付 昊，周波華，馬萌晨

(1. 海裝駐上海地區(qū)第六軍事代表室，上海 201109； 2. 上海航天技術(shù)研究院，上海 201109； 3. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

近年來，隨著高馬赫數(shù)飛行器等先進(jìn)武器的發(fā)展，針對(duì)高速大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)得到了越來越多的關(guān)注。制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)是決定導(dǎo)彈性能好壞的關(guān)鍵。在一些作戰(zhàn)場(chǎng)景中，可以通過特定的攻擊角來增加導(dǎo)彈的作戰(zhàn)效能[1-2]。KIM等基于傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引，通過附加時(shí)變偏置項(xiàng)來補(bǔ)償目標(biāo)的加速度信息和傳感器噪聲，設(shè)計(jì)了具有攻擊角度約束的偏置比例制導(dǎo)律[3]。PARK等考慮到導(dǎo)引頭視場(chǎng)角約束和導(dǎo)彈過載約束，設(shè)計(jì)了具有角度約束的比例制導(dǎo)律，并且分析了導(dǎo)彈在物理約束下的最大可實(shí)現(xiàn)攻擊角度[4]。文獻(xiàn)[5-7]設(shè)計(jì)了具有角度約束的最優(yōu)制導(dǎo)律，將制導(dǎo)系統(tǒng)的攻擊角約束問題轉(zhuǎn)換為最優(yōu)控制的約束問題。然而偏置比例導(dǎo)引和最優(yōu)制導(dǎo)律主要是針對(duì)靜止或低速移動(dòng)目標(biāo)。近幾十年來，滑模控制理論由于其對(duì)外界干擾和系統(tǒng)參數(shù)不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性，在攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)，設(shè)計(jì)了具有攻擊角度約束的滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了有限時(shí)間收斂的終端滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了非奇異終端滑模制導(dǎo)律來解決滑模面的奇異問題。

綜合上述文獻(xiàn)，雖然諸多學(xué)者對(duì)帶有攻擊角度約束的制導(dǎo)律進(jìn)行了大量的研究，但大多數(shù)方法都只能保證末端的攻擊角度約束，并不能限制視線角的收斂過程。某些作戰(zhàn)場(chǎng)景需要對(duì)導(dǎo)彈的制導(dǎo)過程進(jìn)行約束，如在導(dǎo)彈攔截隱身目標(biāo)的情形中，由于目標(biāo)的雷達(dá)反射面積通常在某一特定的位置易被識(shí)別，因此要求制導(dǎo)系統(tǒng)的視線角在末制導(dǎo)過程中快速收斂并保持在特定角度。在多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)情形中，由于通信技術(shù)或協(xié)同探測(cè)的約束，要求多導(dǎo)彈之間的空間構(gòu)型滿足一定的約束，這也可以通過限制視線角收斂過程來實(shí)現(xiàn)。在預(yù)設(shè)性能控制方面，文獻(xiàn)[11-12]提出了Funnel控制方法，該方法是自適應(yīng)高增益控制方法的延續(xù)，用時(shí)變函數(shù)來代替單調(diào)遞增的控制增益。當(dāng)系統(tǒng)的輸出誤差接近性能邊界時(shí)，F(xiàn)unnel控制方法調(diào)整出較高的控制增益值，從而保證滿足約束條件。BECHLIOULIS和ROVITHAKIS提出了規(guī)定性能控制(prescribed perfarmance controller, PPC)理論。在設(shè)計(jì)的約束性能函數(shù)基礎(chǔ)上，通過誤差變換，將系統(tǒng)跟蹤誤差轉(zhuǎn)化為等效的無約束系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了PPC控制器[13]。針對(duì)高速大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截，本文設(shè)計(jì)了具有預(yù)設(shè)性能的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律，具有形式簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。

1 問題描述

1.1 期望的性能指標(biāo)約束函數(shù)

考慮非線性控制系統(tǒng)形式如式(1)所示。

(1)

式中：x1、x2表示系統(tǒng)狀態(tài)；u表示系統(tǒng)的控制輸入；b為系統(tǒng)輸入與狀態(tài)變量間的轉(zhuǎn)換系數(shù)；f為包含系統(tǒng)狀態(tài)的變量；d表示系統(tǒng)的外界干擾。在非線性系統(tǒng)跟蹤控制問題的研究中，一種典型的控制指標(biāo)為在控制過程中設(shè)計(jì)控制輸入u使得系統(tǒng)狀態(tài)x1收斂到x1d，x2收斂到零并且收斂過程中系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤誤差e=x1-x1d能夠滿足給定的指標(biāo)約束。設(shè)期望的性能指標(biāo)函數(shù)為λ(t)，即控制目標(biāo)轉(zhuǎn)換為

(2)

式中： 0

期望的性能約束函數(shù)設(shè)計(jì)為

λ(t)=(λ(0)-λ(∞))e-lt+λ(∞)

(3)

式中：l為正常數(shù)；λ(0)為性能約束函數(shù)的初值；e(0)表示式(1)所示系統(tǒng)中的狀態(tài)跟蹤誤差初值；λ(0)滿足0<|e(0)|<λ(0)，λ(∞)<λ(0)，λ(∞)>0。

期望的性能約束過程如圖1所示。

圖1 期望的性能約束函數(shù)Fig.1 Desired performance constraint function

圖1給出了期望的控制系統(tǒng)性能指標(biāo)約束函數(shù)示意圖。在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，希望控制指標(biāo)按規(guī)定的約束條件收斂。其中：l的值決定了性能約束函數(shù)收斂的速度，l越大，收斂速度越快；λ(∞)決定了性能約束函數(shù)穩(wěn)態(tài)時(shí)的界；m表示跟蹤誤差的最大超調(diào)量。

設(shè)計(jì)中間函數(shù)為

(4)

式中：kh>0。

期望的性能約束過程可以表示為

(5)

由于0<|e(0)|<λ(0)，且h(0)存在，故在定義域內(nèi)可以對(duì)h(t)求導(dǎo)。

對(duì)h(t)求導(dǎo)可得

(6)

注1： 為了保證式(1)所示系統(tǒng)中的狀態(tài)在收斂過程中系統(tǒng)誤差能滿足預(yù)設(shè)性能，由于h(0)存在，只需要確保系統(tǒng)在收斂過程中h(t)是有界的。

因此，我們將非線性系統(tǒng)跟蹤控制問題中的狀態(tài)約束轉(zhuǎn)換為設(shè)計(jì)控制器，使得系統(tǒng)狀態(tài)收斂過程中滿足h(t)有界。

1.2 制導(dǎo)系統(tǒng)模型

考慮二維平面內(nèi)制導(dǎo)系統(tǒng)模型，如圖2所示。

圖2 二維制導(dǎo)系統(tǒng)示意圖Fig.2 Guidance system in two-dimensional space

圖2中：M表示導(dǎo)彈；T表示目標(biāo)；R表示目標(biāo)和導(dǎo)彈之間的相對(duì)距離；vm和vt分別表示導(dǎo)彈的速度和目標(biāo)的速度，這里導(dǎo)彈和目標(biāo)速度大小保持不變；θm和θt分別表示導(dǎo)彈速度和目標(biāo)速度與視線之間的夾角；θL表示視線角；am表示導(dǎo)彈的法向加速度；at表示目標(biāo)的法向加速度。這里以導(dǎo)彈作為坐標(biāo)原點(diǎn)，則導(dǎo)彈目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程組為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

1.3 相關(guān)假設(shè)和引理

為了方便制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，給出下面的引理和假設(shè)。

(12)

式中：μ>0；λ>0和0<α<1是常數(shù)；x(t0)=x0，其中，t0是初始值。那么系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)平衡點(diǎn)的時(shí)間ts滿足

(13)

也就是說系統(tǒng)狀態(tài)是有限時(shí)間收斂的。

1)V(x)為正定函數(shù)；

則系統(tǒng)為實(shí)際有效時(shí)間穩(wěn)定的。

假設(shè)1：假設(shè)目標(biāo)加速度at對(duì)于所有的t≥0是有界的并且滿足|at|≤dmax，其中dmax是目標(biāo)加速度的上界。

假設(shè)2[16]： 假設(shè)當(dāng)R=R0≠0時(shí)導(dǎo)彈可成功攔截目標(biāo)，R0屬于區(qū)域[Rmin,Rmax]=[0.1 m,0.25 m]。

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 快速非奇異制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

在滿足性能指標(biāo)約束的前提下，設(shè)計(jì)制導(dǎo)律使得系統(tǒng)能夠以期望的角度攔截目標(biāo)。令

設(shè)計(jì)滑模面S為

(16)

式中：k1,k2,k3和ρ均為正常數(shù)。對(duì)滑模面S進(jìn)行求導(dǎo)可得

(17)

利用tanh(·)函數(shù)的有界性，設(shè)計(jì)能夠保證函數(shù)h(t)有界的制導(dǎo)律。在滿足假設(shè)1和假設(shè)2的情況下，如果目標(biāo)干擾上界dmax已知，適用于攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)且具有性能指標(biāo)約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)為

(18)

式中：k4、k5為正常數(shù)，并且滿足k5>ρk1dmax。

下面對(duì)非奇異制導(dǎo)律的穩(wěn)定性進(jìn)行證明。首先證明不等式(19)。

由假設(shè)1和雙曲余弦函數(shù)cosh(·)的性質(zhì)可得

(19)

選擇李雅普諾夫函數(shù)V1為

(20)

對(duì)V1沿著式(7)～(10)所示的系統(tǒng)軌線求導(dǎo)，可得

(21)

將式(18)所示的控制器代入式(21)，并結(jié)合不等式(19)可得

-k4S2-k5S·sign(S)+k1ρ|S|dmax≤

-k4S2-(k5-k1ρdmax)|S|≤

(22)

下面證明系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面S=0上的運(yùn)動(dòng)。

(23)

對(duì)V2求導(dǎo)可得

(24)

由h(t)>0和式(14)的性質(zhì)可得

(25)

由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)視線角誤差漸近收斂到零，進(jìn)而視線角速率漸近收斂到零。

注2：在以上的設(shè)計(jì)過程中，我們利用了tanh(·)函數(shù)的有界性，進(jìn)而得到h(t)在系統(tǒng)收斂過程中始終有界，這意味著只要|e(0)|<λ(0)，則整個(gè)系統(tǒng)收斂過程中始終滿足性能約束條件。但在設(shè)計(jì)過程中，如果e(t)太過逼近λ(t)，會(huì)導(dǎo)致h(t)較大，對(duì)控制器的控制性能要求較高，因此對(duì)控制器u中h(t)前面的參數(shù)k2不應(yīng)選取過大。

注3：在假設(shè)1中，我們對(duì)系統(tǒng)的外部干擾做了假設(shè)，也就是|at|

2.2 快速非奇異自適應(yīng)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

(26)

(27)

下面對(duì)自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律的穩(wěn)定性進(jìn)行證明。選取李雅普諾夫函數(shù)V3為

(28)

對(duì)V3沿著式(7)～(10)所示的系統(tǒng)軌線求導(dǎo)，將式(17)和式(27)代入可得

-k4S2-k5|S|≤0

(29)

選擇李雅普諾夫函數(shù)V4為

(30)

對(duì)V4求導(dǎo)可得

(31)

由于滑模面有限時(shí)間收斂到區(qū)域Δ，故由式(16)可得

(32)

式中，|Δ1|≤Δ。式(32)可以轉(zhuǎn)化為

(33)

注4：由于存在符號(hào)函數(shù)，這在一定程度上會(huì)帶來抖振現(xiàn)象。為了削弱該問題對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的影響，運(yùn)用一個(gè)連續(xù)的飽和函數(shù)來近似符號(hào)函數(shù)，其具體形式為

(34)

式中，σ為一個(gè)小的正常數(shù)。

3 仿真驗(yàn)證

通過數(shù)值仿真來驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律的有效性。為了分析制導(dǎo)律的性能，目標(biāo)的機(jī)動(dòng)形式選擇為蛇形機(jī)動(dòng)at=5gcos(2t)，其中，g=9.8 m/s2為重力加速度。

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的性能，選擇比例導(dǎo)引制導(dǎo)律(proportion navigation guidance law, PNGL)和之前設(shè)計(jì)的快速非奇異終端滑模制導(dǎo)律(fast nonsingular terminal sliding mode guidance law, FNTSMGL)[17-19]進(jìn)行對(duì)比。PNGL的具體形式為

(35)

快速非奇異終端滑模的具體形式為

(36)

(37)

r1=(2-r)ηr-1

(38)

r2=(r-1)ηr-2

(39)

式中，r、α1、α2和η都是待設(shè)計(jì)的正常數(shù)，0

對(duì)應(yīng)的FNTSMGL形式為

(40)

(41)

考慮兩組不同的初始場(chǎng)景參數(shù)，具體如表1所示。

表1 導(dǎo)彈目標(biāo)初始仿真條件Tab. 1 Initial simulation conditions for the missile and target

實(shí)際導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力有限，即導(dǎo)彈所能提供的最大法向過載有限，具體形式為

其中，aM max=25g。

制導(dǎo)律u0中的參數(shù)選擇為α1=0.02，α2=0.39，r=0.9，η=0.25，k1=6，k2=2。PNGL中的參數(shù)為N=5。

3.1 非奇異滑模制導(dǎo)律的仿真驗(yàn)證

制導(dǎo)律u1參數(shù)選擇為ρ=2.45，k1=0.5，k2=0.000 5，k3=1，k4=0.6，k5=2.7，飽和函數(shù)中的參數(shù)選擇為σ=0.005，性能約束函數(shù)參數(shù)為λ(0)=12，λ(∞)=0.5，l=0.8，m=0.3，kh=0.01。

當(dāng)at=5gcos(t)時(shí)，選擇表1中的數(shù)據(jù)作為仿真初始參數(shù)，仿真結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，3種制導(dǎo)律均能成功地?cái)r截目標(biāo)，但比例導(dǎo)引律不能保證視線角收斂，而制導(dǎo)律u1和u0均能保證導(dǎo)彈的視線角成功收斂到期望的視線角，且制導(dǎo)律u1能夠使得視線角按期望性能指標(biāo)進(jìn)行收斂。u0和u1在制導(dǎo)開始階段存在法向加速度飽和現(xiàn)象，這是因?yàn)檫x取的滑模面保證快速收斂的同時(shí)勢(shì)必會(huì)造成較大的控制量，而比例導(dǎo)引因?yàn)橛行?dǎo)航比的選擇產(chǎn)生的導(dǎo)彈法向加速度較小。

圖3 制導(dǎo)律u1仿真圖Fig. 3 Simulation under u1

3.2 快速非奇異自適應(yīng)制導(dǎo)律的仿真驗(yàn)證

考慮到實(shí)際目標(biāo)有關(guān)參數(shù)并不容易精確得到，因此，開展自適應(yīng)性能約束制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。仿真初始參數(shù)選擇表1中的第2組數(shù)據(jù)，制導(dǎo)律u2參數(shù)選擇同u1：ρ=2.45，k1=0.5，k2=0.000 5，k3=1，k4=0.6，k5=2.7，自適應(yīng)增益為δ=ρk1，飽和函數(shù)中的參數(shù)選擇為σ=0.005，性能約束函數(shù)參數(shù)為λ(0)=12，λ(∞)=0.5，l=0.8，m=0.3，kh=0.01。仍選擇比例制導(dǎo)律以及制導(dǎo)律u0與制導(dǎo)律u2進(jìn)行對(duì)比，參數(shù)同上。

當(dāng)at=5gcos(t)時(shí)，初始參數(shù)選擇為表1中的數(shù)據(jù)，3種制導(dǎo)律下的仿真結(jié)果如圖4所示，3種制導(dǎo)律均能成功地?cái)r截目標(biāo)，制導(dǎo)律u2和u0均能保證視線角成功地收斂到期望的視線角，且制導(dǎo)律u2亦能使視線角按期望性能指標(biāo)進(jìn)行收斂，這有利于進(jìn)一步提高導(dǎo)彈的作戰(zhàn)性能。

圖4 目標(biāo)蛇形機(jī)動(dòng)下制導(dǎo)律u2仿真圖Fig.4 Responses under u2

4 結(jié)束語

本文針對(duì)非線性系統(tǒng)中的性能約束問題，通過引入中間函數(shù)設(shè)計(jì)新的滑模面，將制導(dǎo)系統(tǒng)的視線角跟蹤誤差與期望的性能約束函數(shù)結(jié)合并引入到滑模面的設(shè)計(jì)中，通過滑模面的有界性設(shè)計(jì)了滿足期望性能約束的制導(dǎo)律。本文所用方法的控制器形式簡(jiǎn)單，且具有較好的魯棒性與實(shí)用性。仿真對(duì)比驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的有效性和優(yōu)越性。