高 霞， 王維亮， 張保勇

(1.黑龍江科技大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 哈爾濱 150022； 2.黑龍江科技大學(xué) 安全工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)

0 引 言

近年來，隨著淺部煤炭開采殆盡，煤巖開采不斷向深部延伸[1]，煤層所受地應(yīng)力與瓦斯壓力日趨增大，煤與瓦斯突出事故越發(fā)頻發(fā)[2]。吳強(qiáng)等[3]提出基于瓦斯水合固化方法進(jìn)行煤與瓦斯突出防治技術(shù)研究，初步發(fā)現(xiàn)水合物的生成可以提高煤體強(qiáng)度，降低瓦斯壓力。目前，關(guān)于含瓦斯水合物的實驗研究相對較少，若能建立含瓦斯水合物煤體的力學(xué)本構(gòu)模型，對深入了解含瓦斯水合物煤體的力學(xué)特征、建立含瓦斯水合物煤體數(shù)值計算模型以及實現(xiàn)煤炭安全開采具有重要理論與工程意義。

近幾年，國內(nèi)外針對含瓦斯水合物煤體本構(gòu)模型方面的研究鮮見報道。高霞等[4]基于含瓦斯水合物煤體強(qiáng)度特性三軸壓縮實驗，建立了復(fù)合指數(shù)模型，該模型可以較好地表達(dá)各圍壓下含瓦斯水合物煤體強(qiáng)度隨水合物飽和度增長的關(guān)系，但該模型對曲線峰值前變形特征的描述仍有不足。而針對巖石及水合物沉積物本構(gòu)模型方面國內(nèi)外學(xué)者開展了一定的研究。在巖石本構(gòu)模型方面，文獻(xiàn)[5-6]基于統(tǒng)計損傷理論建立了巖石的本構(gòu)模型，用以模擬巖石的破壞過程。Alejano等[7]基于Hoek-Brown準(zhǔn)則和Mohr-Coulomb準(zhǔn)則提出了巖體峰后應(yīng)變軟化模型。王麗琴等[8]為解決數(shù)值計算中需根據(jù)曲線形態(tài)選擇不同非線性模型的問題，提出了一個新的非線性模型——復(fù)合冪指數(shù)模型。姜永東等[9]對鄧肯-張雙曲線模型不能較好地反映巖石的壓密特征與軟化特征，提出了以鄧肯-張模型為基礎(chǔ)的能夠描述巖石壓密段、彈塑性段和破裂段的單一巖石修正的鄧肯-張模型。王軍保等[10]針對姜永東提出的修正鄧肯-張模型不能描述砂巖破壞過程的殘余強(qiáng)度，在其修正模型基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步改進(jìn)，將砂巖的殘余強(qiáng)度考慮在內(nèi)，得到了能更好描述砂巖三軸壓縮破壞全過程的本構(gòu)模型。在水合物沉積物本構(gòu)模型方面，Uchida等[11]基于臨界狀態(tài)土力學(xué)的概念，建立的甲烷水合物臨界狀態(tài)模型較好地描述了含水合物沉積物的強(qiáng)度、剛度、剪脹和應(yīng)變軟化特征。Yu等[12-13]為表達(dá)不同溫度、圍壓等影響因素下水合物沉積物的力學(xué)特性，構(gòu)建了一種修正的鄧肯-張本構(gòu)模型。李彥龍等[14-15]基于Drucker-Prager準(zhǔn)則和Weibull分布理論，建立了能有效表達(dá)水合物沉積物力學(xué)特征的損傷力學(xué)本構(gòu)模型?？傮w而言，針對應(yīng)變硬化型曲線，最具代表性的有冪函數(shù)模型、鄧肯-張雙曲線模型等。這些模型簡單直觀，參數(shù)物理意義明確，且易于通過實驗直接獲得，因而最為常用。針對應(yīng)變軟化型曲線，駝峰曲線[16]模式、復(fù)合冪-指數(shù)模型、修正的鄧肯-張模型可以較好地刻畫。

鑒于此，筆者在高飽和度條件下含瓦斯水合物煤體強(qiáng)度特征三軸實驗結(jié)果基礎(chǔ)上[17]，針對實驗所獲得的應(yīng)變軟化型曲線，利用王麗琴建立的復(fù)合冪-指數(shù)模型和姜永東建立的修正的鄧肯-張模型對所得曲線進(jìn)行擬合，研究結(jié)果可為含瓦斯水合物煤體本構(gòu)模型的深入研究提供初步參考。

1 偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征

三軸壓縮實驗利用自主研發(fā)的水合固化反應(yīng)-三軸壓縮一體化實驗裝置進(jìn)行(圖1)。

圖1 實驗裝置示意Fig. 1 Demonstration of experimental apparatus

通過實驗得到3種圍壓下的偏應(yīng)力-應(yīng)變(σ1-σ3)～ε1曲線[17]，如圖2所示。由圖2可知，含瓦斯水合物煤體在3種圍壓作用下，偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線均呈應(yīng)變軟化型，大致可分為3個階段：線彈性階段、屈服階段和破壞階段。線彈性階段，偏應(yīng)力與應(yīng)變基本上呈線性關(guān)系，表現(xiàn)出煤體的彈性特征；屈服階段，偏應(yīng)力隨著軸向應(yīng)變的增大逐漸增大，但增大幅度逐漸減小，表現(xiàn)出煤樣的初步損傷發(fā)展過程；破壞階段，軸向應(yīng)力達(dá)到了煤樣能夠承受的極限，應(yīng)力跌落，煤樣失去承載力。偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線沒有表現(xiàn)出壓密階段的特征，這可能是由于煤樣試件強(qiáng)度較小，在形成三軸載荷環(huán)境時，事先施加的軸向載荷和圍壓導(dǎo)致煤樣已經(jīng)發(fā)生了壓縮變形，故煤樣在偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線上表現(xiàn)出無壓密階段的特性[18]。相同飽和度Sh下，隨著圍壓的增大，含瓦斯水合物煤體的偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線線彈性階段斜率增大；隨著圍壓的增大，含瓦斯水合物煤體的偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值強(qiáng)度逐漸增大。

圖2 不同飽和度下含瓦斯水合物煤體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig. 2 Stress-strain curves for hydrate-bearing coal with different saturations

2 偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線擬合分析

2.1 復(fù)合冪-指數(shù)模型

復(fù)合冪-指數(shù)(CPE)模型是王麗琴等在研究巖土體時，為實現(xiàn)描述形態(tài)各異的應(yīng)力-應(yīng)變曲線及體變曲線數(shù)學(xué)模式的統(tǒng)一，通過分析冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，提出的一個新的非線性模型，復(fù)合冪-指數(shù)模型的具體表達(dá)式[8]為

σ1-σ3=[(aε1m-k)e-bε1n+k]pa，

(1)

式中：σ1-σ3——偏應(yīng)力；

ε1——軸向應(yīng)變；

pa——標(biāo)準(zhǔn)大氣壓；

a、b、m、n、k——實驗參數(shù)。

在常規(guī)三軸實驗中，當(dāng)ε1→+時，σ1-σ3→kpa，所以,當(dāng)曲線表現(xiàn)為應(yīng)變軟化型時，k=qr/pa，其中qr為殘余強(qiáng)度，模型參數(shù)求解，見文獻(xiàn)[8]。

表1 CPE模型參數(shù)擬合值Table 1 Fitting parameters for CPE model

將復(fù)合冪-指數(shù)模型參數(shù)擬合值所得理論曲線和實驗值進(jìn)行對比，如圖3所示。從圖3可以得出：復(fù)合冪-指數(shù)模型參數(shù)擬合值所得理論曲線能夠很好地模擬實驗實測結(jié)果，表現(xiàn)在不僅能很好地反映峰值強(qiáng)度以前線彈性階段的偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線，而且對峰值強(qiáng)度以后的應(yīng)變軟化和最后穩(wěn)定于殘余強(qiáng)度的趨勢也描述得極為接近，具有良好的適用性。但值得注意的是，復(fù)合冪-指數(shù)模型對整個偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值強(qiáng)度擬合的不是很好，模型對飽和度80%、圍壓5 MPa的線彈性階段的變形特征表達(dá)仍有不足。

圖3 CPE模型曲線與實驗結(jié)果對比Fig. 3 Comparison between CPE model and test results

為了進(jìn)一步說明復(fù)合冪-指數(shù)模型對偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線的擬合效果，將含瓦斯水合物三軸特征參數(shù)與復(fù)合冪-指數(shù)模型計算結(jié)果進(jìn)行對比，如表2所示。其中，(σ1-σ3)m為峰值強(qiáng)度，εm為峰值應(yīng)變，取峰值點對應(yīng)的應(yīng)變，誤差為模型值和實驗值的差值與實驗值的比值。從表2可以看出：對于彈性模量，除圍壓為5 MPa，飽和度為70%和80%外，復(fù)合冪-指數(shù)模型的計算值與實驗值的相對誤差均在9.20%以內(nèi);對于峰值強(qiáng)度，復(fù)合冪-指數(shù)模型的計算值與實驗值的相對誤差均在3.47%以內(nèi)，說明復(fù)合冪-指數(shù)模型可以很好地描述含瓦斯水合物煤體強(qiáng)度隨圍壓和飽和度變化的關(guān)系。對于峰值應(yīng)變εm，其誤差值均為正數(shù)，且數(shù)值相對較大，說明模型對曲線峰值強(qiáng)度處的峰值應(yīng)變描述不是很好。表中沒有分析復(fù)合冪-指數(shù)模型的殘余強(qiáng)度，是因為當(dāng)應(yīng)變?yōu)闊o窮大時，σ1-σ3→kpa，而k=qr/pa，從而得出σ1-σ3→qr，因此，復(fù)合冪-指數(shù)模型的殘余強(qiáng)度與實驗值相同。

表2 實驗結(jié)果與模型計算結(jié)果對比Table 2 Comparison of test values and calculation values

2.2 修正的鄧肯-張模型

鄧肯-張雙曲線模型形式簡潔，可以直接通過實驗來確定各參數(shù)。但該模型不能描述高飽和度條件下含瓦斯水合物煤體的初始壓密階段對應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變特征及峰值應(yīng)力之后的殘余強(qiáng)度。因此，需選用或構(gòu)建一種模型，使其既能描述含瓦斯水合物煤體初始壓密階段的曲線特征，又能描述峰值應(yīng)力之后的殘余強(qiáng)度。姜永東等在研究單一巖石變形特征及本構(gòu)關(guān)系時，就鄧肯-張模型的優(yōu)缺點，提出了一種修正的鄧肯-張模型[9]，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

(2)

式中，c、d、e——材料參數(shù)。

對式(2)求導(dǎo)，則可得切向模量為

(3)

當(dāng)軸向應(yīng)變ε1無限趨近于零時，可得初始切向模量E0=1/c；當(dāng)軸向應(yīng)變ε1達(dá)到峰值應(yīng)變εm時，切向模量Em=0。

將峰值強(qiáng)度(σ1-σ3)m、峰值應(yīng)變εm代入式(2)、(3)中，可得c、d、e表達(dá)式為

材料參數(shù)c、d、e可通過三軸實驗確定，需要說明的是，因含瓦斯水合物煤體偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線壓密段不明顯，為方便起見，這里取初始切向模量等于彈性模量，即E0=E。

通過實驗所得實測數(shù)據(jù)和材料參數(shù)c、d、e的確定方法，得到圍壓4～6 MPa下各飽和度的彈性模量、峰值強(qiáng)度、峰值應(yīng)變及模型參數(shù)值，如表3所示。其中，E為含瓦斯水合物煤體的彈性模量，Ed為修正的鄧肯-張模型的彈性模量。

表3 修正的鄧肯-張模型參數(shù)、彈性模量、峰值強(qiáng)度及峰值應(yīng)變Table 3 Parameters values of revised Duncan-Chang model,elastic modulus,peak strength and peak strain

為驗證修正的鄧肯-張模型的適用性與可靠性，將模型計算所得理論曲線與室內(nèi)實驗值進(jìn)行擬合對比分析，如圖4所示。由擬合結(jié)果可知，實驗曲線與理論曲線在峰值強(qiáng)度之前非常接近，模型對軟化階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線擬合的不好，不能描述含瓦斯水合物煤體的殘余強(qiáng)度。

圖4 修正的鄧肯-張模型曲線與實驗結(jié)果對比Fig. 4 Comparison between revised Duncan-Chang model and test results

為了進(jìn)一步說明修正的鄧肯-張模型對偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線的擬合效果，筆者將三軸實驗結(jié)果與修正的鄧肯-張模型計算結(jié)果進(jìn)行對比。從表3中可以看出，對于彈性模量，除圍壓為5 MPa，飽和度為60%和80%外，修正的鄧肯-張模型的計算值與實驗值的相對誤差均在2.31%以內(nèi)，說明較復(fù)合冪-指數(shù)模型而言，修正的鄧肯-張模型對彈性模量的擬合更好。對于峰值強(qiáng)度和峰值應(yīng)變，通過對修正的鄧肯-張模型的計算值與實驗值的對比，發(fā)現(xiàn)兩者的誤差均為0，因此沒有在表中列出。

3 討 論

通過將兩種模型的彈性模量、峰值強(qiáng)度、峰值應(yīng)變和殘余強(qiáng)度與三軸壓縮實驗結(jié)果進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)兩種模型對實測值的擬合各有利弊。對峰值強(qiáng)度及峰值強(qiáng)度之前的線彈性階段和強(qiáng)化階段，修正的鄧肯-張模型對實驗結(jié)果的擬合明顯優(yōu)于復(fù)合冪-指數(shù)模型；對峰值強(qiáng)度之后由壓脹造成的應(yīng)變軟化及最后穩(wěn)定于殘余強(qiáng)度的趨勢，復(fù)合-冪指數(shù)模型描述的更為準(zhǔn)確。因此，對高飽和度條件下含瓦斯水合物煤體而言，峰值強(qiáng)度之前，使用修正的鄧肯-張模型擬合更為合適；峰值強(qiáng)度之后，使用復(fù)合-冪指數(shù)模型擬合更為合適。

4 結(jié) 論

(1)含瓦斯水合物煤體在高飽和度及較高圍壓條件下表現(xiàn)出應(yīng)變軟化的特征。飽和度相同時，含瓦斯水合物煤體的彈性模量、峰值強(qiáng)度隨圍壓的增大而增大。

(2)復(fù)合冪-指數(shù)模型和修正的鄧肯-張模型的計算值與實驗值擬合對比結(jié)果表明，復(fù)合冪-指數(shù)模型對應(yīng)變軟化及殘余強(qiáng)度描述的較好，修正的鄧肯-張模型更能反映含瓦斯水合物煤體的峰值強(qiáng)度和彈性模量。

(3)對高飽和度條件下含瓦斯水合物煤體，修正的鄧肯-張模型的彈性模量誤差在5%以內(nèi)，峰值強(qiáng)度和峰值應(yīng)變沒有誤差，因此，峰值強(qiáng)度之前使用修正的鄧肯-張模型擬合更為合適；較修正的鄧肯-張模型而言，復(fù)合冪-指數(shù)模型對殘余強(qiáng)度擬合的更好，且沒有誤差，因此，對峰值強(qiáng)度之后的殘余階段，使用復(fù)合冪-指數(shù)模型擬合更為合適。