張 玲，陳金海，歐 強

(湖南大學巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

在橋梁、海洋等樁基的施工與服役過程中，樁基除承受豎向荷載外，往往還可能同時受到風荷載、汽車制動力、波浪沖刷、地震作用等水平荷載的作用。因此軸向、橫向荷載作用下單樁的受力變形分析非常重要。目前高層建筑、橋梁及海洋工程的樁基設(shè)計中，常規(guī)的做法是將軸向荷載與橫向荷載分開考慮，分別計算軸向與橫向荷載作用下樁身的內(nèi)力與位移，而后基于小變形假定進行疊加，該種疊加的方法雖計算相對簡單，但未考慮軸向荷載與橫向荷載作用引起的耦合效應，不能充分反映軸橫向荷載作用下單樁的受力變形實際。

已有的室內(nèi)試驗及數(shù)值分析結(jié)果均表明[1-5]：軸向荷載對水平受荷樁的承載性狀有較大影響，如“P-△效應”等，且軸橫向荷載存在較為復雜的相互作用。日本學者橫山幸滿曾指出[6]：應力疊加的原理并不適用樁體同時承受軸向與橫向荷載的情況。

為此，軸橫向荷載共同作用下單樁的受力變形應考慮軸橫向應力的耦合作用，目前相關(guān)的理論研究成果主要有：趙明華等[7-8]基于“m法”，求得了考慮軸橫向荷載共同作用下的柔性樁解析解，并對基樁的特性進行了深入的研究。李微哲等[9]通過假定地基系數(shù)滿足(mz+C)的線性增長，探討分析了軸橫向荷載偏心情況下的單樁內(nèi)力與位移；梁發(fā)云等[10]基于小變形假定對軸橫向荷載共同作用下的單樁進行了研究，并針對其主要影響因素進行了分析。張磊等[11-12]利用地基反力法求得了軸橫向受荷樁的半解析解，研究了自由段樁長及地基反力系數(shù)的分布情況等因素對單樁內(nèi)力與變形的影響；Liang等[13]基于Mindlin方程提出了軸橫向受荷樁的有限元解。張玲等[14]基于Winkler彈性地基梁理論，利用相鄰單元的連續(xù)條件與矩陣傳遞法研究了地基成層性對軸橫向受荷樁的影響。周立朵等[15]基于p-y曲線法研究了軸橫向荷載作用下的單樁樁土相互作用，得到了荷載-位移曲線、彎矩分布等規(guī)律。Zhu等[16]通過矩陣傳遞法研究了軸向力及其沿樁身的分布對水平受荷響應的影響。

但上述理論分析方法中，m值的選取與p-y曲線形式的確定不能直接從土工試驗中獲得，而能量法的優(yōu)點在于所需的土體參數(shù)較易獲得，且可在一定程度上考慮樁土復雜的相互作用。因此有學者嘗試采用能量法研究荷載作用下單樁的受力變形[17-18]。而對于水平荷載作用下的單樁，Sun等[19]建立了土體在柱坐標下的位移方程，并采用能量法去考慮水平受荷樁的受力與變形，Zhang等[20]、徐洞斌等[21]分別通過能量原理建立了水平荷載作用下樁土體的能量方程，并通過有限差分求得了單樁在水平荷載作用下的受力響應。但上述研究僅針對水平受荷樁而言，未考慮軸向荷載的影響。為此，本文擬在前人的基礎(chǔ)上，基于最小勢能原理，并結(jié)合冪級數(shù)法得到軸橫向荷載作用下單樁樁身水平位移及內(nèi)力的解答，以期為工程實際中軸橫向荷載下樁基的計算分析提供參考。

1 軸橫向荷載作用下單樁的受力變形分析

1.1 計算模型的建立

單樁在軸橫向荷載作用時，其樁身因水平荷載產(chǎn)生了較大的水平位移與彎矩，而軸向力作用使得樁身會產(chǎn)生附加彎矩，出現(xiàn)一定的壓曲，這個附加彎矩的存在又會使得樁身的水平位移增大，而軸向力引起的樁身水平位移是非線性的，故建立如圖1所示模型。

圖1 單樁受力計算模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the calculation model for pile

如圖1所示的樁-土體系中：樁長為L(m)；樁身半徑為R(m)；樁身抗彎剛度為EPIP；樁頂作用水平力H0，軸向荷載P0，彎矩M0。樁周土體彈性模量為Es，泊松比為νs；考慮樁周土體模量沿深度的變化，其變化形式參考文獻[20]，樁周土體在地面處的彈性模量為Es1，在樁底處彈性模量為Es2，樁身范圍內(nèi)距樁頂z深度處土體的彈性模量為：

Es=Es2[αs+(1-αs)z/L]

(1)

式中：αs——樁周土彈性模量沿深度的變化系數(shù)，αs=Es1/Es2。

1.2 樁土體系能量方程的建立

本文采用Sun等[19]提出的土體在柱坐標下的位移模式：

(2)

式中：u，w，v——沿徑向、軸向、轉(zhuǎn)角方向的位移，如圖2所示；

r，θ，z——柱坐標徑向、軸向與轉(zhuǎn)角方向；

u(z)——樁身隨深度z變化的位移函數(shù)；

φ(r)——r方向土體的無量綱位移函數(shù)。

圖2 坐標系與位移分量圖Fig.2 The coordinate system and displacement components

根據(jù)彈性力學幾何關(guān)系與本構(gòu)關(guān)系可得：

(3)

(4)

式中：εrr，εθθ，εzz——r，θ，z方向的正應變分量；

γrθ，γθz，γzr——rθ，θz，zr方向的剪應變分量；

σrr，σθθ，σzz——r，θ，z方向的正應力分量；

τrθ，τθz，τzr——rθ，θz，zr方向的剪應力分量。

則樁土體系中各部分能量分別可表示為[22]：

(5)

(6)

(7)

(8)

ΠH=-H0·u|z=0

(9)

(10)

式中：c——樁截面周長；

τ——樁側(cè)摩阻力，根據(jù)文獻[23]可采用靜載試驗獲得或根據(jù)地區(qū)經(jīng)驗值取得；

Πpile，Πsoil，Πf，Πp，ΠH，ΠM——樁身應變能、土體應變能、樁側(cè)土體摩阻力勢能、樁頂豎向荷載勢能、樁頂水平荷載勢能及樁頂彎矩勢能。

樁土體系總能量方程為：

Π=Πpile+Πsoil+Πf+ΠP+ΠH+ΠM=

(11)

將式(3)、式(4)代入式(11)，可得樁土體系總能量方程為：

(12)

1.3 樁、土位移控制方程

由最小勢能原理可知，δП=0，由式(12)求變分可得式(13)：

(13)

故由式(13)可推得樁身位移控制方程(14)及沿樁身任意深度處彎矩M及剪力H的表達式(17)：

(0≤z≤L)

(14)

其中令：

(15)

即樁身位移控制方程可化為：

(0≤z≤L)

(16)

樁身任意深度處彎矩M及剪力H為：

(17)

同理，式(12)對φ取變分可得土體位移控制方程：

(18)

式中：ψ——無量綱系數(shù)，決定了水平位移隨徑向r方向減小的速度。

ψ可以表示為：

(19)

其中Χ1，Χ2，Χ3，Χ4分別為：

式(18)滿足邊界條件：當r=R時，φ(r)=1，當r→∞時，φ(r→∞)=0，則有：

(20)

(γ2+1)[K1(γ)]2}

(21)

式中：K0(·)，K1(·)——修正后的第二類貝塞爾函數(shù)。

1.4 樁身位移控制方程的解

式(14)可采用冪級數(shù)法求解，具體求解過程參考文獻[7]，故可得其解為：

(22)

式中：a0，a1，a2，a3——待定系數(shù)。

(23)

由式(22)可知樁身位移方程的冪級數(shù)函數(shù)均可由系數(shù)a0，a1，a2，a3表示，而a0，a1，a2，a3可通過聯(lián)立樁頂與樁底的邊界條件進行求解。

其中邊界條件可由式(13)推得，表達式為：

(24)

(25)

假定樁頂位移u0、轉(zhuǎn)角φ0、彎矩M0以及剪力H0已知，結(jié)合式(22)、(24)、(25)可得：

(26)

由上述邊界條件可求得a0，a1，a2，a3的值。再選定合適的項數(shù)，即可求得水平位移的函數(shù)表達式，其具體流程如圖3所示。當樁底嵌入巖層或者樁底土層較堅硬的時候，認為樁端為固定邊界。為方便求解，下文將采用樁頂自由、樁底固定的邊界條件進行求解驗證。

圖3 樁身水平位移求解程序圖Fig.3 Program diagram for solving horizontal displacement of pile

2 算例分析

2.1 算例1

Kerisel等[24]對水平受荷單樁進行了室內(nèi)模型試驗。模型樁樁長L=4.65 m，樁徑D=0.36 m，樁頂自由，樁底嵌固。受到的水平荷載H0=60 kN，彎矩M0=69 kN·m，樁身的彈性模量Ep=20 GPa，土體的彈性模量Es=9.233 MPa。土體的泊松比νs=0.3，樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs=1。Filho等[25]通過有限元與邊界元軟件驗證了其試驗結(jié)果，圖4給出了本文方法計算結(jié)果與Kerisel等模型試驗結(jié)果、Filho等有限元結(jié)果、《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》(以下簡稱規(guī)范法)推薦的簡化方法計算結(jié)果的對比分析。

圖4 水平荷載作用下的樁身水平位移Fig.4 Lateral displacement of pile due to the horizontal load

由圖4可知，本文方法計算所得樁身水平位移結(jié)果與上述幾種方法所得結(jié)果都比較接近，而且相比較于Filho等有限元方法，本文計算方法所得的樁身水位位移更接近于Kerisel模型試驗結(jié)果。就樁頂(z=0 m)水平位移而言，Kerisel模型試驗結(jié)果為9.7 mm；Filho等有限元方法結(jié)果為10.1 mm，相對比試驗結(jié)果誤差為4.12%；本文方法計算所得樁頂位移為10.08 mm，相對比試驗結(jié)果誤差為3.9%。由此可見本文方法可用于分析水平受荷樁的受力變形分析。

2.2 算例2

肖世偉等[26]利用有限元方法對馬橋河橋鉆孔樁基足尺試驗所得結(jié)果進行了模擬分析，并將實測數(shù)據(jù)進行反算，給出了地基系數(shù)m=1.398×104kN/m4與樁身彈性模量Eh=3.188×107kN/m2，試驗的樁體參數(shù)分別為：樁長L=17.0 m，樁徑D=0.85 m，土層泊松比νs=0.3，樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs=1，則公式(1)即簡化為Es=Es2，土體彈性模量Es2=6 MPa，本文方法計算所得樁頂位移與文獻[26]結(jié)果如表1所示。此外，為比較本文計算樁身位移沿樁身的分布情況，以文中參數(shù)建立彈性有限元模型，取樁頂軸向荷載為313.60 kN的情況，本文方法計算的樁身位移與有限元模擬的樁身位移對比結(jié)果如圖5所示。

表1 本文方法與文獻[26]結(jié)果對比

圖5 樁身水平位移圖Fig.5 Lateral displacement of pile

由表1可知，本文方法計算所得結(jié)果與文獻[26]所得結(jié)果基本吻合，且隨著軸向荷載的增大，對樁頂水平位移的影響也隨之增大，且由圖5可知，本文方法計算所得的樁身位移與彈性有限元分析所得結(jié)果擬合較好，可應用于工程實際。

2.3 算例3

Cho等[27]對水平受荷的嵌巖樁基進行了多組現(xiàn)場橫向荷載試驗，該工程位于美國北卡羅來納州的一個橋梁替換項目，其中一組其樁側(cè)有2層地基土，第一層為深度L0=1 m的砂土層，第二層為深度L1=3.3 m的泥板巖；樁長為L=4.3 m，樁體半徑R=0.38 m，樁體彈性模量Ep=24.8 GPa。

Yang等[28]采用地基反力法與變分原理對該工程進行了驗證分析，并根據(jù)Cho等試驗所得結(jié)果的p-y曲線進行反算，假設(shè)樁側(cè)路基反力模量Kh0在地面處為0，沿深度線性增加，求得首層土其增加系數(shù)為nhs，0=19.5 MN/m3。泥板巖內(nèi)的路基反力模量Kh1=180.6 MPa，nhs，1=393.3 MN/m3，路基反力模量的經(jīng)驗公式如式(27)所示，其計算模型如圖6所示。

(27)

Dr=0.305 m，Dref=1.0 m

式中：K——路基反力模量；

EM——巖體模量。

圖6 Yang等計算模型圖Fig.6 Schematic diagram of the Yang calculation model

利用本文能量法對該算例進行驗證分析，樁體與土體參數(shù)如上所述，本文所用的土體彈性模量與路基反力模量的換算公式為[29]：

(28)

式中：Kh——路基反力模量。

樁體在泥板巖內(nèi)基本不發(fā)生水平位移，因此為簡便計算，本文利用砂土層的參數(shù)進行驗證，由式(28)可得砂土層底土體彈性模量Es2=17.73 MPa，取樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs=0.1，土體泊松比取為νs=0.3，計算結(jié)果如圖7所示，其中Yang所用p-y曲線法為利用Cho試驗結(jié)果反算求得。

圖7 水平荷載作用下的樁身水平位移Fig.7 Lateral displacement of pile due to the horizontal load

由圖7可知，本文方法所得的樁頂位移較文獻[28]更接近實測值。

3 參數(shù)分析

3.1 樁土彈性模量比的影響分析

取樁頂自由，樁底嵌固，樁的長徑比為L/D=15，取樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs=1，土的泊松比取為νs=0.3，樁土的彈性模量比值Ep/Es2分別為100，500，1 000，2 000與5 000。樁頂水平荷載與軸向荷載分為取為H0=120 kN，P0=60 kN。其計算結(jié)果如圖8所示。

圖8 樁土彈性模量比變化下的樁身水平位移和樁身彎矩Fig.8 Horizontal displacement and bending moment of pile under the variation of elastic modulus ratio of pile to soil

由圖8可知，樁身水平位移隨著樁土模量比的增大而逐漸增大，樁頂處水平位移在樁土模量比Ep/Es2=5 000處急劇增大，在軸向壓力的作用下，樁身最大彎矩點不斷向下移動。而當軸向荷載由0變?yōu)?0 kN時，其樁頂水平位移減小，樁身最大彎矩點下移，軸向荷載的存在使得樁身出現(xiàn)一定的壓曲現(xiàn)象，樁身的水平位移與彎矩均出現(xiàn)了增大的情況。

3.2 樁體長徑比的影響分析

取樁頂自由，樁底嵌固，樁土彈性模量比Ep/Es2=1 000，取樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs=1，土體的泊松比為νs=0.3，樁體長徑比L/D分別為5，10，15，20，25。樁頂水平荷載與軸向荷載分為取為H0=120 kN，P0=60 kN。為比較方便，將樁長進行歸一化可得圖9。

圖9 長徑比變化下的樁身水平位移和樁身彎矩Fig.9 Horizontal displacement and bending moment of pile under the variation of length-diameter ratio

由圖9可見，當樁頂軸向荷載為60 kN時，樁的工作性狀會隨樁長徑比的變化而發(fā)生改變。當樁的長徑比L/D大于10時，樁身出現(xiàn)反彎。其原因是隨樁的長徑比增大，樁體表現(xiàn)出柔性樁性質(zhì)，近地面處的土體發(fā)生屈服，導致樁頂水平位移增大；而當長徑比L/D小于10時，樁體受力近似于剛性樁，樁身位移曲線近似為直線，且樁身不出現(xiàn)反彎點。此外，樁的長徑比對樁身彎矩也有較大影響。隨著樁的長徑比L/D的增大，樁身中上部的彎矩變化明顯，樁身最大彎矩減小，且最大彎矩點逐漸上移。當長徑比變化時，軸向荷載對樁身位移與彎矩的影響與樁土模量比變化時的影響類似。

3.3 軸向荷載的影響分析

取樁頂自由，樁底嵌固，樁的長徑比L/D=15，取樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs=1，土的泊松比取為νs=0.3，樁土彈性模量比值Ep/Es2=1 000。樁頂水平荷載取H0=120 kN，軸向荷載P0分別為0，600，1 200，2 400，4 800 kN。計算結(jié)果如圖10所示。

圖10 軸向荷載變化下的樁身水平位移和樁身彎矩Fig.10 Horizontal displacement and bending moment of pile under the variation of axial load

由圖10可知，軸向荷載對樁身水平位移的影響主要位于樁身上部2 m，約為10倍樁徑范圍內(nèi)。隨著軸向荷載的增加，樁身最大彎矩點不斷下移，其影響范圍約位于地面以下4 m，約為20倍樁徑范圍內(nèi)。與文獻[10]所得結(jié)論基本一致。而且，隨著P0/H0比值的增大，軸向荷載對樁身水平位移及彎矩的影響明顯增大，其主要原因在于由軸向荷載引起的樁身撓曲變形是非線性的。

3.4 αs的影響分析

樁周土體的彈性模量對樁身內(nèi)力及變形有較大影響，由式(1)可知，系數(shù)αs決定了樁周土體彈性模量沿深度的變化趨勢，故對該系數(shù)做參數(shù)分析。

取樁頂自由，樁底嵌固，樁的長徑比為L/D=15，土的泊松比取為νs=0.3，樁土的彈性模量比值Ep/Es2=1 000，αs分別取為1，0.8，0.6，0.4，0.2。樁頂水平荷載與軸向荷載分為取為H0=120 kN，P0=60 kN，計算結(jié)果如圖11所示。

由圖11可知，當樁頂軸向荷載由0增加到60 kN時，樁頂水平位移從3.17 mm增大為3.86 mm，增大比例為21.7%，樁身最大彎矩由22.2 kN·m增大到31.36 kN·m，增大比例為41.3%。而當樁頂軸向荷載不變時，隨樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs從1減小到0.2時，樁頂水平位移的增大比例分別為19.17%、47.67%、94.3%、190.2%，樁頂彎矩的增大比例分別為10.9%、25.7%、50.7%、95.7%。可知當樁周土模量沿深度的變化系數(shù)過小時，即上部土層彈性模量過小，會導致樁頂位移急劇增大，樁身彎矩急劇增大，最大彎矩點逐漸下移，故在實際工程中可采取對淺部土層進行換填等方法去改善土質(zhì)，從而控制樁頂?shù)乃轿灰婆c樁身彎矩。

圖11 αs變化下的樁身水平位移和樁身彎矩Fig.11 Horizontal displacement and bending moment of pile under the variation of αs

4 結(jié)論

(1)本文基于最小勢能原理建立了軸橫向荷載作用下單樁的能量方程，一定程度上考慮了軸橫向荷載的耦合作用，將樁頂?shù)妮S橫向荷載、樁側(cè)摩阻力及樁土相互作用視為一個整體進行分析，并給出了冪級數(shù)解答。

(2)參數(shù)分析結(jié)果表明：①樁土彈性模量比對單樁內(nèi)力與變形有較大影響。②樁身長徑比小于10時，樁體受力近似剛性樁容易引起樁身失穩(wěn)。③軸向荷載對樁身水平位移與彎矩的影響主要集中與樁身上部20倍樁徑范圍內(nèi)，而對深處影響較小。④樁周土模量沿深度的變化系數(shù)αs小于0.6時，單樁樁身水平位移與彎矩受其影響很大。

(3)本文方法可進一步推廣到多層地基以及樁身變截面等情況。此外，為求解方便，本文僅以土體彈性模量沿深度線性變化的角度考慮土體的非線性，未考慮土體的彈塑性變形，這將在后續(xù)的工作中進一步深入研究。