何思瑤 韋雪 樊雨琰 楊佩

摘要：一階倒立擺平衡系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定的、多輸入多輸出的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，一階倒立擺的控制方法有多種不同的類型，不管是在理論還是算法上，研究此類典型倒立擺被控對象都有很重要的意義。本文對一階倒立擺平衡控制系統(tǒng)中常用的PID控制方法進行了研究，并比較了PID算法參數(shù)整定中經(jīng)驗湊試法、專家控制法、粒子群算法、遺傳算法等不同方法的特點和優(yōu)劣，研究內(nèi)容對工程設(shè)計具有一定的借鑒作用。

關(guān)鍵詞：一階倒立擺;平衡系統(tǒng);控制方法;PID算法

中圖分類號：TP311? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2020）23-0020-03

1 引言

平時常見的頭頂木樁雜技表演，需要雜技演員將一根長長的木樁頂在頭頂，并保持木樁豎直不倒，該雜技在實質(zhì)上可認為是一個一階倒立擺平衡系統(tǒng)。其中，木樁是不穩(wěn)定的非線性被控對象，完全可以通過一些數(shù)學上的控制算法令其保持豎直不倒的平衡狀態(tài)。這個雜技表演揭示出了自然界的一種基本規(guī)律，即當將頭頂木樁雜技表演歸納為一個一階倒立擺模型后，就可以通過數(shù)學方法同樣實現(xiàn)雜技的表演的平衡效果。

一個一階倒立擺平衡系統(tǒng)中包含兩個系統(tǒng)平衡位置，一個是倒立擺立起保持豎直不倒時的不穩(wěn)定平衡位置，另一個是倒立擺未施加任何控制力，處于下垂而保持不動的穩(wěn)定平衡位置。在對一階倒立擺進行平衡控制時，需要兩個階段，一個是施加控制力令倒立擺擺動起來以達到豎直平衡位置，另一個是在豎直位置施加控制力進一步地保持倒立擺平衡。目前，在這兩個控制階段的研究方面，已比較成熟，有很多相關(guān)論文可以查閱。這些成果基本均采用不同的控制策略和數(shù)學算法，實現(xiàn)對倒立擺兩個控制階段的穩(wěn)定控制。

2 倒立擺介紹以及應(yīng)用

從20世紀60年代起，倒立擺平衡系統(tǒng)的研究工作就已經(jīng)開始了。一階倒立擺平衡系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定的、多輸入多輸出的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以為控制方面的理論教學及相關(guān)課程實驗提供一個理想且經(jīng)典的研究驗證平臺，并通過該平臺建立的模型來驗證不同控制理論或算法的正確性和有效性，從而由倒立擺平衡系統(tǒng)的實例進一步在控制系統(tǒng)的非線性計算、穩(wěn)定性分析、魯棒性衡量、跟蹤控制和隨動控制等方面的問題進行深入研究。

一階倒立擺平衡系統(tǒng)不但具有很好的理論研究價值，而且還具有重要的工程實用價值。對一階倒立擺平衡系統(tǒng)平衡控制的研究不但能夠解決控制領(lǐng)域中一些具有共性的理論問題和技術(shù)問題，還能夠進一步地推動數(shù)學算法、力學理論和計算機技術(shù)的融合，令這些學科在交叉中創(chuàng)新以解決控制中的實際問題。因此，無論在理論研究方面，還是在工程實用方面，一階倒立擺平衡系統(tǒng)都能夠提供一個十分有價值且經(jīng)典的研究應(yīng)用平臺，它對于學生實驗和研究人員教研具有較好的啟發(fā)作用，是檢驗不同控制理論與算法的理想實驗對象。對于控制方法在工程實際中的應(yīng)用而言，一階倒立擺平衡系統(tǒng)同樣可以提供一個切實可行的驗證對象，通過將已有的各類控制理論方法應(yīng)用于該對象，可以有效檢驗工程應(yīng)用的可行性和正確性，從而實現(xiàn)理論與實踐的統(tǒng)一和相互驗證，降低工程應(yīng)用驗證的復(fù)雜度和成本。目前，倒立擺平衡系統(tǒng)的各種相關(guān)研究已引發(fā)的國內(nèi)外控制研究機構(gòu)的廣泛關(guān)注，研究人員通過對倒立擺平衡系統(tǒng)進行平衡控制實驗，來實驗和檢測各種新型控制算法的控制穩(wěn)定性和控制效率，并通過比較不同控制方法之間的優(yōu)劣，找到適合工程實際的最佳控制方法，因此倒立擺平衡系統(tǒng)已是控制研究領(lǐng)域最為熱門的研究方向。

一階倒立擺平衡系統(tǒng)也常被用于控制實驗教學，它不但提供了可供實際操作的實踐教學平臺，也是將相關(guān)控制算法應(yīng)用于實際的理論驗證平臺。在這個實踐平臺上，其實驗的對象——一階倒立擺是一個非線性、多變量、多擾動、強耦合的復(fù)雜不穩(wěn)定系統(tǒng)。通過對這個系統(tǒng)進行深入研究，不但能夠?qū)崿F(xiàn)和驗證已有經(jīng)典控制理論的控制效果，還能夠在現(xiàn)有控制理論的基礎(chǔ)上進一步開發(fā)和創(chuàng)造新型控制理論和算法，以實現(xiàn)更高效和更穩(wěn)定的控制效果，并將這些新的控制方法應(yīng)用于諸如航天、鉆井平臺、機器人、無人控制等更復(fù)雜的實踐領(lǐng)域。自20個世紀九十年代以來，新的控制方法不斷出現(xiàn)，每年倒立擺控制相關(guān)方面的創(chuàng)新研究成果大量出現(xiàn)在理論研究刊物上，新型的控制設(shè)備也層出不窮，由此可見，倒立擺平衡系統(tǒng)無論對于控制理論研究，還是對于實際工程應(yīng)用，都具有良好的研究價值，是一種理想的控制研究對象。

在工程實踐方面，倒立擺控制方法主要被應(yīng)用于以下幾個領(lǐng)域。

（1）雙足仿人機器人的直立行走和平衡控制，類似于雙擺倒立擺平衡系統(tǒng)。仿人機器人雖然早在20世紀50年代就已經(jīng)開始被研究，但其直立平衡行走和穩(wěn)定運動的關(guān)鍵控制問題依然未能得到很好的解決。

（2）火箭在發(fā)射之后，必須保持直立向上的飛行姿態(tài)，這就需要使用類似于一階倒立擺平衡系統(tǒng)的實時控制方法，對其進行姿態(tài)控制，以保證火箭具有穩(wěn)定準確的飛行方向和狀態(tài)。

（3）地球軌道上的通信衛(wèi)星在近地軌道運行時，必須保持和地球具有固定的角度姿態(tài)，這也需要使用類似于一階倒立擺平衡系統(tǒng)的控制方法，持續(xù)實時調(diào)整衛(wèi)星的運行姿態(tài)，從而令通信衛(wèi)星始終保持指向地球的方向，以保證良好的通信效果。

（4）各類運動型攝像機在拍攝照片時，必須能夠克服拍攝設(shè)備在運動時的抖動，以保證清晰穩(wěn)定的拍攝效果。為此也需要使用類似于一階倒立擺平衡系統(tǒng)的控制方法，來保持拍攝云臺姿態(tài)的穩(wěn)定，有效消除攝像機的震顫和抖動，以在最大程度上提高運動攝像機拍攝圖像的質(zhì)量。

由于對于上述實際領(lǐng)域相關(guān)的控制問題都可以利用一階倒立擺實驗平臺來進行模擬研究，因此一階倒立擺平衡控制系統(tǒng)在諸多工程應(yīng)用和理論研究領(lǐng)域都具有重要的實際意義。

3 一階倒立擺平衡系統(tǒng)的物理模型

一個一階倒立擺平衡控制系統(tǒng)的物理模型如圖1所示。該模型由一個具有一定長度的平滑軌道、一個可在平滑軌道上往復(fù)運行的滑塊和一個與滑塊鉸接的具有一定長度的直桿組成，其中滑塊上的直桿可以實現(xiàn)豎直平面內(nèi)360度的自由擺動。為了能夠讓滑塊上的直桿通過擺動達到最終豎直向上的平衡姿態(tài)效果，就需要給滑塊施加一個實時變化的驅(qū)動力F，以令滑塊能夠在該驅(qū)動力的控制作用下運動，以實現(xiàn)擺桿起擺，并保持豎直平衡的穩(wěn)定控制效果。

在上述物理模型中，需要控制的物理量包括：直桿與豎直方向的夾角，滑塊在導(dǎo)軌上的運動距離，直桿與滑塊鏈接點的位置變化。

事實上，令直桿與豎直方向所成角度保持在一個較小范圍之內(nèi)變化，是一階倒立擺保持擺桿穩(wěn)定處于豎直狀態(tài)的前提條件。當直桿能夠保持豎直穩(wěn)定狀態(tài)時，該夾角必須小于5度。

4 一階倒立擺平衡系統(tǒng)的控制方法

倒立擺的控制方法存在很多種類型。不管在工程上，還是在理論上，研究此類典型倒立擺被控對象都具有很重要的意義。當?shù)沽[系統(tǒng)的擺桿個數(shù)增加時，控制的難度也會成級數(shù)倍的增加。為了能夠控制更復(fù)雜的被控對象，實現(xiàn)多階倒立擺的穩(wěn)定控制，就必須不斷改進已有控制方法，甚至發(fā)明創(chuàng)造新的理論方法來達到提高控制能力的目的。在這方面，多階倒立擺平衡控制模型可以提供驗證復(fù)雜控制方法有效性的實驗平臺，為復(fù)雜控制理論研究給出明確的前進方向。

目前，按照倒立擺控制方法的難易程度，可將他們分為以下兩種類型[1]。

（1）線性控制方法

倒立擺平衡系統(tǒng)是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，直接計算求解該非線性系統(tǒng)的難度比較大，故可以先將倒立擺原有的非線性物理模型簡化近似處理，使其在控制平衡點附近變?yōu)榫€性模型，然后再利用已有的各種處理線性模型的控制理論方法對其求解，從而得到滿意的控制結(jié)果。在線性控制方法中，PID控制方法、狀態(tài)反饋控制方法、能量控制方法和線性二次調(diào)節(jié)器方法都是常用的成熟控制方法。

（2）變結(jié)構(gòu)控制方法和預(yù)測控制方法

變結(jié)構(gòu)控制方法是一種非連續(xù)控制方法，該方法可將受控對象從任意位置上變化到滑動曲面上，并通過消除系統(tǒng)震顫的處理手段，來保證控制方法的穩(wěn)定性和魯棒性。預(yù)測控制方法是一種優(yōu)化控制方法，該方法的主要處理對象不是控制模型的自身結(jié)構(gòu)，而是具體控制功能的優(yōu)化實現(xiàn)。

上述控制方法雖然對于理想狀態(tài)下的復(fù)雜非線性系統(tǒng)具有較好的控制效果，但這些方法控制過程復(fù)雜，控制成本高且控制效率較低，故對于需要實時控制的快速變化實變系統(tǒng)而言，卻不是最佳選擇。

5 PID參數(shù)整定方法對比研究

PID控制方法是目前在工程實踐中被應(yīng)用的最多的經(jīng)典控制方法，該方法中的比例（P）、積分（I）和微分（D）三個參數(shù)的優(yōu)化計算是整個控制過程中的關(guān)鍵問題，能否找到這三個參數(shù)合理的參數(shù)值將直接關(guān)系到最終控制效果的好壞。另外，控制器運行的穩(wěn)定性、準確性和控制速度也與這三個參數(shù)有著密切的關(guān)系。

PID控制方法在20世紀50年代起就開始被應(yīng)用，雖然之后各種類型的自動控制方法得到了較為廣泛和深入的研究，新的控制算法也不斷涌現(xiàn)出來，但PID方法卻因其較強的實用性和穩(wěn)定性，始終是工程實際中被應(yīng)用的最多和最廣泛的控制方法。PID控制方法在應(yīng)用中的一大優(yōu)勢是，其在使用時不需要建立被控對象精確的物理模型，僅需要調(diào)整好P、I、D三個參數(shù)值，就可以得到較為理想的控制效果[2]。下面將對幾種常用的PID參數(shù)整定方法進行對比研究。

（1）公式計算法

PID控制方法中的比例（P）、積分（I）和微分（D）三個參數(shù)與系統(tǒng)輸入和輸出之間的公式關(guān)系為：

當使用公式計算法時，需要先調(diào)節(jié)比例系數(shù)，讓系統(tǒng)輸出在某個比例系數(shù)的作用下產(chǎn)生周期性震蕩的結(jié)果，然后再按照當前震蕩周期和比例度與P、I、D三個參數(shù)之間的計算關(guān)系，得到最后的整定參數(shù)值。

（2）經(jīng)驗試湊法

使用經(jīng)驗試湊法時，需要先將P、I、D三個參數(shù)設(shè)定在某個經(jīng)驗值上，然后給系統(tǒng)施加擾動并不斷改變P、I、D參數(shù)的設(shè)定值，通過記錄下被控量在不同情況下的變化過程曲線，可以最終確定出P、I、D參數(shù)的整定值。

經(jīng)驗試湊法確定P、I、D參數(shù)的過程包含兩種不同的步驟順序：第一種以比例作用作為控制的基礎(chǔ)，在參數(shù)整定過程中需要先試湊比例度，當調(diào)節(jié)好的比例度能夠令輸出保持穩(wěn)定震蕩之后，再加入積分系數(shù)調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)，來消除控制系統(tǒng)中的靜差，如果控制效果仍不夠理想的話，最后再加入微分系數(shù)調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)，以提高控制系統(tǒng)的最終實時控制效果。第二種以積分作用作為控制的基礎(chǔ)，在參數(shù)整定過程中需要先試湊積分時間，然后按照由大到小的方式不斷試湊與該積分時間匹配的比例度，以獲得符合要求的系統(tǒng)輸出變化結(jié)果。

（3）專家控制法

專家控制法利用包含著大量規(guī)律和經(jīng)驗的專家系統(tǒng)來實現(xiàn)P、I、D參數(shù)的整定效果，該專家系統(tǒng)是一類包含著知識和推理的智能計算機程序，它能夠利用人們在工程實踐中獲得的大量寶貴經(jīng)驗來提供P、I、D參數(shù)的整定值。

專家控制法通過已得到的控制規(guī)律和控制經(jīng)驗，以智能化的方式將PID參數(shù)的整定過程與專家系統(tǒng)中的控制規(guī)律進行匹配，并最終根據(jù)專家經(jīng)驗得到最佳或最符合當前實際情況的PID整定參數(shù)。專家系統(tǒng)的建立是一個長期的自主學習的過程，它具有仿人智能化控制的特征和功能。隨著工程經(jīng)驗的增加和大數(shù)據(jù)技術(shù)的成熟，越來越豐富的專家經(jīng)驗被添加到專家系統(tǒng)庫中，用該方法進行PID參數(shù)整定也越來越具有簡單實用的效果。需要說明的是，與任何專家計算系統(tǒng)的應(yīng)用方式相同，專家控制法的應(yīng)用過程也由知識庫、推理機、匹配識別和結(jié)果判定等部分組成。

（4）粒子群算法

1995年，Kennedy和Eberhart等人提出了一種新的數(shù)值演化算法——粒子群算法[3]。該方法通過模擬鳥群在覓食和遷徙過程中個體、群落和環(huán)境之間的關(guān)系，來得到最后的最佳計算結(jié)果。粒子群算法目前已被廣泛應(yīng)用于優(yōu)化算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、模糊控制算法中的學習訓練環(huán)節(jié)。它與大部分的演化算法相同，都要基于群體演化過程進行迭代計算，計算時單個粒子在解集空間內(nèi)不斷迭代尋找最優(yōu)值，使得所有參數(shù)或變量集體向著最優(yōu)方向進行演化。

（5）遺傳算法

遺傳算法是一種優(yōu)化計算方法，它由美國密歇根大學的J.Holland教授于1975年首次提出，該優(yōu)化計算方法通過模擬自然界中染色體的選擇和進化過程來完成最優(yōu)解的搜索任務(wù)。由于染色體的選擇和進化過程是以達爾文進化論中的自然選擇和遺傳學說作為理論基礎(chǔ)的，故這種優(yōu)化算法被稱為遺傳算法[4]。

遺傳算法不需要進行優(yōu)化梯度計算即可進行全局尋優(yōu)，故它適用于各類復(fù)雜非線性優(yōu)化問題的求解場合，并具有良好的適應(yīng)性和魯棒性[5]。由于該算法全局尋優(yōu)過程中花費的時間成本較高，故其主要缺點是優(yōu)化效率較低，但隨著計算機存儲空間和計算速度的提高，該缺點已不再成為主要問題。

當使用遺傳算法進行PID參數(shù)整定時，基于遺傳算法的應(yīng)用步驟，需要先將P、I、D三個參數(shù)變?yōu)樗惴ㄖ械娜旧w變量，并將控制目標設(shè)定為遺傳算法中相應(yīng)的進化適應(yīng)度，通過遺傳算法的全局尋優(yōu)計算，最終可以得到最佳的控制參數(shù)整定值。由于遺傳算法不需要系統(tǒng)精確數(shù)學模型的梯度信息，只需根據(jù)遺傳規(guī)律進行進化尋優(yōu)，故該方法非常適用于一階倒立擺這樣復(fù)雜非線性系統(tǒng)的PID參數(shù)整定過程。

6 結(jié)論

一階倒立擺的控制方法有很多種，不管在工程上，還是在理論上，研究此類典型倒立擺的控制方法都具有十分重要的意義。本文對常被用于一階倒立擺平衡控制系統(tǒng)中的PID控制方法進行了研究，并對其應(yīng)用于一階倒立擺平衡系統(tǒng)時的各種參數(shù)整定方法進行了對比，本文研究內(nèi)容對一階倒立擺平衡系統(tǒng)的研制具有較好的工程指導(dǎo)作用。

參考文獻：

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[2] 蔣尉孫， 俞金壽. 過程與控制[M]. 北京： 北京化學工業(yè)出版社， 1992.

[3] 王介生， 王金城， 王偉. 基于粒子群算法的PID控制器參數(shù)自整定[J]. 控制與決策， 2005， 20（1）： 73-76， 81.

[4] 徐征. 基于遺傳算法的PID控制器參數(shù)尋優(yōu)方法的研究[D]. 武漢： 武漢大學， 2004.

[5] 金傳偉.基于遺傳算法的PID參數(shù)優(yōu)化與仿真[J].微計算機信息，2002，18（7）：72-73.

【通聯(lián)編輯：梁書】