趙雅婷，孫 浩，陳小龍，吳其林

（1.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，合肥 230009； 2.合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，合肥 230009；3.合肥師范學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，合肥 230601）

前言

隨著計(jì)算機(jī)、信息、傳感器、人工智能等技術(shù)的快速發(fā)展，智能汽車已成為目前的研究熱點(diǎn)，這也帶動(dòng)了各種智能車技術(shù)（如AGV技術(shù)）的進(jìn)步與應(yīng)用范圍的拓展。而且由于老齡化日益嚴(yán)重［1］，造成勞動(dòng)力短缺和人力成本的提升，因此對(duì)于智能運(yùn)輸工具的需求從企業(yè)擴(kuò)展到了家庭。智能車的運(yùn)動(dòng)學(xué)和控制模型都是基于拉格朗日方程和虛功原理建立的；這種方法不能處理車輛所受的非完整約束，如摩擦形成的約束等，故應(yīng)用時(shí)需要進(jìn)行一些簡(jiǎn)化，這使模型與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差。此外，此方法難以獲得解析解。這些問題給車輛的控制帶來了很大的難題，現(xiàn)階段只能靠增加反饋信息量和加強(qiáng)計(jì)算處理能力來解決，但這又會(huì)引起控制成本增大等問題。因此，需要采用新的方法來提高車輛的動(dòng)力學(xué)建模與控制精度。

1992年，Udwadia和Kalaba兩位教授拓展了虛功原理和拉格朗日方程，提出了一種可適用于具有被動(dòng)約束的機(jī)電系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模理論［2-3］，簡(jiǎn)稱U-K理論。該理論可把原須簡(jiǎn)化的因素直接帶入系統(tǒng)方程中，可方便地獲得解析解，從而提高了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模的精度，也更容易實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化建模。本文中將該理論用于家用智能車的建模與控制，以提高其運(yùn)行精度，減小控制成本，也為推廣到其他車輛奠定了基礎(chǔ)。

1 基于U-K理論的動(dòng)力學(xué)建模與控制方法

家用智能車一般在室內(nèi)場(chǎng)景工作，如圖1所示，它只能沿著理想軌跡移動(dòng)，不能軸向移動(dòng)，這是由于智能車的軸上存在一個(gè)非完整約束［4］，它包含一個(gè)微分元，不能通過積分轉(zhuǎn)化為幾何約束，而且用降維方法從高維空間中獲得無(wú)約束的低維智能車系統(tǒng)非常困難。根據(jù)Brockett提出的漸近穩(wěn)定和反饋穩(wěn)定的必要條件［5］，即系統(tǒng)不能通過平穩(wěn)的靜態(tài)或動(dòng)態(tài)反饋控制穩(wěn)定到平衡點(diǎn)，在非完整約束條件下存在非連續(xù)反饋控制律，使智能車具有全局漸近穩(wěn)定性。為避免布羅克特條件的限制，現(xiàn)有的方法一般是在設(shè)計(jì)其控制時(shí)，通過增加輔助輸入來滿足一定的連續(xù)激勵(lì)條件，而這會(huì)使問題變得極為復(fù)雜?；谏鲜鲈?，需要尋找一種簡(jiǎn)單而精確的方法來解決具有非完整約束的家用智能車的建模和控制問題。

圖1 家用智能車的場(chǎng)景

智能車系統(tǒng)中的約束通常有兩個(gè)方面：被動(dòng)約束和伺服約束［6-7］。前者主要由環(huán)境或結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的約束力構(gòu)成；后者是設(shè)計(jì)時(shí)為保證系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)特定功能而產(chǎn)生的約束力。本文中在U-K理論的框架下，針對(duì)家用智能車這一類具有非完整約束的系統(tǒng)，提出了一種動(dòng)力學(xué)與控制建模的新方法，即分類建模與控制方法。該方法有兩部分：一部分用于處理基于U-K理論的被動(dòng)約束類問題，即智能車模型中存在的非完整約束問題；另一部分用于處理基于Udwadia控制［3］的伺服約束類問題，即智能車的近似軌跡跟蹤控制問題。

1.1 被動(dòng)約束類的建模

根據(jù)拉格朗日力學(xué)原理，對(duì)于離散的無(wú)約束動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程［8-11］如下：

式中：q＝［q1，q2，…，qn］T為無(wú)約束動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的n個(gè)廣義坐標(biāo)為速度為加速度；M（q，t）∈Rn×n為對(duì)稱正定慣性矩陣為施加在釋放約束的系統(tǒng)上的力。施加的力包括離心力、重力和控制輸入。

對(duì)于這種系統(tǒng)，首先作如下假設(shè)。

假設(shè)1：對(duì)任何（q，t）∈Rn×Rn，M（q，t）是連續(xù)的，且存在M-1（q，t）。

由此，對(duì)于機(jī)電系統(tǒng)的自然結(jié)構(gòu)，如系統(tǒng)有m個(gè)完整被動(dòng)約束和k-m個(gè)非完整被動(dòng)約束，則系統(tǒng)中的被動(dòng)約束方程為

非完整被動(dòng)約束方程為

對(duì)式（3）非完整約束方程求時(shí)間t的1階導(dǎo)數(shù)，對(duì)式（2）完整約束方程求時(shí)間t的2階導(dǎo)數(shù)，然后將二者合并就可用矩陣形式給出約束方程：

式中：Ap（q，t）∈Rk×n為約束矩陣為向量。

假設(shè)2：Ap（q，t）是非空，式（4）連續(xù)。

則有定理1［2］：基于假設(shè)1和2，考慮式（1）離散的無(wú)約束動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)方程和式（4）被動(dòng)約束方程，被動(dòng)約束力可表示為

這里，“＋”代表摩爾-彭羅斯廣義逆［12］。

Udwadia和Kalaba已經(jīng)證明，被動(dòng)約束力使所有的被動(dòng)約束在每一時(shí)刻都能得到精確的滿足，因此所施加的被動(dòng)約束力滿足高斯原理和達(dá)朗貝爾原理的拉格朗日形式。

根據(jù)式（1）和式（5），被動(dòng)約束系統(tǒng)的實(shí)際顯式運(yùn)動(dòng)方程可表示為

1.2 伺服約束層次的建模

智能車系統(tǒng)不僅有被動(dòng)約束，而且有伺服約束時(shí)，即配備了一套產(chǎn)生主動(dòng)外力的伺服控制裝置來操縱系統(tǒng)行為，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為

考慮以下伺服約束：

式中：ω≥1；Al（·）為q和t中的1階連續(xù)可微。這是約束的1階形式，意味著對(duì)速度和位移的限制。

由式（8）對(duì)t微分得

由式（9）可得，約束的2階形式方程可寫為

或矩陣形式：

式中：As（q，t）∈Rω×n為伺服約束矩陣Rω為矢量。

假設(shè)3：As（q，t）非空且式（13）連續(xù)。

則有定理2［3］：基于假設(shè)1和3，考慮式（7）機(jī)電系統(tǒng)方程和式（13）伺服約束方程，約束力可由下式確定：

其中約束力由主動(dòng)伺服控制提供。

2 家用智能車的控制模型

具有非完整約束的家用智能車底盤如圖2所示，兩個(gè)后輪是驅(qū)動(dòng)輪。車的位置可以用q＝［x yθ］T表示，其中x和y為X-Y平面上質(zhì)心的坐標(biāo)，θ為車的方位角。表1中詳細(xì)列出了車單側(cè)模型變量和參數(shù)的符號(hào)定義。

圖2 具有非完整約束的家用智能車底盤

表1 智能車變量與參數(shù)的符號(hào)定義

基于牛頓力學(xué)，家用智能車的運(yùn)動(dòng)方程可以很容易地得到：

寫成矩陣形式為

在智能車系統(tǒng)中，非完整約束也被視為被動(dòng)約束，可用下式表達(dá)：

式（19）對(duì)t微分得

由此，被動(dòng)約束可以用方程的形式表示為

根據(jù)定理1，可以得到智能車的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方程：

式（22）可寫成以下形式：

為實(shí)現(xiàn)基于伺服控制的智能車近似軌跡跟蹤控制，可考慮預(yù)先給定一個(gè)伺服約束，如下所示：

式（24）對(duì)t求2次導(dǎo)數(shù)得

可以用方程的形式重寫為

根據(jù)定理2可獲得基于式（26）伺服約束方程的伺服控制力的解析解：

基于式（23），可得

最后，實(shí)際控制輸入可寫為

3 試驗(yàn)與仿真分析

3.1 Udwadia控制的試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出的分類建模方法，首先驗(yàn)證Udwadia控制的有效性［3］。為此設(shè)計(jì)了多電機(jī)試驗(yàn)平臺(tái)，如圖3所示。試驗(yàn)平臺(tái)使用了Cspace系統(tǒng)，經(jīng)大量應(yīng)用驗(yàn)證，該系統(tǒng)已可替代dSPACE系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中用上述的Udwadia控制方法控制直線電機(jī)進(jìn)行試驗(yàn)，直線電機(jī)的變量和參數(shù)的符號(hào)定義詳見表2，其動(dòng)力學(xué)模型可描述為式（30）［13］。

圖3 多電機(jī)試驗(yàn)平臺(tái)

表2 電機(jī)的符號(hào)定義

考慮一個(gè)預(yù)先給定的伺服約束，如下所示：

將式（31）對(duì)t進(jìn)行2次微分，得

可用方程的形式重寫：

在多電機(jī)試驗(yàn)平臺(tái)上基于Udwadia控制方法對(duì)直線電機(jī)的試驗(yàn)結(jié)果如圖4～圖6所示。圖4顯示了x1軸實(shí)際軌跡的時(shí)間歷程，圖5顯示了x1軸實(shí)際軌跡與期望軌跡間的誤差。最終誤差穩(wěn)定在10-3級(jí)，滿足直線電機(jī)的控制要求?？刂凭葍?yōu)于傳統(tǒng)的PID、LQR、滑?？刂频瓤刂品椒?。圖6顯示了電機(jī)端電壓U的時(shí)間歷程。本試驗(yàn)驗(yàn)證了Udwadia控制的有效性，并證明了Udwadia控制易于使用。

圖4 x l的時(shí)間歷程

圖5 x l實(shí)際值與期望值的誤差

圖6 電機(jī)端電壓的時(shí)間歷程

3.2 家用智能車的數(shù)值模擬

在試驗(yàn)驗(yàn)證Udwadia控制方法可行的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步使用數(shù)值模擬仿真方法，用上述分類建模方法對(duì)具有非完整約束的家用智能車建模與控制的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。參考表1，選擇智能車有關(guān)參數(shù)為m＝10 kg，J＝0.1 kg·m2，l＝0.5 m，r＝0.1 m，同時(shí)要求車按照式（24）確定的軌跡運(yùn)動(dòng)。據(jù)此，車的運(yùn)動(dòng)方程解可以通過MATLAB中的ode15i算法得到。再選擇廣義坐標(biāo)的初始值：

仿真結(jié)果方面，圖7和圖8分別顯示了伺服約束下x和y的變化；圖9直觀地顯示了智能車在XY平面上的軌跡跟蹤歷程。同時(shí)，將實(shí)際軌跡與理想軌跡分別在圖7～圖9中進(jìn)行了比較；圖10和圖11分別顯示左輪和右輪的輸出轉(zhuǎn)矩。結(jié)果表明，對(duì)于具有非完整約束的智能車，分類建模和控制方法不僅簡(jiǎn)單易行，而且非常有效，可實(shí)現(xiàn)近似的軌跡跟蹤控制，軌跡跟蹤誤差穩(wěn)定在10-4級(jí)。該方法不僅滿足了智能車的控制要求，而且相比于其它方法［14-16］更容易處理系統(tǒng)中存在的非完整約束問題。

圖7 X的時(shí)間歷程

圖8 Y的時(shí)間歷程

圖9 在X-Y平面上的軌跡跟蹤歷程

圖10 左輪的輸出轉(zhuǎn)矩

圖11 右輪的輸出轉(zhuǎn)矩

4 結(jié)論

（1）針對(duì)家用智能車這類具有非完整約束系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與控制，提出了一種基于U-K理論的分類建模方法。該方法可以簡(jiǎn)便地處理這些系統(tǒng)中的非完整約束，從而提升系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模和控制的精度。

（2）將分類建模方法用于家用智能車，得到它基于伺服約束的伺服控制力的解析解。

（3）建立了基于Cspace系統(tǒng)的多電機(jī)試驗(yàn)平臺(tái)，并使用Udwadia控制方法對(duì)電機(jī)進(jìn)行了控制試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法比其它方法有更高的控制精度。

（4）對(duì)具有非完整約束的家用智能車進(jìn)行了軌跡跟蹤控制的數(shù)值模擬仿真，結(jié)果表明分類建模的控制方法比目前常用的一些方法具有更好的軌跡跟蹤控制效果，能滿足家用智能車高控制精度的要求，同時(shí)可以推廣到其它各種車輛。