文/中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王美華

中山市2020學(xué)年第一學(xué)期期末考試中，高二數(shù)學(xué)的最后一題在解答時(shí)引起筆者很多的思考。監(jiān)考結(jié)束后，筆者借助網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板的軌跡跟蹤功能，就原題結(jié)論進(jìn)行變形，大膽猜想，小心求證，得到一系列結(jié)論。下面論述探究和證明的過(guò)程。

原題：已知圓O的方程為x2+y2=4，若拋物線C過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)，且以圓O的切線為準(zhǔn)線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F的軌跡為曲線R.

(1)求曲線R的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)B作直線L交曲線R于P、Q兩點(diǎn)，P、T關(guān)于x軸對(duì)稱，請(qǐng)問(wèn)：直線TQ是否過(guò)x軸上的定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

探究1.直線TQ是否過(guò)x軸上的定點(diǎn)

發(fā)現(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，下面作理論詳細(xì)求證，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

故直線TQ過(guò)x軸上的定點(diǎn)(4,0).

探究2.將B換作x軸上任意一點(diǎn)，直線TQ是否依然過(guò)x軸上的定點(diǎn)

探究3.將B換作x軸上任意一點(diǎn)，將定橢圓方程換成焦點(diǎn)在x軸上任意橢圓，直線TQ是否依然過(guò)x軸上的定點(diǎn)

至此，我們可以得到一般性的結(jié)論：

2.直線x=my+n與拋物線y2=2px交于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為T，則直線TQ過(guò)定點(diǎn)(-n,0)。

圓錐曲線中的定值定點(diǎn)問(wèn)題很多時(shí)候都是通過(guò)由特殊到一般的推理過(guò)程推得，由橢圓具有的性質(zhì)推及雙曲線和拋物線是否也存在同樣的性質(zhì)。這種歸納推理和類比推理的思維在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中至關(guān)重要。