常競文， 王永茂

（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島066004）

0 引言

可轉(zhuǎn)換債券是由公司發(fā)行的債券，持有者在將來某些時刻有權(quán)將債券轉(zhuǎn)換為公司的股票。在對可轉(zhuǎn)換債券定價時，信用風(fēng)險起著非常重要的作用，忽略信用風(fēng)險會高估券息和本金的價值，計算出的債券價格會不準確。1998年，Tsiveriotis K和Fernandes C［1］在對可轉(zhuǎn)債定價過程中考慮到存在違約風(fēng)險的情況，此模型的提出使得眾多學(xué)者意識到在可轉(zhuǎn)債定價過程中信用風(fēng)險存在的必要性，李念夷和陳懿冰［2］同時將三叉樹模型與信用風(fēng)險考慮到可轉(zhuǎn)換債券定價模型之中，Xiao T［3］研究了當模型依賴于瞬時違約風(fēng)險的概率分布時可轉(zhuǎn)換債券的定價問題。

由于會受到利率的影響，可轉(zhuǎn)換債券需尋找到一個平衡價格來消除可轉(zhuǎn)債發(fā)行者與其持有者的套利機會。潘堅和肖慶憲［4］在具有違約風(fēng)險的基礎(chǔ)上，利用Feynman-Kac表示定理和偏微分方程方法研究隨機利率下的可轉(zhuǎn)換債券定價問題。

然而，上述文章在對可轉(zhuǎn)債定價的過程中，仍然存在著問題導(dǎo)致定價結(jié)果不夠準確?？赊D(zhuǎn)債價格與其標的股票價格存在高度相關(guān)的關(guān)系，而上述文章所研究的可轉(zhuǎn)債定價問題，其標的股票的價格是基于正態(tài)分布的，大量實證研究表明，股票市場日收益率分布具有“尖峰肥尾”的特征，因此眾多學(xué)者開始嘗試用新的分布對股票日收益率數(shù)據(jù)進行擬合，Mandelbrot［5］首次研究穩(wěn)定Pareto分布，但因其具有無限方差并未被廣泛應(yīng)用于金融期權(quán)定價。另外一種常見分布是假設(shè)價格模型服從Levy分布一族［6，7］，但其密函函數(shù)的復(fù)雜性限制了其在金融定價領(lǐng)域中的應(yīng)用。

巴西物理學(xué)家Tsallis［8］提出的Tsallis熵分布可以用來描述具有非線性，長期記憶效應(yīng)和相互作用的系統(tǒng)。文獻［9，10］均對股票市場收益分布進行研究，用Tsallis熵分布替代正態(tài)分布，對股票價格過程進行建模，相比于傳統(tǒng)的B-S公式，其顯著特點就是非廣延參數(shù)的存在，且不同的值對期權(quán)的定價呈現(xiàn)出一定的差異性，研究結(jié)果表明Tsallis熵分布可以很好地刻畫股票市場日收益率分布的尖峰肥尾的特征。在國內(nèi)，基于Tsallis熵理論，張磊和茍小菊［11］研究發(fā)現(xiàn)股價具有反常擴散特征和非線性動力系統(tǒng)特征。趙攀和肖慶憲［12］研究得到了股價模型基于Tsallis熵下的期權(quán)價格的計算公式。焦博雅和王永茂［13］在此基礎(chǔ)上將更新過程引入期權(quán)定價過程中，并進一步證實于Tsallis熵分布下的股價波動更接近于市場真實的股價波動。

以上文獻均是將Tsallis熵理論應(yīng)用到期權(quán)定價過程中，但基于Tsallis熵分布的可轉(zhuǎn)換債券定價有待進一步研究。本文在研究可轉(zhuǎn)債的定價過程中，一方面考慮到了隨機利率及存在瞬時違約風(fēng)險的問題，另一方面用Tsallis熵分布替代正態(tài)分布，對標的股票價格過程建模，利用有限元法得到可轉(zhuǎn)債價格滿足的偏微分方程的數(shù)值解，根據(jù)市場真實的股票及可轉(zhuǎn)債數(shù)據(jù)進行實證分析，期望理論定價結(jié)果與市場真實可轉(zhuǎn)債價格更加吻合。

1 雙因子建模：隨機利率下的可轉(zhuǎn)債

1.1 股票價格模型

可轉(zhuǎn)債價值在連續(xù)無摩擦市場的表達形式形式為V＝V（S，r，t），其中S為股票價格，利率r為一個自變量。假設(shè)t時刻股票價格S（t）滿足下述隨機微分方程：

Γ（·）為Gamma函數(shù)；Ω（·）表示服從非廣延Tsallis熵分布的隨機變量，E（Ω（t））＝0，D（Ω，t）＝（（5-3q）β（t））-1，1＜，P（Ω，t）來源于物理學(xué)中的Tsallis熵理論，當q＝1時，P（Ω，t）退化為均值為零的正態(tài)分布。

｛W1（t）：0≤t≤T｝是標準維納過程。

1.2 隨機利率模型

在風(fēng)險中性市場，假定利率r（t）服從Vasicek模型，即滿足隨機微分方程：

其中：θ為常數(shù)，表示長期均衡的利率水平；u為平均回復(fù)率；σ2為利率的波動率；｛W2（t）：0≤t≤T｝是標準維納過程，W1（t）與W2（t）的線性相關(guān)系數(shù)為ρ，其中：-1≤ρ≤1。

1.3 可轉(zhuǎn)債的可贖回和可回售特性

可轉(zhuǎn)債常常帶有可贖回特性，給予了發(fā)行公司在任意時候或特定時間段用約定的金額將債券購回的權(quán)利，此金額隨時間變化，將其記為MC，如果公司可以以MC將債券贖回，則根據(jù)無套利條件可以得到V（s，r，t）≤MC；有些可轉(zhuǎn)債附帶可回售特性，即允許債券持有人以一定金額MP將債券賣給發(fā)行公司，施以約束V（s，r，t）≥MP，對持有人而言該特性增加了債券的價值。

2 泊松過程與瞬時違約風(fēng)險

2.1 瞬時違約風(fēng)險

如果在t時刻公司還未曾發(fā)生違約，而瞬時違約風(fēng)險為p，那么在時刻t和t+dt之間公司的違約概率為pdt。在無任何事情發(fā)生的情況下突然出現(xiàn)一個狀態(tài)變化，這符合泊松過程的變化規(guī)律。

假設(shè)為p一個常數(shù)，令P（t，T）表示公司在到t時刻為止還未曾發(fā)生違約的條件下，在T時刻也不會違約的概率。公司在稍后的t′時刻t′+dt和時刻之間發(fā)生違約的概率等于pdt乘以公司到t′為止都沒有發(fā)生違約的概率，即P（t′+dt，T）-P（t′，T）＝pdtP（t′，T），將上式展開，用于考察極小時間步長的結(jié)果，可以得到一個常微分方程。該方程代表了所求概率的變化率?P／?t′＝pP（t′，T），若公司一開始沒有處于違約狀態(tài)，那么P（T；T）＝1，該微分方程的解為e-p（T-t）。因此，在T時刻支付1美元的零息票債券的價值可以用期望現(xiàn)金流的現(xiàn)值來建模，其結(jié)果為e-p（T-t）Z，Z是與風(fēng)險債券的到期期限相同的無風(fēng)險零息債券的價值。該債券到期收益 率 由 下 式 給 出即信用風(fēng)險以利差p影響收益率的大小。

2.2 可轉(zhuǎn)債價格滿足的偏微分方程

考慮可轉(zhuǎn)債價格V（s，r，t），且V（s，r，t）關(guān)于t連續(xù)可微，關(guān)于s和r二次連續(xù)可微，根據(jù)廣義It＾o公式，可以得到

現(xiàn)考慮在定價過程中加入違約風(fēng)險。在瞬時隨機利率與泊松過程的擴散變化不相關(guān)的前提下，構(gòu)建對沖組合：買入一份到期日為T1的可轉(zhuǎn)債V1，賣出Δ2份到期日為T2的可轉(zhuǎn)債V2和Δ1份股票s，即

若公司當前未發(fā)生違約，那么在接下來的（t，t+dt）時間段中，存在兩種情況。一種情況是有（1-pdt）的概率可轉(zhuǎn)債不違約，在這種情況下，組合價值在單位時間步長下發(fā)生的變化為

另一是可轉(zhuǎn)債違約的概率是pdt，違約風(fēng)險發(fā)生導(dǎo)致突然損失，組合價值變化為：

這里解釋一下η*與R*的含義。

η*表示信用風(fēng)險折現(xiàn)因子，η*＝η+Xg，g為風(fēng)險補償，且0≤η*≤1，在違約時刻來臨時，s+＝s（1-η*），s+表示違約事件發(fā)生后股票的瞬時價格，s表示違約事件發(fā)生前股票的瞬時價格。當η*＝0時，代表在瞬間違約事件發(fā)生時股價未產(chǎn)生變動；當η*＝1時，代表公司發(fā)生嚴重違約事件，股價在違約事件發(fā)生后瞬間為零。X服從0-1分布，X＝0代表可轉(zhuǎn)債價格處于實值，X＝1代表處于虛值。

η*的意義在于當違約事件發(fā)生時，股價在原價格基礎(chǔ)上下落一個百分比，更加接近違約事件發(fā)生時的公司真實情況。

R*補償因子，0≤R*≤1，處理方法同η*。

公司違約事件發(fā)生時，債券持有人若選擇將可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換為股票，此時可轉(zhuǎn)債的價值變?yōu)椋簄s（1-η*），n為轉(zhuǎn)換比率；若選擇繼續(xù)持有可轉(zhuǎn)債，則其價值變?yōu)椋篟*F，F(xiàn)為可轉(zhuǎn)債面值。

針對上述兩種組合價值變動，取期望并省略dt高階項，進而由無套利原理，得到

將（4）和（5）代入（6）式，有

（7）式兩端形式相同，說明兩端方程式等值且此值與可轉(zhuǎn)債性質(zhì)無關(guān)，假設(shè)此值為m（r，s，t），即

假設(shè)風(fēng)險市場價格為零，則根據(jù)文獻［14］，

一項由公司的違約情況決定，主要與股票價格相關(guān)，若股票風(fēng)險價格為λ1（s），則：

上式即為基于Tsallis熵的具有隨機利率及違約風(fēng)險的可轉(zhuǎn)債價格滿足的偏微分方程。

若利率為常數(shù)，忽略存在違約風(fēng)險情況，（11）式與文獻［10］中的（10）式保持一致，即

即為基于Tsallis熵的雙因素可轉(zhuǎn)債模型。

若q＝1，則（11）式變?yōu)?/p>

即為具有信用風(fēng)險的雙因素可轉(zhuǎn)債模型。

2.3 自由邊界條件

（1）可轉(zhuǎn)債處于轉(zhuǎn)換期內(nèi)的轉(zhuǎn)換條件：

即其價值大于等于其轉(zhuǎn)換價值；其中n為轉(zhuǎn)換比率。

（2）可轉(zhuǎn)債在贖回期內(nèi)，其價值的最大值為轉(zhuǎn)換價值和贖回價兩者中的較大者，即

（3）可轉(zhuǎn)債在回售期內(nèi)，其價值的最小值為轉(zhuǎn)換價值和回售價兩者中的較大者，即

2.4 終值及跳躍條件

（1）可轉(zhuǎn)債合約到期時，其價值應(yīng)為可轉(zhuǎn)債的面值與可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換價值兩者中的較大者，即到期條件：

其中：F為可轉(zhuǎn)換債券的面值，KT代表合約到期時可轉(zhuǎn)換債券的息票值。

（2）公司股票價格足夠高時，投資者會考慮將持有的可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換為股票，因此可轉(zhuǎn)債在此刻的價值是其轉(zhuǎn)換價值，即：

其中n為轉(zhuǎn)換比率。

（3）公司股票價格非常低時，忽略存在回售的情況，可將可轉(zhuǎn)債價值看作普通債券價值，即：

（4）投資者在市場利率足夠大的情況下會考慮拋出可轉(zhuǎn)債。忽略存在贖回和回售兩種情況，可轉(zhuǎn)債價值為零，即：

（5）可轉(zhuǎn)債價值在市場利率非常低甚至趨于零時的情況下不易確定?？烧J為可轉(zhuǎn)債價值對于利率的偏導(dǎo)有限，即：

（6）假設(shè)息票每半年支付一次，所以有每個息票日的跳躍條件，即：

其中Kc為第c次所付利息，tc為第c次付息時間。

3 有限元法

3.1 自由邊界處理

由于可轉(zhuǎn)債具有可贖回、可回售和轉(zhuǎn)換特性，可對其自由邊界處理為線性互補問題，在此定義微分算子：

若Mc＜ns，則債券持有者會選擇轉(zhuǎn)股，可轉(zhuǎn)債的價值變?yōu)椋?/p>

若Mc≥ns，則將其自由邊界處理為以下線性互補問題：

其中：D＝pmax（ns（1-η*），R*F）。

此問題可用基本迭代方法求解。

3.2 有限元法計算格式

可轉(zhuǎn)換債券定價采用有限元法，相比于有限差分，有限元法精度更高，它是對整個區(qū)域進行求解的，而有限差分法僅僅是計算孤立點的價格，另外有限元法對邊界及終值條件處理效果更好。

有限元方法把未知函數(shù)V（s，r，t）中的空間變量（s，r）與時間變量t分開處理，本文先利用半離散方法對空間變量（s，r）離散，然后利用全離散方法對時間變量t離散。

步驟1利用變分原理及格林公式得到積分方程。

設(shè)求解區(qū)域為Ω＝［Smin，Smax］×［rmin，rmax］，則根據(jù)變分原理［15］，（11）式變?yōu)橐韵路e分方程：

其中，H1（Ω），（Ω）稱為Sobolev空間，兩者的形式分別為：H1（Ω）＝｛f（S，r）｜fα（S，r）∈L2（Ω），α＝0，1，…，k｝（Ω）＝｛f（S，r）｜f（S，r）∈H1（Ω）且f｜Γ0＝0｝，其中，fα（S，r）表示具有直到k階廣義導(dǎo)數(shù)f（S，r）的全體。Γ0對應(yīng)（20）、（21）所表示的邊界條件，在這里，當利率趨于零時，（20）式可以表示為［14］：

在微分方程（27）中存在二階導(dǎo)數(shù)積分，處理此積分需利用到數(shù)學(xué)微積分中的格林公式：

其中：Γ表示（28）式所對應(yīng)的邊界條件。

對方程（27）應(yīng)用格林公式并代入（28）式有：

步驟2構(gòu)造單元局部坐標系，建立插值函數(shù)。

將求解區(qū)域Ω分成N×N個矩形，節(jié)點坐標｛（Si，ri），i＝1，2，…，N｝，任意一個矩形單元ek的四個頂點對應(yīng)的節(jié)點編號為（k1，k2，k3，k4）。其中單元的形心被視作為坐標原點：ek＝｛（S，r）｜Sk1≤S≤Sk2，rk1≤r≤rk4｝，k＝1，2，…，N×N，因此，方程（29）可以表示為

其中（V，v）ek，a（V，v）ek以及（f，v）ck定義類似于（30）、（31）和（32）式，僅是將積分區(qū)域Ω換成ek

我們將單元歸一化，即采用無量綱坐標（ξ，η），通過仿射變換：

得到標準單元：ek＝｛（ξ，η）｜-1≤ξ≤1，-1≤η≤1｝，其中k1，k2，k3，k4四個節(jié)點的坐標分別為（-1，-1），（1，-1），（1，1），（-1，1）。

在每一標準單元上，定義矩形單元上ek上的Lagrange雙線性插值函數(shù)：

其中Ni（ξ，η）為矩形單元的形函數(shù)矩陣：

Vki（t），vki分別對應(yīng)于矩形單元ek的四個頂點的函數(shù)值和擾動值。

步驟3矩陣及總剛度矩陣的形成。

將（34）代入式（33）中，根據(jù)變分預(yù)備定理［15］

可知vk的任意性，則式（33）可寫為：

接下來，我們利用單元節(jié)點編號與整體編號的關(guān)系，把單元剛度矩陣進行疊加，形成總剛度矩陣，方程（37）可改寫為：

步驟4時間變量的離散化處理及可轉(zhuǎn)債價格的推導(dǎo)。

取正整數(shù)K，并令tk＝kτ，0≤k≤K，其 中τ＝T／K。對（38）式建立如下格式

取θ＝1／2，（39）式為Crank-Nicolson全離散格式，根據(jù)（39）式可得到迭代方程：

首先根據(jù)終值條件（18）可得到到期日可轉(zhuǎn)債的價格，進而采用基本迭代方法，利用方程（40），對時間變量進行回溯，結(jié)合約束條件（16）、（17）可得每個節(jié)點時刻可轉(zhuǎn)債價格，最終通過插值函數(shù)（34）便可得到每一時刻對應(yīng)不同股票價格和利率的可轉(zhuǎn)換債券的價格。

4 實證研究

4.1 基于Tsallis熵分布的股票價格模型

選取在2018年3月份上市、期限為6年的長證轉(zhuǎn)債、利歐轉(zhuǎn)債、敖東轉(zhuǎn)債的對應(yīng)標的股票——長江證券、利歐股份、吉林敖東進行實證分析，將每日收盤價作為樣本數(shù)據(jù)（選取日期：2016年1月4日～2018年9月28日；數(shù)據(jù)來源：RESSET數(shù)據(jù)庫）。樣本容量分別為671、656、665。日收益率利用ri＝（si-si-1）／si×100%計算，研究對象為標準化日收益率。計算軟件Rstudio。收益率時間序列見圖1～圖3，三種證券日收益率基本統(tǒng)計量見表1。

圖1 長江證券日收益率序列圖

圖1、2、3顯示三種股票日收益率的波動具有顯著的集聚性，說明股票價格很容易受到外來因素影響，進而產(chǎn)生連續(xù)的跳躍波動，并且股票價格的時間序列在一定程度上表現(xiàn)出較強的記憶性。

由表1峰度值和偏度值可知，三種標的股票日收益率具有明顯的“尖峰肥尾”特征，且K-S檢驗的p值小于0.05，可知日收益率分布在95%置信度下拒絕接受服從正態(tài)分布假設(shè)。另外，圖4～圖6顯示出日收益率具有“左偏尾”和明顯的“尖峰肥尾”特征，且與正態(tài)分布曲線吻合度低，以上闡述表明傳統(tǒng)的基于幾何布朗運動的股票價格波動與真實股價波動存在較大差異，可嘗試利用其它分布來模擬真實的數(shù)據(jù)分布。

圖2 利歐股份日收益率序列圖

圖3 吉林敖東股票日收益率序列圖

表1 股票日收益率的基本統(tǒng)計量

接下來用Tsallis熵分布對日收益率進行擬合，采用最優(yōu)擬合實際日收益率分布的方法來估計最優(yōu)參數(shù)q。首先，標準化實際日收益率并將其作為實際分布；其次，利用蒙特卡洛方法進行數(shù)值模擬，得到各q值下的模擬收益率序列并將其作為理論分布；最后，對q∈（1，5／3）進行窮舉，計算出各確定q值下日收益率理論分布與實際分布的最優(yōu)擬合優(yōu)度值，其對應(yīng)的q值即為需要Tsallis熵分布的最優(yōu)參數(shù)。

依據(jù)以上所闡述的步驟估計出的Tsallis熵分布的針對三種股票的最優(yōu)參數(shù)值分別為q＝1.42，1＝1.44，q＝1.51。將其模擬得到的日收益率理論曲線與日收益率實際曲線進行比較，結(jié)果見圖4、5、6。

圖4、5、6顯示Tsallis熵分布的優(yōu)勢在于在峰度以及尾部特征上對日收益率的擬合更好，且對應(yīng)三種股票的最優(yōu)參數(shù)值分別為q＝1.42，q＝1.44，1＝1.51。基于此，在之后對可轉(zhuǎn)債定價研究過程中將其標的股票價格模型服從正態(tài)分布進一步修正為服從最優(yōu)參數(shù)q值下的Tsallis熵分布。

圖4 長江證券日收益率分布和正態(tài)分布及Tsallis熵分布曲線比較

圖5 利歐股份日收益率分布和正態(tài)分布及Tsallis熵分布曲線比較

圖6 吉林敖東日收益率分布和正態(tài)分布及Tsallis熵分布曲線比較

4.2 可轉(zhuǎn)債價格的實證分析

本文實證分析中，選取對象為長證轉(zhuǎn)債、利歐轉(zhuǎn)債、敖東轉(zhuǎn)債，三者上市日期接近且期限均為6年。

長證轉(zhuǎn)債（127005）基本要素：期限：6年（2018年3月12日～2024年3月12日）：債券面值：100元；票面利率：第一年0.2%，第二年0.4%，第三年1.0%，第四年1.5%，第五年1.8%，第六年2.0%；發(fā)行張數(shù)：5000萬張；實際發(fā)行規(guī)模：5000百萬元；轉(zhuǎn)股起止日期：2018年9月17日～2024年3月11日；轉(zhuǎn)債評級：AAA。

利歐轉(zhuǎn)債（128038）基本要素：期限：6年（2018年3月22日～2024年3月12日）：債券面值：100元；票面利率：第一年0.3%，第二年0.5%，第三年1.0%，第四年1.5%，第五年1.8%，第六年2.0%；發(fā)行張數(shù)：2197.5萬張；實際發(fā)行規(guī)模：2197.5百萬元；轉(zhuǎn)股起止日期：2018年9月28日～2024年3月21日；轉(zhuǎn)債評級：AA。

敖東轉(zhuǎn)債（127006）基本要素：期限：6年（2018年3月22日～2024年3月12日）；債券面值：100元；票面利率：第一年0.2%，第二年0.4%，第三年0.6%，第四年0.8%，第五年1.6%，第六年2.0%；發(fā)行張數(shù)：2413萬張；實際發(fā)行規(guī)模：2413百萬元；轉(zhuǎn)股起止日期：2018年9月19日～2024年3月12日；轉(zhuǎn)債評級：AA+。

本節(jié)主要研究加入Tsallis熵后可轉(zhuǎn)債價格變化情況，研究對象為三種可轉(zhuǎn)債從剛上市到轉(zhuǎn)股期開始這個時間段的價格變化。在利率為常數(shù)的前提下可轉(zhuǎn)債價格滿足偏微分方程（12）式。

長江證券的波動率估計：采用GARCH（1，1）模型計算波動率得到：

對應(yīng)于α＝0.0470022，β＝0.9272747，ω＝γVL＝6.400797×10-6。由α+β＜1可知模型通過平穩(wěn)性檢驗，且根據(jù)α+β+γ＝1可計算得到隱含長期每日方差平均為：VL＝2.488×10-4。長江證券每年均有244個交易日，則年波動率

同理可得到利歐股份股票波動率σ2≈0.25，吉林敖東股票波動率σ3≈0.237。

取到期日與長證轉(zhuǎn)債相近的七年期國債（019216）的票面利率作為無風(fēng)險利率，即r≈0.0325。

轉(zhuǎn)換比率（可轉(zhuǎn)債面值／轉(zhuǎn)股價）分別為：n1＝13.157，n2＝36.232，n3＝4.735。

利用單因子有限元方法繪制三維圖并計算得到長證轉(zhuǎn)債、利歐轉(zhuǎn)債及敖東轉(zhuǎn)債的理論價格。所用軟件：Matlab。選取三種可轉(zhuǎn)債交易天數(shù)均為107天，其中長證轉(zhuǎn)債（2018年4月11日～2018年9月10日）、利歐轉(zhuǎn)債（2018年4月19日～2018年9月19日）、敖東轉(zhuǎn)債（2018年5月11日～2018年10月17日）?；赥sallis熵分布的三種可轉(zhuǎn)債理論價格及其與實際交易價格對比圖如圖7～圖12所示。

圖中理論價格1與2分別表示股價基于正態(tài)分布與Tsallis熵分布下可轉(zhuǎn)債價格。

圖7 標的股價基于Tsallis熵的長證轉(zhuǎn)債價格三維圖

圖8 長證轉(zhuǎn)債的實際價格與理論價格對比圖

圖9 標的股價基于Tsallis熵的利歐轉(zhuǎn)債價格三維圖

圖10 利歐轉(zhuǎn)債的實際價格與理論價格對比圖

圖11 標的股價基于Tsallis熵的敖東轉(zhuǎn)債價格三維圖

圖12 敖東轉(zhuǎn)債的實際價格與理論價格對比圖

圖7、圖9、圖11所示分別為長證、利歐、敖東轉(zhuǎn)債價格與時間（6年期限）、相對應(yīng)標的股票價格的三維圖。

圖8、圖10、圖12所示分別為長證、利歐、敖東轉(zhuǎn)債從剛上市到鄰近轉(zhuǎn)股期時間段。圖中顯示：相比于理論價格1，股價基于Tsallis熵分布的可轉(zhuǎn)債理論價格2更加貼近于市場實際價格。

以上分析說明基于T sallis熵分布的理論定價結(jié)果更貼近于可轉(zhuǎn)債真實的價格波動。

5 結(jié)論

（1）本文主要研究了在隨機利率下股價基于Tsallis熵分布及帶有瞬時違約風(fēng)險的可轉(zhuǎn)換債券定價問題，并利用有限元法得到了可轉(zhuǎn)債價格所滿足的偏微分方程的數(shù)值解。

（2）對三支市場可轉(zhuǎn)債進行實證研究。根據(jù)可轉(zhuǎn)債標的股票的市場真實數(shù)據(jù)模擬收益率序列，發(fā)現(xiàn)股價模型基于Tsallis熵分布下曲線擬合明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的正態(tài)分布，并得到了Tsallis熵分布的最優(yōu)參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，繪制可轉(zhuǎn)債理論價格的三維圖和理論價格與實際價格對比圖。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在可轉(zhuǎn)債剛上市至臨近轉(zhuǎn)股期的時間段內(nèi)，股票價格基于Tsallis熵分布情況下的理論價格更加貼近于市場實際價格。因三支可轉(zhuǎn)債為6年期可轉(zhuǎn)債，故對其更準確的定價有待進一步的研究。