李遠飛, 肖勝中, 郭連紅, 曾 鵬

(1. 廣東財經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 廣州 511300; 2. 廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 廣州 510507)

1 引言與預(yù)備知識

Saint-Venant原理[1]在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 其早期研究主要集中于橢圓方程的初邊值問題, 此后各種類型的拋物方程得到廣泛關(guān)注[2-7]. 通常情況下, 研究拋物方程的空間性質(zhì)時需假設(shè)在柱體的無限端解趨于零或趨近于一個瞬態(tài)層流, 并通常假設(shè)在柱體的側(cè)面上滿足零邊界條件. 經(jīng)典的二擇一定理不必假設(shè)方程組的解在無限端趨于零, 而是證明調(diào)和函數(shù)隨與有限端距離的增大或者呈指數(shù)(多項式)增長, 或者呈指數(shù)(多項式)衰減. Horgan等[8]考慮了定義在一個柱體區(qū)域Ω?3上的Laplace方程, 假設(shè)解在Ω的邊界上滿足非線性條件, 證明了Laplace方程的解或者指數(shù)式(或多項式)增加, 或者指數(shù)式(或多項式)衰減; 如果在柱體的側(cè)面上施加不同的非線性條件, 利用文獻[9]的方法, 文獻[10]得到了解的二擇一定理； 文獻[11]研究了二維雙調(diào)和方程的Phragmén-Lindel?f二擇一定理, 并著重考慮了3種不同的半無窮柱體區(qū)域； 文獻[12]給出了二維瞬態(tài)的Stokes 流體方程的二擇一結(jié)果； 文獻[13]考慮了定義在一個三維柱體上的穩(wěn)態(tài)擬線性方程

(ρ(x,u,u)u,i),i=f(u),

當方程的解在柱體的側(cè)面上滿足零邊界條件或其次Neumann邊界條件時, 通過對非線性項做出一定的限制, 得到了解的二擇一定理.

本文令Ω表示三維區(qū)域上的半無限柱體,Dz表示Ω在x3=z處的橫截面,D表示Ω在坐標平面x1Ox2上的橫截面, 即Ω={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈Dx3,x3>0}. 令?Dx3表示Dx3的邊界,z是x3軸上的一個動點,Ωz記為

Ωz={(x1,x2,x3)|(x1,x2)∈Dx3,x3≥z≥0},

其中Dx3是與x3相關(guān)的一個光滑區(qū)域, 例如

uf(u)≥ku2p/(p-1),p>1,k>0;

(5)

g(x1,x2,t)是大于零的給定函數(shù)且滿足兼容性條件g(x1,x2,t)=0, (x1,x2,t)∈D0×(0,T)和g(x1,x2,0)=0; 在式(1)中假設(shè)ρ滿足

(6)

其中m1,M1和M2都是大于零的常數(shù).

目前, 關(guān)于半無窮柱體上解的二擇一性質(zhì)的研究文獻報道較少, 本文將文獻[13]中的二擇性定理推廣到瞬態(tài)方程中, 受文獻[11]的啟發(fā), 考慮3種不同的半無窮柱形區(qū)域, 分別給出解的二擇性. 用u的L2積分控制u的L2積分, 即

引理1若w|?Dz=0, 則存在一個依賴于區(qū)域Dz大于零的函數(shù)r(z), 使得

(7)

其中r(z)=|Dz|表示區(qū)域Dz的面積.

證明: 設(shè)P是Dz內(nèi)的一個點. 令P1和P2分別表示過點P平行于x1坐標軸的直線與?Dz的交點, 令Q1和Q2分別表示過點P平行于x2坐標軸的直線與?Dz的交點. 首先, 注意到

所以

(8)

類似地, 有

(9)

結(jié)合式(8),(9), 有

再利用不等式(a+b)2≤2(a2+b2)(a,b>0)及H?lder不等式, 可得式(7). 證畢.

2 能量表達式

下面先定義一個能量表達式, 再利用微分不等式技術(shù)推導(dǎo)出一個關(guān)于該能量表達式的一階微分不等式, 從而得到解的二擇一結(jié)果. 為此, 利用方程(1), 可得恒等式

(10)

其中z0≥0是x3坐標軸上的點. 在式(10)中利用分部積分, 可得

令

(12)

于是由式(11)可得

(13)

對式(13)求導(dǎo), 可得

(14)

根據(jù)H?lder不等式和算術(shù)幾何平均不等式, 由式(12)可得

(15)

利用式(6)和引理1, 可得

把式(16)代入式(15)再結(jié)合式(14), 可得

(17)

(18)

(19)

3 二擇性定理

首先考慮一個一般區(qū)域, 即柱體Ω的母線平行于x3坐標軸. 此時, 柱體Ω在任意z∈[0,∞)處的橫截面都相等, 所以Dz的面積不依賴于z, 記r(z)=r0>0. 這種區(qū)域是大多數(shù)研究者關(guān)注的情形[12-13], 但本文考慮的問題更復(fù)雜.

3.1 半無窮柱體

對式(11)定義的E(z), 利用式(18)和式(19)分為如下兩種情形分析.

1) 存在一個點z0>0, 使得E(z0)>0.

(20)

2) 對所有的z≥0, 都有E(z)≤0.

此時, 式(19)成立, 所以

(22)

對式(22)從0到z積分, 可得

(23)

式(23)表明當z→∞時, -E(z)指數(shù)式衰減于零. 對式(14)從z到∞積分, 可得

(24)

其中

(25)

綜上， 可得以下Phragmén-Lindel?f型二擇一定理:

定理1設(shè)u為問題(1)-(4)在一個半無窮柱體Ω上的解, 其中函數(shù)ρ滿足式(6), 非線性項f(u)滿足式(5). 則對式(12)定義的E(z,t), 當z→∞時或者指數(shù)式增長, 或者指數(shù)式衰減, 即或者式(21)成立, 或者式(24)成立.

3.2 擴展區(qū)域

下面討論當柱體Ω的橫截面隨z→∞不斷擴大的情形, 此時的柱體形狀像一個喇叭花. 顯然柱體截面增大的速度過快, 得不到二擇性結(jié)果. 因此必須對柱體做一定的限制. 下面對這種柱體給出一個例子, 即

(26)

根據(jù)R(z)的定義可知, 在該區(qū)域上R(z)滿足

10, 0<γ≤1.

(27)

下面分兩種情形討論.

1) 存在一個點z0>0, 使得E(z0)>0.

此時, 與3.1中的情形1)類似, 有E(z)≥E(z0)>0,z≥z0>0. 因此由式(18)可得

(28)

對式(28)從z0到z積分, 可得

再由式(13)可得

由于0<γ≤1, 所以

(30)

2) 對所有的z≥0, 都有E(z)≤0.

此時, 由式(19)可得

(31)

對式(31)從0到z積分, 可得

(32)

綜上, 可得以下Phragmén-Lindel?f型二擇一定理:

定理2設(shè)u為問題(1)-(4)在一個半無窮柱體Ω上的解, 其中函數(shù)ρ滿足式(6), 非線性項f(u)滿足式(5). 如果柱體Ω的橫截面Dz滿足式(27), 則對式(12)定義的E(z,t), 當z→∞時, 或者無限增長, 或者無限衰減, 即或者式(29)成立, 或者式(33)成立.

注1在定理2中, 如果γ=1, 則

表明當z→∞時,E(z,t)或者呈多項式增長, 或者呈多項式衰減, 衰減速度至少與z1/δ相同. 如果0<γ<1, 則可做如下處理：

從而

注2如果R(z)=δzγ+1,δ>0,γ>1, 則式(30)中的極限收斂, 從而得不到定理2的結(jié)果. 表明柱體截面增大的速度過快, 因此得不到衰減性結(jié)果.

3.3 特殊區(qū)域

假設(shè)R(z)滿足

1

(34)

下面仍分兩種情形進行分析.

1) 存在一個點z1>0, 使得E(z1)>0.

此時, 與3.1中的情形1)類似, 有E(z)≥E(z0)>0,z≥z1>0. 取z0=max{e,z1}, 類似3.2中情形1)的計算, 可得

下面證明式(35)左邊的積分是無限增加的. 因為

(36)

2) 對所有的z≥0都有E(z)≤0.

此時, 由式(19)可得

(37)

對式(37)從e到z積分, 可得

(38)

(39)

綜上， 可得以下Phragmén-Lindel?f型二擇一定理:

定理3設(shè)u為問題(1)-(4)在一個半無窮柱體Ω上的解, 其中函數(shù)ρ滿足式(6), 非線性項f(u)滿足式(5). 如果柱體Ω的橫截面Dz滿足式(34), 則對式(12)定義的E(z,t), 當z→∞時或者無限增長或者衰減, 即或者式(36)成立, 或者式(39)成立.

由定理1～定理3可知, 在衰減的情形下, 要使衰減估計有意義, 必須推導(dǎo)-E(0,t)的上界.

4 全能量估計

假設(shè)

(40)

(41)

同時由式(25), 可得

(42)

下面引入一個輔助函數(shù):

S(x1,x2,x3,t)=g(x1,x2,t)e-σx3,

其中σ是一個大于零的常數(shù). 利用分部積分和方程(1), 有

根據(jù)H?lder不等式和算術(shù)幾何平均不等式, 可得

(44)

(45)

再利用式(40), 可得

其中ε1是一個大于零的任意常數(shù). 類似地, 由式(5), 有

其中ε2是一個大于零的任意常數(shù). 取適當?shù)摩?和ε2, 使得

(48)

其中

所以由式(48)可得E(0,t)≤2F(t). 取適當?shù)摩? 即可得E(0,t)的上界.