、4個(gè)控制器、支撐座以及饋源組成。該平臺運(yùn)動范圍為方位運(yùn)動角度m∈（-180°，180°），俯仰運(yùn)動角度n∈（-90°，90°）。

圖1 龍伯透鏡雙星跟蹤天線模型Fig.1 Model of Luneburg lens dual satellite tracking antenna

車載雷達(dá)天線一體化平臺的龍伯透鏡通過底座與支撐梁用緊固螺栓連接，平臺結(jié)構(gòu)如圖2所示。為增加支撐梁的強(qiáng)度，將其呈“米”字形連接，并將支撐梁與橫置在車架副大梁上的8 根橫梁構(gòu)成車載平臺；車載旁邊是雙星跟蹤天線運(yùn)動智能運(yùn)動控制功能箱，包含有控制器、驅(qū)動、連接線等智能配件。上述設(shè)備與汽車構(gòu)成一套車載龍伯透鏡雙星跟蹤天線一體化系統(tǒng)。

圖2 車載龍伯透鏡一體化系統(tǒng)Fig.2 Integrated system of vehicle mounted Luneburg lens

2 基本假設(shè)與坐標(biāo)系定義

2.1 基本假設(shè)

考慮到實(shí)際的工作情況，為更加嚴(yán)謹(jǐn)且便于研究，做出以下假設(shè)：①在車載一體化平臺受到環(huán)境干擾前，已經(jīng)達(dá)到跟蹤衛(wèi)星信號最強(qiáng)點(diǎn)；②不考慮所提出的車載雷達(dá)天線一體化平臺在環(huán)境干擾下的結(jié)構(gòu)變形；③不考慮地球的自轉(zhuǎn)與曲率。

2.2 建立車載平臺三個(gè)坐標(biāo)系

車載系統(tǒng)涉及3 個(gè)坐標(biāo)系：汽車坐標(biāo)系以坐標(biāo)原點(diǎn)取在汽車重心，建立車體坐標(biāo)系O0X0Y0Z0；車載坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)以俯仰軸與方向軸交點(diǎn)建立坐標(biāo)系為O1X1Y1Z1；天線坐標(biāo)系可顯示天線被干擾程度，其坐標(biāo)原點(diǎn)取在天線方位軸與俯仰軸的轉(zhuǎn)動中心坐標(biāo)為（X2Y2Z2）。各坐標(biāo)系如圖3所示。

圖3 車載平臺的三坐標(biāo)定義Fig.3 Three-coordinate definition of vehicle mounted platform

在此擬研究一對方位軸與俯仰軸結(jié)構(gòu)形式隔離車輛，在運(yùn)動過程中方位軸與俯仰軸的姿態(tài)變化。天線平臺處于零位時(shí)，車載坐標(biāo)系O1X1Y1Z1可通過汽車坐標(biāo)系O0X0Y0Z0平移得到，但由于一體化平臺在實(shí)際工況中存在干擾，實(shí)際的車載坐標(biāo)系是由3 個(gè)獨(dú)立的向量x1，y1，z1為基底構(gòu)成的三維向量空間坐標(biāo)系O1*X1*Y1*Z1*。因此引入4 個(gè)變量：α，γ分別為方位軸、俯仰軸的傾斜方向；β，δ 分別為方位軸、俯仰軸的傾斜大小。通過文獻(xiàn)[10]收集數(shù)據(jù)，可得這4 個(gè)變量的范圍：α∈（0°，180°），γ∈（0°，180°），β∈（-0.1°，0.1°），δ∈（-0.1°，0.1°）。其具體變換如圖4所示。

圖4 車載平臺的三坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Fig.4 Three-coordinate transformation of vehicle mounted platform

先將標(biāo)準(zhǔn)Z1軸的單位向量繞X1軸正方向旋轉(zhuǎn)β∈（-0.1°，0.1°）得到，其變換矩陣為

由

得到

同理，將標(biāo)準(zhǔn)Y1軸的單位向量繞X1軸正方向旋轉(zhuǎn)δ∈（-0.1°，0.1°）得到，其變換矩陣為

由

得到

因此，零位時(shí)實(shí)際車載坐標(biāo)系是由3 個(gè)獨(dú)立的單位向量x1*，y1*，z1*為基底構(gòu)成的坐標(biāo)系O1*X1*Y1*Z1*。一體化平臺的方位向?qū)⒁訸1*為軸線進(jìn)行轉(zhuǎn)動，俯仰向?qū)⒁訷1*為軸進(jìn)行轉(zhuǎn)動，從而得出實(shí)際車載一體化平臺穩(wěn)定坐標(biāo)，為矢量變換奠定基礎(chǔ)。

3 矢量變換對軸傾角的修正

3.1 理想矢量變換數(shù)學(xué)模型

車載雷達(dá)天線系統(tǒng)智能控制設(shè)備在工作中，會受到環(huán)境干擾，使設(shè)備的工作精度和可靠性受到影響。因此，當(dāng)車載穩(wěn)定平臺兩軸順序?yàn)榉轿焕@Z 軸、俯仰繞Y 軸變換。方位、俯仰運(yùn)動角度分別為m∈（-180°，180°），n∈（-90°，90°）。然而，由于雷達(dá)天線穩(wěn)定平臺位姿變化，天線擺臂的方位角轉(zhuǎn)過m°，俯仰角轉(zhuǎn)過n°，實(shí)際車載坐標(biāo)系與車體坐標(biāo)系不再重合。當(dāng)車載平臺受到干擾存在角速度矢量ω 時(shí)，設(shè)載機(jī)上正交配置的3 個(gè)陀螺儀所測得的角速度值為ωx0，ωy0，ωz0；車體坐標(biāo)系的三軸單位向量為x0，y0，z0。則有

車載坐標(biāo)系俯仰角以Y1為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度n的旋轉(zhuǎn)矩陣為

方位角以Z1軸旋轉(zhuǎn)角度m 的矩陣為

以上即為一體化穩(wěn)定平臺方位向與橫滾向轉(zhuǎn)動理想數(shù)學(xué)模型，此時(shí)車體坐標(biāo)系角速度分解為

式中：ωx1，ωy1，ωz1分別為伺服控制系統(tǒng)反饋給方位軸與俯仰軸的角速度值；x1，y1，z1分別為位姿變換后理想平臺坐標(biāo)系的三軸單位向量。

由數(shù)值定理，有：如果向量γ 在基底α1，α2，α3，…，αn的坐標(biāo)為x1，x2，x3，…，xn，向量φ 在基底β1，β2，β3，…，βn的坐標(biāo)為y1，y2，y3，…，yn，則坐標(biāo)變換公式為

式中：C 為由基底α1，α2，α3，…，αn到基底β1，β2，β3，…，βn的n 階過渡矩陣。故可得

則得到理想狀態(tài)下一體化穩(wěn)定平臺的實(shí)時(shí)角速度。

3.2 實(shí)際矢量變換數(shù)學(xué)模型

由于在實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)過程中方位軸與俯仰軸會受到干擾，實(shí)際車載坐標(biāo)系并非正交坐標(biāo)系，且無法通過汽車坐標(biāo)系變換得到。因此，需要先將車載中正交配置的3 個(gè)陀螺儀方向的角速度矢量，等效為處于零位時(shí)實(shí)際車載坐標(biāo)系的三軸角速度矢量，即

式中：ωx1*，ωy1*，ωz1*分別為平臺處于零位伺服控制系統(tǒng)反饋給發(fā)生軸系干擾時(shí)的角速度值；x1*，y1*，z1*為零位發(fā)生軸系干擾時(shí)實(shí)際穩(wěn)定平臺坐標(biāo)系三軸單位向量。干擾前后的角速度如圖5所示。

圖5 干擾前后的角速度Fig.5 Angular velocity before and after interference

將式（4）（8）代入式（16），得

通過MatLab 求解得到

通過上述矩陣轉(zhuǎn)換計(jì)算公式，可以得到處于零位時(shí)實(shí)際穩(wěn)定平臺坐標(biāo)系的三軸角速度矢量ωx1*，ωy1*，ωz1*。

由數(shù)值定理，有：空間中任意一個(gè)非零向量x=［x y z］T，以單位向量為軸，旋轉(zhuǎn)θ 角度時(shí)，矩陣變換公式為

其中

俯仰軸繞Y1*軸的方向向量y1*旋轉(zhuǎn)，可得以y1*為軸旋轉(zhuǎn)n 角度時(shí)矩陣變換公式為

其中

同理，方位軸繞Z1*軸方向向量z1*旋轉(zhuǎn)m 角度時(shí)矩陣變換公式為

其中

車載雷達(dá)天線一體化穩(wěn)定系統(tǒng)工作，天線方位軸轉(zhuǎn)過m°，俯仰軸轉(zhuǎn)過n°，則有

式中：ωx2*，ωy2*，ωz2*分別為伺服控制系統(tǒng)在發(fā)生干擾且位姿變換后傳遞給方位與俯仰軸的角速度值。由此可得伺服控制系統(tǒng)需要反饋給電機(jī)的角速度。

3.3 雷達(dá)天線波束指向穩(wěn)定性修正系數(shù)

車載雷達(dá)天線伺服控制單元，能夠反饋方位軸距零點(diǎn)轉(zhuǎn)動角度m，以及俯仰軸距離零點(diǎn)轉(zhuǎn)動角度n，將零位天線波束指向n0，經(jīng)過2 次坐標(biāo)變換即可得到任意姿態(tài)下天線波束指向n1。由于存在方位軸與俯仰軸的干擾，實(shí)際天線波束指向產(chǎn)生偏差。存在天線波束指向誤差會使天線視野方向不垂直與車輛行駛方向，造成多普勒中心頻率偏移。為此，需要根據(jù)誤差造成的干擾角度，對天線波束指向穩(wěn)定性進(jìn)行修正。

車載一體化穩(wěn)定平臺零位時(shí)，天線波束指向的方向向量為n0=［1 0 0］T，理想方位軸方向向量為z1=［0 0 1］T，理想俯仰軸方向向量為y0=［0 1 0］T，一體化穩(wěn)定平臺方位與俯仰編碼器可以實(shí)時(shí)反饋出方位軸距零點(diǎn)偏移角度為m，俯仰軸距零點(diǎn)偏移角度n，從而計(jì)算出天線波束指向。

n0經(jīng)過2 次坐標(biāo)變換，理論天線波速指向n1為

而由于存在方位軸與俯仰軸干擾，實(shí)際天線波束指向n1*為

雷達(dá)天線波束指向穩(wěn)定性系數(shù)Δ 為

當(dāng)?shù)玫狡脚_的軸傾角后，通過實(shí)際矢量變換數(shù)學(xué)模型與穩(wěn)定性修正系數(shù)，可以計(jì)算出任意姿態(tài)下穩(wěn)定天線波束指向角度，通過修正后反饋給伺服系統(tǒng)的角速度信號，能夠使系統(tǒng)在慣性空間中運(yùn)動穩(wěn)定性能進(jìn)一步提升，更重要的是，還能減少一體化平臺在多次干擾調(diào)整之后伴隨的累計(jì)誤差。

4 車載雷達(dá)天線運(yùn)動穩(wěn)定性仿真分析

在此通過選取車載龍伯透鏡雙星天線波束指向模型中具有代表性位姿與穩(wěn)定性進(jìn)行仿真分析。

考慮當(dāng)外擺臂處于零位時(shí)，內(nèi)擺臂處于m=180°，n=10°的工作狀態(tài)，如圖6所示。

假設(shè)，環(huán)境干擾對方位軸、俯仰軸的方向角度影響為零，即α=0°，γ=0°，則β 與δ 的大小表示對車載雷達(dá)天線波束指向穩(wěn)定性系數(shù)Δ 的影響。得到的β-δ-Δ 三維曲面如圖7所示，由圖可見，天線波束指向穩(wěn)定性誤差最大為0.1125°，主要受β 影響大，而受δ 影響小。

圖6 天線某工作狀態(tài)Fig.6 A working state of antenna

圖7 β-δ-Δ 三維曲面Fig.7 β-δ-Δ 3D curved surface

然后，考慮環(huán)境干擾對方位軸α 及俯仰軸γ 天線波束指向穩(wěn)定性的影響，確定β=0.1°，δ=0.1°。于是，可得車載雷達(dá)天線波束指向穩(wěn)定性Δ 與軸傾方向α，γ 的關(guān)系，α-γ-Δ 三維曲面如圖8所示。由圖可見，天線波束指向穩(wěn)定性誤差最大達(dá)0.1425°，主要受方位軸傾方向α 的影響大，而受俯仰軸傾方向γ的影響小。

圖8 α-γ-Δ 三維曲面Fig.8 α-γ-Δ 3D curved surface

最后，考慮掃描運(yùn)動位姿對車載雷達(dá)天線波束指向穩(wěn)定性誤差的影響，確定干擾方位、俯仰軸傾方向?yàn)棣?0，γ=0；大小為β=0.1°，δ=0.1°。得到的天線波束指向穩(wěn)定性誤差Δ 與方位轉(zhuǎn)角m、俯仰轉(zhuǎn)角n 的關(guān)系，m-n-Δ 三維曲面如圖9所示。由圖可見，天線波束指向穩(wěn)定性誤差最大達(dá)0.2274°，主要受方位轉(zhuǎn)角m 影響大，而受俯仰轉(zhuǎn)角n 影響小。

圖9 m-n-Δ 三維曲面Fig.9 m-n-Δ 3D curved surface

通過控制變量法對比圖7～圖9 分析可得，車載雷達(dá)天線波束穩(wěn)定性誤差影響規(guī)律：①按照干擾方式的影響力，位姿轉(zhuǎn)角>軸傾方向>軸傾大小；②按照位姿變換的影響力，方位變化>俯仰變化。

5 結(jié)語

為提升車載雷達(dá)天線在運(yùn)動過程中跟蹤衛(wèi)星信號的穩(wěn)定性，建立了車載雷達(dá)天線一體化平臺模型；定義了坐標(biāo)系與基本假設(shè)，并通過矢量變換數(shù)學(xué)模型對量化干擾軸傾角進(jìn)行了修正。通過矢量變換數(shù)學(xué)模型可以對干擾信號進(jìn)行轉(zhuǎn)換與修正。仿真得到天線波束指向穩(wěn)定性誤差影響規(guī)律：位姿轉(zhuǎn)角變化對天線波束指向穩(wěn)定性影響最大，軸傾方向影響次之，軸傾大小影響最小；其中位姿變化中方位角度變化影響大于俯仰角度變化。通過對車載雷達(dá)天線一體化平臺伺服控制運(yùn)動穩(wěn)定性的研究，可以為復(fù)雜干擾情況下伺服控制系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性研究提供參考。